Число которое делится на 12 и 18
Перейти к содержимому

Число которое делится на 12 и 18

  • автор:

Нахождение НОД и НОК для чисел 18 и 12

Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) 18 и 12

Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел 18 и 12 — это наибольшее число, на которое 18 и 12 делятся без остатка.

Для нахождения НОД (18;12) необходимо:

  • разложить 18 и 12 на простые множители;
  • взять те множители, которые входят в разложение каждого из чисел;
  • вычислить их произведение.

18 = 2 · 3 · 3;

18 2
9 3
3 3
1

12 = 2 · 2 · 3;

12 2
6 2
3 3
1

Ответ: НОД (18; 12) = 2 · 3 = 6. Подробнее про нахождение НОД смотрите здесь.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) 18 и 12

  • разложить 18 и 12 на простые множители;
  • взять множители, входящие в разложение одного из числа;
  • добавить к ним те множители, которые отсутствуют в другом числе;
  • вычислить их произведение.

18 = 2 · 3 · 3;

18 2
9 3
3 3
1

12 = 2 · 2 · 3;

12 2
6 2
3 3
1

Ответ: НОК (18; 12) = 2 · 3 · 3 · 2 = 36 Подробнее про нахождение НОК смотрите здесь.

Смотрите также:

  • Смотрите также
  • Калькуляторы
  • Последние примеры

Полезные материалы

  • Алгоритм нахождения НОК
  • Таблица простых чисел
  • Еак найти кратное число?

Онлайн калькуляторы

  • Калькулятор деления в столбик с решением
  • Умножение чисел в столбик онлайн
  • Онлайн калькулятор НОД и НОК с подробным решением
  • Разложить число на простые множители
  • Онлайн калькулятор делителей числа

Последние примеры на нахождение НОД и НОК

  • Как найти НОК 126 и 3?
  • Найти наибольший общий делитель 4104 и 42
  • Вычислить НОД 85 и 46
  • Найти НОД чисел 288 и 28
  • Найти НОК 882 и 882
  • Найти НОК 31 и 81
  • Найти НОК 240 и 78

Число которое делится на 12 и 18

СТАБИЛИЗИРОВАННАЯ LED ЛЕНТА СЕРИИ VLS 24В 20 МЕТРОВ Ограничений становится все меньше. Теперь привычная лента 24В представлена в катушке на 20 метров, что позволяет подключить ее полност.

15 февраля 2024

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОМЫШЛЕННОЙ ЛИНЕЙКИ Мы рады сообщить, что смогли добиться увеличения эффективности нашей промышленной серии светильников. Для линейных промышленных светил.

15 февраля 2024

СВЕТОДИОДНАЯ ЛЕНТА СЕРИИ COB Представляем вашему вниманию ленту серии СОВ IP20, IP54, IP65! Лента СОВ — больше никаких точек! Рассеиватель вам не понадобится. Ос.

15 февраля 2024

МАГНИТНАЯ ТРЕКОВАЯ СИСТЕМА GALAKTI В нашем ассортименте декоративного освещения появилась новинка – магнитная трековая система Galakti. Galakti представляет собой стильн.

15 февраля 2024

Выключатели дифференциального тока ВД-100N EKF PROXIMA получили новый дизайн В линейке модульного оборудования EKF появились электромеханические выключатели дифференциального тока ВД-100N до 100А EKF PROXIMA в но.

15 февраля 2024

Умная лампа GU5.3 EKF Connect RGBW. EKF выводит на российский рынок эксклюзивный продукт: умную лампу GU5.3 EKF Connect RGBW. Управляется она с помощью смартфона по сети .

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное (RU)

eolymp

Каждый из нас в школе изучал, что такое наибольший общий делитель (далее НОД) двух чисел a и b. Конечно же, это наибольшее целое число d, на которое a и b делятся без остатка. Без труда каждый ученик может сказать, например, что НОД(12, 18) = 6. Но что если одно из чисел равно 0? А если a или b отрицательно? Над этим вопросом на школьных уроках, наверное, не каждый из нас задумывался. Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, приведем определение – что же такое наибольший общий делитель.

Определение 1.Наибольшим общим делителем (далее НОД) двух целых чисел a и b, одновременно не равных нулю, называется такое наибольшее целое число d, на которое a и b делятся без остатка. Этот факт обозначается так: d = НОД(a, b). Если оба числа равны нулю, то положим НОД(0, 0) = 0.

Исходя из определения, имеют место следующие равенства:

Почему, скажете вы, НОД(-12, 18) равен 6, а не -6? Ведь и -12, и 18 делятся нацело на 6 и на -6. Ответ прост: ведь НОД – это же наибольший общий делитель, а число 6 больше -6.

С понятием наибольшего общего делителя тесно связано понятие наименьшего общего кратного.

Определение 2.Наименьшим общим кратным (далее НОК) двух целых чисел a и b называется наименьшее положительное целое число, кратное как a, так и b.

Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число n можно представить в виде произведения простых чисел:

Такое разложение натурального числа называется каноническим. Из него следует, что если

medv_gcd_03

medv_gcd_04

Пример 1. Рассмотрим числа a = 24 и b = 18. Разложим их на простые множители: 24 = 2 3 ·3, 18 = 2·3 2 . Следовательно

НОД(24, 18) = 2 min(3,1) · 3 min(1,2) = 2 1 · 3 1 = 6,

НОК(24, 18) = 2 max(3,1) · 3 max(1,2) = 2 3 · 3 2 = 8 · 9 = 72

Именно такой метод, с использованием канонического разложения чисел, мы изучали в школе для нахождения НОД и НОК. Однако этот метод не эффективен для реализации алгоритмов их вычисления.

Рассмотрим следующий очевидный факт. Если НОД(a, b) = d, то a и b делятся на d. Следовательно, их разница ab также делится на d. Имеет место следующее рекуррентное соотношение для вычисления НОД:

medv_gcd_05

Пример 2. Пусть a = 32, b = 12. Тогда

НОД(32, 12) = НОД(32 – 12, 12) = НОД(20, 12) = НОД(20 – 12, 12) = НОД(8, 12) =

= НОД(8, 12 – 8) = НОД(8, 4) = НОД(8 – 4, 4) = НОД(4, 4) = НОД(4 – 4, 4) = НОД(0, 4) = 4

Приведенный метод вычисления не является оптимальным. Например, для нахождения НОД(1000000, 2) следует выполнить 500000 операций вычитания. Для ускорения вычисления НОД операцию вычитания заменим операцией взятия остатка от деления:

medv_gcd_06

Пример 3. Пусть a = 78, b = 14. Тогда

НОД(78, 14) = НОД(78 mod 14, 14) = НОД(8, 14) = НОД(8, 14 mod 8) = НОД(8, 6) =

= НОД(8 mod 6, 6) = НОД(2, 6) = НОД(2, 6 mod 2) = НОД(2, 0) = 2

Упростим приведенную выше рекуррентность, сократив количество условий до двух:

medv_gcd_07

Если a < b, то НОД(a, b) = НОД(b, a mod b) = НОД(b, a), то есть аргументы функции переставляются. При последующих вызовах функции НОД первый аргумент всегда больше второго. Нулем может стать только второй аргумент b.

Пример 4. Пусть a = 14, b = 78. Тогда

НОД(14, 78) = НОД(78, 14) = НОД(14, 8) = НОД(8, 6) = НОД(6, 2) = НОД(2, 0) = 2

Реализуем на языке программирования Си функцию gcd (Greatest Common Divisor) вычисления НОД, используя последнюю рекуррентность. Знак % в Си обозначает операцию взятия остатка от деления.

int gcd( int a, int b)

if (b == 0) return a;

return gcd(b, a % b);

Напомним, что условный оператор в Си имеет следующий синтаксис:

Тернарный условный оператор имеет синтаксис:

и семантически немного отличается от оператора if..then..else. Если истинно, то оператор возвращает значение, которое возвращает , иначе возвращается значение выражения .

Используя тернарный оператор, функцию gcd можно записать следующим образом:

int gcd( int a, int b)

return (!b) ? a : gcd(b, a % b);

Теорема. Между НОД и НОК двух чисел имеет место соотношение:

Функция lcm (Lowest Common Multiple) вычисления НОК имеет вид:

int lcm( int a, int b)

return a / gcd(a, b) * b;

Заметим, что при вычислении выражения a * b / gcd(a, b) может возникнуть переполнение, а при a / gcd(a, b) * b нет. Здесь подразумевается, что значения a, b и lcm(a, b) лежат в границах типа int.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. «Алгоритмы построение и анализ», Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К., – Москва, Санкт-Петербург, Киев, 2005 – 1292 с.

Наименьшее общее кратное (НОК) для 12 и 18

Какое наименьшее общее кратное (НОК) у чисел 12 и 18?

Ответ: НОК чисел 12 и 18 это 36

Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 12 и 18 используя НОД этих чисел

Первый способ нахождения НОК для чисел 12 и 18 — через нахождение наибольшего общего делителя (НОД) этих чисел. Формула:

НОК = (Число1 × Число2) ÷ НОД

НОД чисел 12 и 18 равняется 6, следовательно

Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 12 и 18 используя перечисление кратных

Второй способ нахождения НОК для чисел 12 и 18 заключается в перечислении всех кратных для обоих чисел и выбор первого совпадающего:

Кратные числа 12: 12, 24, 36, 48, 60

Кратные числа 18: 18, 36, 54, 72

Следовательно, НОК для 12 и 18 равняется 36

Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 12 и 18 используя разложение чисел на простые множители

Еще один способ нахождения НОК чисел 12 and 18 — это нахождение всех простых множителей для обоих чисел и перемножение самых больших экспоненциальных форм

Все простые множители числа 12: 2, 2, 3 (экспоненциальная форма: 2 2 , 3 1 )

Все простые множители числа 18: 2, 3, 3 (экспоненциальная форма: 2 1 , 3 2 )

2 2 × 3 2 = 36

Похожие расчеты

  • Наибольший общий делитель 12 и 18
  • Дробь 12/18 в виде десятичной дроби
  • Дробь 12/18 в процентах
  • На сколько процентов 12 меньше чем 18?

Поделитесь текущим расчетом
https://calculat.io/ru/number/least-common-multiple-lcm-of/12—18

Наименьшее общее кратное 12 и 18. Узнать наименьшее общее кратное для чисел 12 и 18.

https://calculat.io/ru/number/least-common-multiple-lcm-of/12—18/generated.jpg

О калькуляторе «Наименьшее общее кратное»

Данный калькулятор поможет найти Наименьшее общее кратное двух чисел. Например, он может помочь узнать какое наименьшее общее кратное (НОК) у чисел 12 и 18? (Ответ: 36). Выберите первое число (например ’12’) и второе число (например ’18’). После чего нажмите кнопку ‘Посчитать’.

Наименьшее общее кратное (НОК) для двух чисел - это наименьшее натуральное число, которое делится на оба числа без остатка

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *