Что такое экспонента простыми словами
Перейти к содержимому

Что такое экспонента простыми словами

  • автор:

Что такое экспонента простыми словами

Про мнимую единицу обсуждали уже
OFF: Философия математики: комплексные числа (мнимая единица)
Сегодня очеред экспоненты. Лучше попытаться обяснить наиболее простыми словами без математических формул и понятий (типа производной и дифференциала).
Вот например ПИ — это отношение длины окружности к диаметру.

Функция такая.
Е в степени Х по-моему.

это такое основание показательной функции, к которой касательная в точке 0 будет наклонена на 45 градусов

(2) не X, а N. Деревня.

а вообще экспонента — часто встречающаяся в природных процессах функция. Именно поэтому ее и взяли на вооружение.

(4) Допустим у нас Х танков. Нет Х мало, пусть будет Y.
Во первых — это число.

Студенческая общага, всбесившийся студент носится по этажам с ножом и криком «ВСЕХ ПРОДИФФЕРЕНЦИРУЮ». Естественно все дружно ховаются по комнатам и только один продолжает сидеть как ни в чем не бывало. На вопрос «А тебе не страшно?» следует ответ — «А мне пофиг — я экспонента»

(5)извиняюсь, ошибнулся, естественно, вместо функции имел в виду показательную с основанием экспоненты

(1,2) что она дает ? в чем ее смысл ?
(4) Казалось бы при чем тут N ? ведь exp(x) = e^x
(0) кривая роста,размножения при отсутствии ограничений на этот самый рост
(7) ну да ! и . в чем его волшебность-то ?
(10) Так деревня, хоть и большая, что ж ты хочешь ;).
(5) близко! только не сама экспонента, а некие экпоненциальные свойства явлений
(15) понятно. это не масло,а некоторые маслянистые свойства субстанции.
Зверски гениальная мысль 🙂
(14) «обяснить наиболее простыми словами без математических формул и понятий»
(17) тогда см. (11),куда уж проще то
(19) Можно и проще — Это когда чем дальше в лес, тем ГОРАЗДО больше дров
(19) я изначально спрашиваю про чило е, а не про функцию вообще (для всех чисел)
(21) число это мера чего то там,само по себе ничего не значит-скаляр.
(22) мера чего то там — вот чего же ? про это и спрашиваю !
(23) роста,размножения
+24 мух,оленей,людей,нейтронов или движения электронов при лавинном пробое полупроводника
(24) а почему мерой является не 2, а именно е ?

(27)
-Петька, прибор
-27
-что 27?
-а что прибор?

Это уже не по-простецкому, но примерно так
число Е — это число, к которому стремится сумма такого ряда:
1**1+
(1-1/2)**2+
.
(1-1/n)**n

Ну ладно. Главное свойство что exp(x)` = exp(x)
тогда вот мое определение:
е — такое уникальное число, которое дает скорость изменения объема N-мерного куба (с ребром равным е) равную самому объему.
Вот потому она и является мерой.

(29) неверно. N у тебя целое число, объем куба — дискретная функция, а «Скорость» (читай производная) для дискретных функций не определена

(30) от куба легко переходим к более общему объекту — например параллелограмм.
для например 3х мерного пространства
его объем можно преставить либо x^3 либо a^x где a > 0 и a <> 1

(29) мдя. вот это я понимаю по-простому объяснил. тока непонятно, что такое [скорость изменения объема]. у меня вот на столе куб стоит — коробочка с квадратными листочками, так у него чего-то объем не меняется.

(+31) например взять такое выражение 2^2.5
разве такое не может быть ? может — это 3х мерный объект,
у которого длина и ширина равны 2, а высота равна корень из 2

(32) не меняется и слава богу ! 🙂
(34) и при чем тут экспонента?
(35) я тож,чегойта не вкурил 🙂
(36, 37) погодьте, сейчас он новый косячок забьет.
(35) объем любого тела можно выразить через дробную степень числа е
(39) допустим (только допустим!) и в чем пафос? Это разве более общее утверждение,чем в (11) ?

(40) наоборот — более конкретное,
в (11) лишь упомянута сфера применения, а не описание причины применения

(40) из (11) не поймешь, что Е=2,41. (или что-то в этом роде). Бери 10, или 3.

(39) я подозреваю, что объем любого тела можно выразить через дробную стенень любого положительного числа. в чем фокус?

(43) ФОКУС, что лучше через е (+ некие коэфициенты) — у нее производная равна самой функции — так удобнее показывать закономерность многих сложных процессов во времени

(44) емануться! кто в (0) писал [попытаться обяснить наиболее простыми словами без математических формул и понятий]

Экзамен по анатомии:
Преподаватель:»Назовите лицевые мышцы,формирующие улыбку»
Студиозус:»ээээээ»
Преподаватель:»Можете?»
Студиозус:»ээээээ. Могу!»
Преподаватель:»Нуте-с!»
Студиозус:»мускулюс глитиус» //ягодичная мышца
Преподаватель(ухмыляясь):»Вот когда научитесь ею улыбаться,тогда и приходите!»

(45) это см. в (29) производная — это по сути скорость
вот как участвует е в формулах — пусть есть функция C^x, тогда
ее производная = C^x * ln c
и интеграл = с^x / ln c
т.е. для любого экспоненциального процесса, в котором используется коэффициент С (не равный 0 и 1) число е является основой вычисления скорости и площади (объема)

Что такое экспонента простыми словами

Экспонента в математике – это функция «y=ex», которая отражает непрерывный рост с коэффициентом. В этой функции «е»‎ ‎– это число Эйлера, которое представляет собой постоянную (~2,72). Говоря иначе, рост любой величины прямо пропорционален ее значению.

Допустим, мы слепили снежный ком и спустили его с горы. Он начинает катиться, одновременно наращивая объем. При этом чем больше он становится, тем выше скорость его движения. И наоборот: чем быстрее он катится, тем быстрее увеличивается в размерах. Получается, что масса и скорость снежного кома (y) экспоненциально возрастают со временем (x).

Экспонента - это. Экспонента простыми словами. Экспоненциальный рост

Экспонента в жизни. Экспоненциальный рост

Рассмотрим примеры экспоненты и экспоненциального роста в реальной жизни.

Вирусы . Если представить, что один человек может заразить гриппом еще трех, то число зараженных со временем будет расти по экспоненте. Из одного больного получается четыре, из четырех – двенадцать, и так далее. Именно это и называется экспоненциальным ростом заболеваемости.

Вклад в банке под процент. У всех процессов, идущих по экспоненте, есть одна особенность: за одно и то же количество времени их параметры меняются одинаковое количество раз.

Например, вклад в банке каждый год увеличивается на определенное количество процентов. Если положить 1000 рублей в банк под 10% годовых, то через год вклад будет составлять 1100 рублей. А в следующем году 10% будут начисляться уже исходя из суммы в 1100 рублей. То есть, вклад вырастет сильнее, и так размер прироста будет увеличиваться из года в год.

Употребление пищи . К примеру, когда человек очень голоден, он начинает быстро поглощать пищу. По мере насыщения скорость употребления пищи падает, после чего сводится к нулю.

Численность животных. Чем больше популяция животных, тем больше они размножаются. Соответственно, рост численности популяции прямо пропорционален количеству особей в ней.

Чем экспоненциальный рост отличается от линейного?

Линейный рост характеризуется стабильным прибавлением постоянной, а экспоненциальный рост – это следствие многократного умножения на постоянную. То есть если линейный рост на графике представляет собой стабильную линию, то экспоненциальный рост характеризуется быстрым взлетом.

В качестве примера можно привести обычную ходьбу. Если длина одного шага составляет 1 метр, то через 6 шагов человек преодолевает расстояние в 6 метров. Это и называется линейным ростом.

При экспоненциальном росте длина каждого шага в нашем примере увеличивается в 2 раза. То есть сначала человек шагает на 1 метр, потом на 2 метра, потом на 4 метра и так далее. В таком случае за 6 шагов можно пройти 32 метра, что гораздо больше, чем в предыдущем примере.

Экспоненциальный рост

Журналисты, блогеры и диванные эксперты… Все используют фразы «экспоненциальный рост», а кто попроще «рост по экспоненте». Кое-кто, наверное, даже помнит, что такое экспонента, но вряд ли сможет объяснить простыми словами. Что же, пришла пора разобраться то, чем мы так часто пользуемся. Возможно, все совсем не так…

Экспонента

Здесь все просто (но это только пока). Многие считают, что экспонента это просто число е=2,718281828459045235360287. Конечно, это не так. Это самое число e, называется числом Эйлера, оно трансцендентно и иррационально, что звучит красиво и загадочно, но экспонента, не число, а функция.

Те, кто немного дружил с математикой в школе сразу заметят интересную особенность этой функции. Ее основанием является не отрицательное число, а значит, она будет всегда возрастать.

При х=0 у=1, при х=1, у=2,718, при х=2 y=7,39…. Ну а при х=10, у=22 026,5

Значение функции растет и растет явно очень быстро. Стремительно и неудержимо.

Экспоненциальный рост

Что такое экспоненциальный рост? Простыми словами, это такой рост, при котором, чем больше вырастят какое-либо значение, тем больше ускоряется его рост. То есть, со временем растет не только значение, но и сама скорость его роста.

А это, иными словами, означает, что значение переменной функции и скорость ее роста находятся в прямо пропорциональной зависимости. То есть, если значение увеличиться два раза, скорость роста увеличится тоже в 2 раза.

В конечном итоге, экспоненциальный рост — самый быстрый.

На самом деле, все вышесказанное касается любой показательной функции, а не только экспоненты.

Основанием может быть любое не отрицательное число, хоть два, хоть три, хоть… сколько угодно.

Несколько примеров из жизни

Самым актуальным и наглядным можно назвать ситуацию с распространением вируса (либо любой другой инфекции). Предположим, что каждый человек в течение дня заражает двух других.

Тогда, в первый день у нас будет один инфицированный, во второй — трое. Один старый знакомый и два новых. Каждый из новичков, в свою очередь заразит двух других. В третий день — 7 заразившихся, в четвертый — 1, а пятый — 31…

Стоп, это только при условии, что каждый человек заразит только двоих и, чудесным образом, перестанет это делать на протяжении следующих дней. Но ведь так не будет! Все эти люди и дальше будут заражать по 2 человека в день.

А раз так, то на третий день будет уже 9 разносчиков вируса, на пятый — 81, а через неделю по нашему воображаемому городу будет бродить уже 729 зараженных.

Это и будет экспоненциальный рост количества зараженных. Без учета их лечения, карантина или любых других мер, болезнь будет развиваться именно так. Через 10 дней зараженных людей будет уже 59 тысяч человек. Через 15 дней — более 14 миллионов. Просто математика, но какой яркий пример экспоненциального роста?

Легко вывести формулу: 1, 3, 9, 27, 81… это «три» в степени 2, 3 и 4. То есть, показательная функция с основанием 3.

И, хотя в этой формуле в степень возводится не число Эйлера (2,71828….), такой рост тоже называется экспоненциальным.

Еще один пример из биологии: размножение бактерий.

Бактерии размножаются делением. Каждая делится надвое и так далее… Но, конечно, не бесконечно. Предел есть, но об этом чуть позже.

Экспоненциальный рост в экономике

Есть примеры роста по экспоненте и в экономике. Самый интересный — финансовая пирамида. Самый безопасный — Закон Мура.

Первый закон Мура гласит, что количество транзисторов удваивается каждые 2 года. Таким образом и вычислительные мощности компьютера удваиваются каждые два года.

Второй Закон Мура (который сформулировал уже не Гордон Мур) гласит, что стоимость производства микросхем также возрастает экспоненциально из-за усложнения технологий.

Что же касается финансовых пирамид, то основная идея в том, что их рост обусловлен исключительно ростом количества «сектантов» верящих в огромные прибыли или тех, кто верит, что сумеет вовремя «соскочить». Так или иначе, пирамиды всегда рушатся. И вот вопрос, почему?

Но, конечно, рост не может продолжаться бесконечно. В случае с бактериями (и любыми другими организмами, да хоть мышами), наступит время, когда им не хватит пространства и пищи. В случае с микросхемами наступит физический предел скорости передачи данных (мы вряд ли сумеем превысить скорость света).

Ну а всевозможные волшебные экономические модели в форме пирамид рано или поздно сталкиваются с той же проблемой, питательная среда в виде легковерных последователей

Логистическая кривая

В реальном мире, не таком идеальном как математика, любой процесс может столкнутся с пределом. В примере роста популяции бактерий или даже крупных животных, это количество ресурсов, которое всегда ограничено.

Поэтому, при условии, что ресурсы не бесконечны, процесс развивается по s образной кривой. Сначала стремительно растет, а потом — замедляется.

В пример с вирусом, наступает день, когда большая часть населения уже переболела и выработала антитела (либо была искусственно привита) и вирус больше не может распространяться по экспоненциальному закону. Главный вопрос, можно ли точно предсказать этот день?

Мальтузианская ловушка

С экспонентой связан еще один занимательный экономический эффект — «мальтузианская ловушка». Представьте, что рост населения страны происходит по экспоненциальному закону. Например, каждая пара производит на свет не менее 4 детей, те в свою очередь поступают также.

Рано или поздно, количество людей превысит количество пищи, необходимой для нормальной жизни.

Просто потому, что производительность труда физически ограничена (например, количеством плодородных земель), к тому же развитие технологий чаще всего происходит линейно, а экспонента всегда растет быстрее. Получается, что технологическое развитие общества не успевает за ростом населения.

Чем это заканчивается? Кризисом, голодом, войнами за ресурсы. Население уменьшается и все начинается с начала.

Почему это сложно представить?

Нам, людям, сложно себе представить развитие процесса «по экспоненте» потому, что не свойственно так мыслить. Мы привыкли к линейным и циклическим процессам.

Они чаще встречаются в нашей жизни: циклические изменения дня и ночи и линейные изменения времени. Это просто и привычно. А вот экспоненциальные процессы встречаются реже.

Тем не менее они есть и игнорировать их опасно. Просто потому, что за этой скоростью нашему разуму сложно угнаться. Даже простые объяснения экспоненциального роста кажутся чем-то абстрактным, а ведь это не выдумка, а наша реальность.

Читайте также:
Что такое радиогоризонт

9 мая, 2021 Автор: istorii_master · Published 9 мая, 2021 · Last modified 21 июня, 2023 —>

На ноль делить нельзя? Или можно?

7 августа, 2012 Автор: istorii_master · Published 7 августа, 2012 · Last modified 28 июля, 2023 —>

Что такое функция?

8 августа, 2019 Автор: istorii_master · Published 8 августа, 2019 · Last modified 28 августа, 2023 —>

комментариев 6

Крууууууууутооооооое объяснение. Все гениальное — просто. Автор — гений. Пытаюсь реализовать сингулярность в образовании. Пропагандирую экспоненциальное мышление. Правда, в своей интерпретации

очень интересно, спасибо.
story_master :

Спасибо. Автор по основной специальности — авиаинженер. По второй — менеджер. Все очень близко к реальной жизни.

Иван! Да не экспотенциальный, а экспоНенциальный рост!

Автор! Выше всех похвал. Так просто о сложном могут писать только очень талантливые люди. Не рискую даже предположить, кто автор по основной специальности. Респект.

Интересная информация. Большое спасибо! Хотя бы немного понял что такое экспотенциальный рост, а то встретил этот термин в фильме про деньги и не могу понять что имели ввиду.

Добавить комментарий

Следите за нами:

  • Следующая публикацияИмперия и император
  • Предыдущая публикацияРисунки на самолетах

Рубрики

Свежие записи

  • Кому выгодно
  • Реактивный двигатель
  • Горячая вода замерзает…
  • Чему равно число е
  • Инерциальная система

Лучшее

  • Популярные записи
  • Новые записи
  • Новые комментарии
  • Метки

Что такое Экспонента

Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е).

е — это число Эйлера, у него бесконечное количество цифр после запятой, оно трансцендентное и иррациональное. Оно равно округлённо 2,72 (а полностью — 2,718281828459045. ).

Трансцендентным число называется, если оно не удовлетворяет ни одному алгебраическому уравнению. Иррациональным — если его нельзя представить в виде дроби m/n, где n не равно 0.

Несмотря на свою бесконечность, число е является константой. То есть значением, которое никогда не изменяется.

Показательная функция — это математическая функция вида y = a×.

График экспоненты выглядит следующим образом:

График экспоненты

Для чего используется экспонента?

Экспонента применяется и в физике, и в технике, и в экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.

Экспоненциальный рост

Мы используем термин экспоненциальный рост, чтобы сказать о стремительном росте чего-либо. Словосочетание чаще всего употребляется по отношению к росту популяции людей или животных/птиц.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

второй замечательный предел

То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

Как определить число е?

Помимо второго замечательного предела, существуют и другие способы для определения числа е:

  • через сумму ряда;
  • через формулу Муавра — Стирлинга;
  • другие.

Сумма ряда

Существует мнение, что этот метод использовал сам Эйлер, когда высчитывал е.

сумма ряда

Можно получить приближение е, рассчитав первые 7 частей этой суммы:

метод Эйлера пример

И эти вычисления дали нам следующий результат:

otvet

Этот метод дал нам точных 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.

Формула Муавра — Стирлинга

Также называется просто формула Стирлинга:

Формула Муавра — Стирлинга

И в этом случае чем больше n, тем точнее будет результат.

Как запомнить число е

Можно легко запомнить 9 знаков после запятой, если заметить удивительную закономерность: после «2,7» число «1828» появляется дважды (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, а Франц Шуберт умер.

Хотите дальше? Можно и дальше! 15 знаков после запятой! Последующие цифры — это градусы углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ( 45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

lnx=logex

Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как .

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

John Naiper

Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

Leonard Euler

Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

Дата обновления 03/09/2020.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *