Показать что функция является решением дифференциального уравнения
Перейти к содержимому

Показать что функция является решением дифференциального уравнения

  • автор:

Показать, что функция является решением дифференциального уравнения

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

показать что функция y=C/cosx является решением дифф.уравнения y’-y*tgx=0?

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Показать, что функция является решением уравнения
2) Показать, что функция y(x+lnx)=1-y является решением уравнения x^+y=^lnx где, можно.

Проверить, является ли функция y=x^3 решением дифференциального уравнения y»-2y’=0
Возможно для кого-то покажется простым, но я засыпался на этом на экзамене. Помогите пожалуйста.

Проверить подстановкой, является ли функция решением дифференциального уравнения
Проверить (подстановкой), является ли функция x = ϕ(t) решением данного дифференциального.

Проверить, является ли функция решением ДУ
Помогите решить первых 2 пожалуйста. Вообще не знаю ДУ(

Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению?

На дворе начало апреля 2015 и эти солнечные, но ещё холодные деньки навеяли ностальгические воспоминания о своих первых, во многом любительских заметках по высшей математике. Но время шло, тараканы взрослели, и мой стиль становился всё более и более академичным, а статьи – всё более объёмными и обстоятельными. Однако, не зря говорят, что всё возвращается на круги своя, и, видимо, поэтому сегодня появилось желание вернуться к той же лёгкости и непринуждённости изложения материала. По крайне мере, я попытаюсь =)

Задание, сформулированное в заголовке статьи, оказалось обойдено вниманием в теме «обычных» производных (производных функции ), и, прежде чем перейти к примерам с функциями нескольких переменных, наверстаем упущенное:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

! Примечание: в условии таких задач производную нередко обозначают через , и это не должно сбивать с толку!

Решение: поскольку в предложенное уравнение входит не только функция, но и её производная, то сначала следует найти производную:

Далее решение можно оформить двумя эквивалентными способами:

Стиль №1. Подставим и в левую часть уравнения и проведём упрощения:

– в результате получена правая часть, таким образом, данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Что это, кстати, значит? Грубо говоря, функция является корнем уравнения .

Стиль №2. Подставим и в уравнение и выполним упрощения (в данном случае только левой части):

Получено верное равенство.

Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Аналогичную проверку, разумеется, можно выполнить и для других функций. Так, например, подставим и её производную в левую часть уравнения (Стиль №1):
– получена правая часть, значит, функция тоже удовлетворяет данному уравнению.

А вот, скажем, функция «не подходит». И действительно, подставляя в уравнение (Стиль №2):

– получаем неверное равенство.

Совершенно понятно, что таких «неудовлетворительных» функций – великое множество.

Многие читатели уже давно интуитивно чувствуют нечто знакомое, и это неспроста! Всем с раннего детства знакома ситуация, когда, широко разинув рот, с интересом слушаешь взрослого, после чего там оказывается невкусная таблетка…, а то и вообще шприц в попе =) Вот и сейчас вы побывали в похожей ситуации! – неожиданно так, чтобы испугаться никто не успел, познакомил я вас с одной ужасной вещью:))

– это не что иное, как дифференциальное уравнение, а функция – одно из его решений. Дифференциальные уравнения мы научимся решать позже, а пока что проведём «артподготовку» к этой теме. Самостоятельно:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Здесь решение чуть выгоднее провести первым способом, т.е. найти производную и подставить в левую часть уравнения с дальнейшими преобразованиями.

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

В этом же задании подстановка осуществляется в обе части уравнения и по этой причине удобнее использовать 2-й способ, получив верное либо неверное равенство.

Следует отметить, что функция вовсе не обязана удовлетворять уравнению, и иногда приходится давать противоположный ответ: «данная функция НЕ удовлетворяет данному уравнению». Но такой исход всегда неприятен, поскольку начинает мерещиться, что где-то допущена ошибка, после чего следует тщательная проверка, а зачастую и параноидальная перепроверка решения.

Примерные образцы чистового оформления примеров внизу страницы.

Как я уже намекнул в самом начале, рассматриваемое задание значительно чаще формулируется для функции нескольких, а точнее – для функции двух переменных; поэтому данный урок и оказался в разделе ФНП. Предполагается, что на данный момент вы умеете находить частные производные функции двух переменных:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

И сразу обращаю внимание на запись частных производных – в подавляющем большинстве подобных примеров вы встретите именно громоздкие обозначения. В принципе, уравнение можно переписать в виде и это ни в коем случае не будет ошибкой, но я буду придерживаться традиционного стиля, с которым вы вероятнее всего столкнётесь на практике.

Решение: в предложенное уравнение входит как сама функция, так и её частные производные первого порядка, что сподвигает к естественным действиям:

Решение, напоминаю, можно оформить двумя способами, и, на мой взгляд, здесь проще подставить найденные частные производные в левую часть:

– «на выходе» получена правая часть нашего уравнения.

Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пара примеров для самостоятельного решения:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Тут сподручнее выполнить подстановку в обе части и получить верное или неверное равенство.

То же задание для функции и уравнения

А здесь удобнее упростить левую часть и выяснить, получится ли в итоге .

Предостерегаю от мысли «Да чего тут решать, и так всё понятно». Добросовестно прорешивая примеры, вы не только отрабатываете тематическую задачу, но и шлифуете свою технику нахождения частных производных. И это тем более важно, поскольку я предлагаю вам не абы какие-то задачки, а связный, методически продуманный курс статей – чтобы полученные знания и навыки остались с вами надолго. Таким образом, наш урок вовсе не закончился – он в самом разгаре!

Решения и ответы в подвале.

Помимо частных производных 1-го порядка, в уравнении могут присутствовать и частные производные более высоких порядков, как правило – второго:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Здесь вместо буквы «зет» использована буква «у», что является весьма распространённым вариантом обозначения функции.

Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка:

Затем входящие в уравнение частные производные 2-го порядка:

Подставим и в левую часть уравнения:
– в результате НЕ получена правая часть данного уравнения.

Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.

Так действительно бывает!

Интересное задание для самостоятельного решения:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Краткое решение и ответ в конце урока.

И заключительные примеры посвящены тому же заданию, но с функцией трёх переменных. Следует отметить, что в «реальном» практическом примере вам вряд ли напишут, скольких переменных дана функция, и этот момент всегда следует прояснять самостоятельно:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Симметрия это не только красиво – но ещё и очень удобно!

Теперь важно не перепутать квадраты производных с производными второго порядка. Подставим найденные производные в левую часть уравнения:

– получена правая часть данного уравнения.

Ответ: дфуду

Вот так и рождаются новые ругательства =)

Симметрия по вашу душу:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Подумайте, как рациональнее оформить решение.

Дополнительные задания по теме можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.2), ну а я в лучших традициях своего «раннего творчества» отпускаю вас пораньше =) Сейчас ещё раз перечитаю текст и постараюсь избавить его от излишней наукообразной лексики…, хотя наставление в середине статьи всё-таки оставлю, что делать – старею =)

Надеюсь, мои уроки удовлетворяют вашим ожиданиям, и после перемены я жду вас на странице Частные производные неявно заданной функции.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём производную:

Подставим и в левую часть уравнения:

– в результате получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 3: Решение: найдём производную:

Подставим и в уравнение :

Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 5: Решение: используя свойства логарифмов, преобразуем функцию:

Найдём частные производные первого порядка:

Подставим и в уравнение :

Получено неверное равенство.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.

Пример 6: Решение: найдём частные производные первого порядка:

Подставим функцию и найденные производные в левую часть уравнения:

– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 8: Решение: найдём частную производную по «икс»:
(т.к. константой считается «игрек», то производная берётся от степенной функции)
Найдём смешанную частную производную 2-го порядка:

(т.к. константой считается «икс», то производная берётся как производная от показательной функции)
Подставим и в уравнение:

Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 10: Решение: преобразуем функцию:

Найдем частные производные первого порядка:

Подставим найденные производные в уравнение :

Получено верное равенство
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Показываем, что данная функция является решением дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения — это математические уравнения, описывающие зависимости между функциями и их производными. В науке и инженерии они являются важным инструментом для моделирования и предсказания различных явлений. Решение дифференциальных уравнений позволяет найти функцию, удовлетворяющую заданному уравнению и начальным условиям.

Решение дифференциального уравнения представляет собой функцию, для которой выполняется само уравнение. Оно может быть найдено аналитически или численно. Аналитическое решение выражается через элементарные функции, такие как экспонента, тригонометрические функции и их комбинации. Численные методы позволяют получить приближенное решение дифференциального уравнения с высокой точностью.

Как показать функцию как решение дифференциального уравнения? Для этого необходимо подставить функцию и ее производные в уравнение и проверить, выполняется ли оно. Функция считается решением уравнения, если оно выполняется для всех значений независимой переменной. При этом, решение может содержать произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий.

Определение дифференциального уравнения

Общий вид дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

F(x, y, y’, y», …, y n ) = 0

  • x — независимая переменная или аргумент функции,
  • y(x) — неизвестная функция от аргумента,
  • y’, , …, y n — производные функции y(x) по переменной x,
  • F(x, y, y’, y», …, y n ) — дифференциальное выражение, которое содержит исходную функцию y(x) и ее производные,
  • 0 — ноль, обозначающий, что дифференциальное выражение равно нулю.

Решением дифференциального уравнения является функция y(x), которая, подставленная в дифференциальное выражение, обращает его в тождество, то есть удовлетворяет уравнению для всех значений аргумента x.

Решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде явной (аналитической) формулы, в виде неявного уравнения или в виде системы дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения широко применяются в физике, инженерии, экономике, биологии и других областях для описания различных явлений и процессов.

Что такое дифференциальное уравнение?

Дифференциальные уравнения широко используются для моделирования реальных процессов в физике, химии, биологии, экономике и других областях науки. Они представляют собой мощный инструмент для решения задач, где требуется выяснить, как меняется функция в зависимости от ее производных и других переменных.

Решение дифференциального уравнения представляет собой функцию, которая удовлетворяет уравнению и может использоваться для предсказания поведения системы вопроса. Решение может быть единственным или семейством функций, зависящих от параметров.

Дифференциальные уравнения можно классифицировать по различным критериям, например, по числу переменных и производных, по типу функций или по порядку уравнения. Решение дифференциального уравнения может быть явным или неявным, точным или приближенным.

Решение дифференциального уравнения может быть представлено в разных формах, например, в виде формулы, графика или численных значений. Для решения дифференциальных уравнений используются различные методы, такие как методы разложения, методы численного интегрирования или методы приближенного решения.

Важно отметить, что решение дифференциального уравнения может быть не всегда найдено аналитически и в некоторых случаях требуется использование численных методов.

Роль и значение функции в решении дифференциального уравнения

Функция играет важную роль в решении дифференциального уравнения. Она представляет собой математическое выражение, которое связывает значения неизвестной функции с ее производными. Дифференциальное уравнение содержит производные и их комбинации, и решение этого уравнения требует определения соответствующей функции, удовлетворяющей заданным условиям.

Процесс решения дифференциального уравнения с использованием функции может быть представлен различными способами, в зависимости от типа уравнения и его порядка. Однако, в целом, решение включает поиск функции, которая удовлетворяет уравнению и начальным условиям. Функция может содержать произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий или других ограничений.

Значение функции в решении дифференциального уравнения заключается в его интерпретации и практическом применении. Решение может представляться в виде графика, который показывает зависимость функции от независимой переменной. Это позволяет наглядно представить поведение системы, описываемой дифференциальным уравнением, в различных условиях.

Функции, решающие дифференциальные уравнения, широко используются в физике, инженерии, экономике и других областях науки и техники. Они позволяют моделировать и предсказывать различные процессы и явления, в том числе изменение температуры, скорость движения, концентрацию вещества и т. д. Таким образом, функции в решении дифференциальных уравнений имеют существенное значение для понимания и описания реальных явлений.

Центральные понятия Описание
Дифференциальное уравнение Математическое уравнение, содержащее производные неизвестной функции
Функция Математическое выражение, связывающее значения функции с ее производными
Решение Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению и начальным условиям
Значение Интерпретация и применение решения дифференциального уравнения

Показать связь между функцией и дифференциальным уравнением

Функция, в свою очередь, представляет собой математическое правило, которое ставит в соответствие каждому значению аргумента определенное значение. Функции могут быть представлены различными способами, включая аналитическую формулу, графику или таблицу значений.

Связь между функцией и дифференциальным уравнением заключается в том, что функция является решением дифференциального уравнения, если она удовлетворяет его условиям. Иными словами, подставляя функцию в дифференциальное уравнение, мы получаем тождество.

Дифференциальные уравнения могут быть разных типов, включая обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и частные дифференциальные уравнения (ЧДУ). Решения дифференциальных уравнений могут быть однозначными или иметь свободные параметры.

Показывать связь между функцией и дифференциальным уравнением можно с помощью примеров. Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение первого порядка:

где y’ обозначает производную функции y по x. Решив это уравнение, мы можем найти функцию, которая удовлетворяет его условиям:

где С — произвольная постоянная. Таким образом, функция y = x^2 + C является общим решением данного дифференциального уравнения.

Итак, функция и дифференциальное уравнение тесно связаны друг с другом. Дифференциальные уравнения позволяют нам описывать изменение системы с помощью функций, а функции, в свою очередь, позволяют нам решать дифференциальные уравнения. Эта связь имеет широкое применение в научных и прикладных областях математики, физики, экономики и других дисциплин.

Пример применения функции для решения дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения широко применяются в физике, экономике, биологии и других областях науки. Они описывают зависимость величин от их производных. Часто для их решения требуется использовать специальные методы, включая аналитические методы и численные методы.

Рассмотрим пример применения функции для решения дифференциального уравнения. Допустим, у нас есть дифференциальное уравнение первого порядка:

где y’ — производная функции y(x) по переменной x. Наша задача — найти функцию y(x), удовлетворяющую этому уравнению.

Для решения данного дифференциального уравнения можем использовать метод интегрирования. Проинтегрируем обе части уравнения по переменной x:

где C — произвольная постоянная, которая может быть определена из начальных условий, если таковые имеются.

Таким образом, функция y(x) = x^2 + C является решением данного дифференциального уравнения.

Приведенный пример демонстрирует применение функции для решения дифференциального уравнения. Использование методов аналитического решения позволяет получить точные результаты и более глубокое понимание зависимостей между величинами.

Иллюстрация процесса решения дифференциального уравнения с помощью функции

Предположим, у нас есть дифференциальное уравнение:

dy/dx = f(x),

где dy/dx представляет собой производную функции y по переменной x, а f(x) — функция, зависящая только от x.

Чтобы найти функцию y(x), которая удовлетворяет данному уравнению, мы должны проинтегрировать обе стороны уравнения относительно переменной x. В результате получим:

y(x) = ∫ f(x) dx + C,

где C — постоянная интегрирования.

Таким образом, интегрирование функции f(x) по переменной x даст нам общее решение дифференциального уравнения, а постоянная C будет определяться начальными условиями или ограничениями задачи.

Примером может служить дифференциальное уравнение dy/dx = 2x.

Интегрируя функцию f(x) = 2x относительно переменной x, мы получаем:

y(x) = x^2 + C,

где постоянная C является произвольной константой.

Таким образом, функция y(x) = x^2 + C является общим решением данного дифференциального уравнения.

Использование функций для решения дифференциальных уравнений позволяет нам более удобно и эффективно искать решения и анализировать физические процессы. Они являются важным инструментом не только в теоретической математике, но и в различных инженерных и научных областях.

Плюсы и минусы использования функции для решения дифференциального уравнения

Плюсы:

1. Единственность решения: Функция позволяет найти точное решение дифференциального уравнения, если такое существует. Это позволяет получить конкретное аналитическое выражение для функции и изучить ее характеристики.

2. Универсальность: Использование функции позволяет решать различные типы дифференциальных уравнений, такие как обыкновенные и частные дифференциальные уравнения. Функциональный подход можно применять к широкому спектру задач.

3. Гибкость: Функция может содержать параметры, которые позволяют изменять ее форму и свойства. Это позволяет настраивать решение в зависимости от требований задачи и изменять его при необходимости.

Минусы:

1. Ограничения: Не для всех дифференциальных уравнений существуют точные аналитические решения. В таких случаях использование функции может быть невозможно или неэффективно.

2. Сложность вычисления: Для некоторых функций решения дифференциального уравнения могут быть сложными или трудоемкими в вычислительном отношении. Это может потребовать использования численных методов решения.

3. Неэкономичность: Использование функции в некоторых случаях может быть неэффективным с точки зрения вычислительных ресурсов. Например, в случае, когда требуется решить большое количество дифференциальных уравнений с различными параметрами.

11. Дифференциальные уравнения

,

где — независимая переменная,— искомая функция,— ее производная называется обыкновеннымдифференциальным уравнением первого порядка.

Если это уравнение можно разрешить относительно , то оно принимает вид

(11.1)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция ,  , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

при , (11.2)

при которых функция принимает заданное значениев заданной точке, называютначальным условием.

Общим решением уравнения(11.1) в некоторой областиплоскостиназывается функция, зависящая оти произвольной постояннойи обладающая следующими свойствами:

      1. она является решением уравнения (11.1) при любом значении постоянной ;
      2. при любых начальных условиях (11.2) таких, что , существует единственное значение постояннойтакое, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением уравнения(11.1) в областиназывается функция, которая получается из общего решенияпри определенном значении постоянной. Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию (11.2), называется задачей Коши. Пример 1. Показать, что функцияудовлетворяет уравнению. Решение.Имеем . Подставим ив левую часть уравнения: . Получили тождество . Следовательно, функцияявляется решением данного уравнения. Пример 2. Показать, что функцияслужит решением дифференциального уравнения второго порядка. Решение.Находим,.подставив выражение дляив данное уравнение, получим , т.е. функция действительно является решением данного дифференциального уравнения. Пример 3. Проверить, что функция, определяемая уравнением, является решением дифференциального уравнения. Решение.Продифференцируем обе части равенствапо переменнойс учетом того, что; тогда получим , или , откуда. Пример 4. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей. Решение.Дифференцируя данное выражение, получаем, откуда. Исключаем теперь произвольную постоянную. Для этого из последнего уравнения находим, подставляя его в данное уравнение, получим . Это и есть дифференциальное уравнение данного семейства окружностей. Дифференциальное уравнение вида , (11.3) где ,,,— непрерывные функции, называетсядифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций ,,,тождественно не равна нулю, то в результате деления уравнения (11.3) наоно приводится к виду . Почленное интегрирование этого уравнения приводит к соотношению , которое и определяет (в неявной форме) решение уравнения (11.3)  . Пример 5. Найти общее решение уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через точку . Решение.Данное уравнение можно переписать в виде или . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при — функция только от, коэффициент при— функция только от). Интегрируя, получим общее решение . Полагая в нем ,, находим. Таким образом, частное решение, проходящее через точку. Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение.Вынося общие множители за скобки, данное уравнение можно записать так: , откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение , получим . Интегрируя это уравнение, находим или , откуда получаем общее решение: . Уравнение вида . называется однородным. С помощью подстановки , где— новая неизвестная функция, оно преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными. Уравнение , (11.4) для которого преобразованием где постоянные инаходятся из системы уравнений сводится к однородному уравнению. При преобразованиемуравнение (11.4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение.Разделим числитель и знаменатель правой части данного уравнения на, получим: . Делаем подстановку , где— новая неизвестная функция. Тогдаи уравнение приводится к виду или . Разделяем переменные: . Интегрируя, получаем 2 arctg z — 3 ln(1+ z2 )= ln + C. Заменяя на, получим общее решение данного уравнения: или . Пример 8. Найти общее решение уравнения . Решение.Это уравнение вида (11.4): , при этом . Вводим новые переменные ,, где идолжны удовлетворять системе уравнений Решая эти уравнения, находим ,. Таким образом, ,;,. Исходное уравнение преобразуется к виду или . В полученном однородном уравнении положим , откуда; приходим к уравнению с разделяющимися переменными: . Преобразуем последнее уравнение: . Разделяя переменные, получим . Пользуясь формулой , из последнего уравнения находим или . Отсюда . Подставляя сюда , получим или . Перейдем к переменным ипо формулам,: . Раскрыв скобки и заменив полученную в уравнении константу на , получим общее решение исходного уравнения: . Уравнение вида , (11.5) где и— непрерывные функции, называетсялинейным дифференциальным уравнением первого порядка(ивходят в первых степенях, не перемножаясь между собой). Если , то уравнение (11.5) называется линейнымоднороднымуравнением. Если, то уравнение (11.5) называется линейнымнеоднороднымуравнением. Общее решение линейного однородного уравнения (11.4) легко получается разделением переменных: ; ;, или, наконец, , где — произвольная постоянная. Решение линейного неоднородного уравнения ищется методом Бернуллив виде . Подстановка выражений для ив уравнение (11.5) приводит его к виду . В качестве выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению , тогда функция определяется из уравнения . Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа или методом вариации постоянных, полагая , где — некоторая дифференцируемая функция от. Для нахождения нужно подставитьв исходное уравнение (11.5), что приводит к уравнению . Отсюда , где — произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид . Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида , (11.6) где — действительное число. В случае,уравнение (11.6) является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному с помощью подстановки . Пример 9. Найти общее решение уравнения . Выделить решение, удовлетворяющее условию . Решение.Разделим переменные в данном уравнении: . Интегрируя, получим или . Решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию, имеет вид ; ;. Пример 10. Решить уравнение . Решение.Разделив левую и правую части данного уравнения на, приходим к линейному неоднородному уравнению: . Применим метод Бернулли. Пусть , тогдаи уравнение примет вид . Положим или . Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при и . При этом данное уравнение обратится в уравнение или . Решая это уравнение, получим . Таким образом, окончательно имеем . Пример 11. Решить уравнение при начальном условии . Решение.Соответствующее однородное уравнение имеет вид . Разделив переменные, получим , ,. Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде , где — неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнениеи, придем к уравнению или откуда . Интегрируя по частям при ,и,, получим . Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения . Используя начальное условие , получим, откуда. Следовательно, искомое решение задачи Коши. Пример 12. Найти общее решение уравнения . Решение.Преобразовав уравнение к виду , убеждаемся, что это уравнение Бернулли с . С помощью подстановки , , данное уравнение приводится к линейному . Решая однородное уравнение , ,, получаем . Ищем решение неоднородного уравнения в виде , . Подставляем в уравнение или . Разделяя переменные и интегрируя, получаем , . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид , или, после замены , . Уравнение вида , (11.7) где левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции в некоторой области, называетсяуравнением в полных дифференциалах. Его можно записать в виде , где — такая функция, что. Отсюда следует, что общее решение уравнения (11.7) имеет вид. Решение сводится к отысканию функции. Для того чтобы уравнение (11.7) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области , в которой функциииопределены, непрерывны и имеют непрерывные частные производныеи, было выполнено условие . (11.8) В том случае, когда условие (11.8) выполнено, общий интеграл уравнения (11.7) можно записать в виде или , (11.9) где — произвольная фиксированная точка области. Если условие (11.8) не выполнено, то уравнение (11.7) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию , которая называетсяинтегрирующим множителем. Интегрирующий множитель легко находится, когда он зависит только от , т.е., или только от, т.е.. Первый из этих случаев имеет место, если соотношение является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле (11.10) Второй случай имеет место, если соотношение является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле . (11.11) Пример 13. Найти общее решение уравнения . Решение.Здесь,,,; таким образом, условие (11.8) выполнено, т.е. данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем общее решение по формуле (11.9), взяв ,: или . Подставляя пределы, находим или , где . Пример 14. Найти общее решение уравнения . Решение.Здесь ,, так что,, т.е. условие (11.8) не выполняется. Проверим, существует ли дляданного уравнения интегрирующий множитель. Поскольку , то интегрирующий множитель вычисляется по формуле (11.10): . Умножив обе части исходного уравнения на , получаем уравнение , которое, как нетрудно проверить, является уравнением в полных дифференциалах. Решим это уравнение. Полагая ,и используя формулу (11.9), имеем , т.е. или . Это и есть общее решение данного уравнения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *