Потому что 2 плюс 2
Перейти к содержимому

Потому что 2 плюс 2

  • автор:

2+2=2, или что общего у пальм и чисел?

Прежде всего, со всей ответственностью скажу, что два плюс два действительно равняется двум. Согласны? Или думаете, что здесь есть какой-то подвох? И да, и нет. Два плюс два равно двум, но не в традиционном смысле, а в тропическом. Если я еще не сумел заинтересовать пытливого читателя, то скажу заранее: в статье, кроме чудес сложения и умножения, будет еще одно. Бесконечность — это ноль. Но обо всем по порядку.

И что же общего?

На самом деле, общего много. Есть такой специальный раздел математики под названием тропическая математика. Иногда, в зависимости от контекста, используется термин «идемпотентная». Тропическая она потому, что её основы заложил ученый из Бразилии. Так название и прижилось. Главное отличие такой математики от нашей традиционно-обыденной в том, что в качестве сложения в ней используется операция максимум. Таким образом, . Наверное, вы никогда не задумывались, почему при суммировании получается то, что получается. Оно ведь из жизненного опыта очевидно: если взять два яблока и прибавить два яблока, будет четыре яблока, как ни крути. Это действительно так. Живем в такой вселенной и выбирать не приходится. Но даже в нашей вселенной с её предустановленными правилами есть, где разойтись.

В качестве операций над числами можно задать любое правило или алгоритм. Это не значит, что сейчас каждый придумает себе свое сложение с блек джеком и умножением. Оно-то конечно так, но, чтобы его признали и использовали, необходима практическая польза. Или, на худой конец, теоретическая. Придумать можно, но вряд ли будет полезно, поэтому критерий практичности сужает область для исследований и фантазии. В данной вселенной нам в хозяйственной жизни удобно использовать натуральные числа и определенные для них сложение и умножение. Но, если бы мы считали количество капель воды, то вполне могли бы использовать сложение, которое дает .Ведь одна капля плюс одна капля будет все та же одна капля, но побольше. А какое же сложение может таить микроуровень, где работают другие законы физики? Я как-то слышал, кстати, что там, на микроуровне, все треугольники равнобедренные. Или, например, другие вселенные, где, количество «пальцев» доминирующего вида вполне может быть иррациональным, а их сложение — процесс нам интуитивно незнакомый? Может и оказатся как гласят рекламы многих современных магазинов. Но тема сегодняшнего обсуждения весьма простая, а тема принципиальной вариативности математики и ее инвариантности во вселенных более обширная и глубокая.

Но, конечно, не все направления математики имеют ценность в контексте хозяйственно-бытовой деятельности. Некоторые разделы математики ценны, так как давали начало важным теоретическим разделам той же физики и развивались вместе с ними, а уже потом применялись на практике. Кроме того, теоретические наработки могут сотнями лет не выходить на пользу обществу, но сопровождать развитие самой науки. Так, например, было с теорией чисел, которая с самого начала рассматривалась как набор занимательных задачек. Возможно, я несколько упрощаю, но теория чисел была еще у древних греков, а обширное практическое применение получила только в середине двадцатого века.

Неужели бразилец заменил традиционный плюс максимумом, и в честь его местонахождения целый раздел математики назвали и изучают теперь? Именно. Ведь тропическая математика, в отличие от большинства других, которые мы можем придумать, имеет теоретическую и практическую ценность.

Алгебраическая структура. Что за зверь?

Чтобы понять теоретическую ценность тропической математики, необходимо познакомиться с понятием алгебраической структуры. Алгебраическая структура — это структура, состоящая из множества элементов и определенной операцией над ними. Например, натуральные числа, действительные числа и сложение или действительные числа с аналогичным сложением. Операция над множеством может быть не одна. В классическом случае обычно рассматриваются сложение и умножение в парах с обратными операциями: вычитанием и делением. Иногда алгебраическая структура называется коротко «алгебра». Поэтому в школе разделы, связанные с арифметикой, называют алгеброй. Иначе говоря, в школе изучают всего одну алгебру, которая максимально полезна в быту для счета и измерений.

Давайте придумаем свою алгебру. Для простоты возьмем конечное множество элементов: Для конечных алгебраических структур удобно задавать правила сложения через таблицы Кэли — мощнейший инструмент анализа алгебраических структур.

Какое значение имеет сумма 2 + 2 в области высшей математики?

Что такое 2 + 2? В математике это простое задание, которое даже дети могут решить. Однако в высшей математике концепция сложения может иметь гораздо более сложные и неочевидные значения. Неожиданно, но ответ на вопрос «что такое 2 + 2?» может быть не таким тривиальным, как кажется на первый взгляд.

Сложение в высшей математике: основные понятия и принципы

  • Аксиома коммутативности: для любых двух чисел a и b, a + b = b + a. Это означает, что порядок слагаемых не влияет на итоговую сумму. Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5.
  • Аксиома ассоциативности: для любых трех чисел a, b и c, (a + b) + c = a + (b + c). Это свойство позволяет сгруппировать слагаемые при сложении и определить порядок выполнения операции. Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9.
  • Существование нейтрального элемента: для любого числа a, существует такое число 0, что a + 0 = a. Нейтральный элемент сложения позволяет сохранить значение числа при сложении с ним.

Эти принципы сложения в высшей математике являются основой для дальнейшего изучения и применения операции сложения в различных областях математики, таких как алгебра, анализ, топология и теория вероятностей. Эти принципы помогают нам понять и описать свойства и законы, которые управляют сложением в более абстрактных математических структурах.

Аксиомы сложения

Аксиомы сложения

Первая аксиома сложения гласит, что для любых двух чисел, a и b, существует третье число, которое обозначается как a + b. Это означает, что сложение двух чисел всегда дает результат, который является числом. Например, если мы сложим 2 и 3, мы получим 5.

Вторая аксиома сложения утверждает, что сложение чисел а и б коммутативно, то есть a + b = b + a. Это значит, что порядок слагаемых не влияет на результат сложения. Если мы сложим 2 и 3, мы получим 5, и эта же сумма будет получена, если мы поменяем порядок слагаемых и сложим 3 и 2.

Третья аксиома сложения гласит, что сложение чисел а, b и с ассоциативно, то есть (а + b) + с = а + (b + с). Это означает, что результат сложения трех чисел не зависит от того, какие два числа сложены сначала. Например, если мы сложим 2, 3 и 4, мы можем сначала сложить 2 и 3, а затем прибавить 4 к получившейся сумме, или сначала сложить 3 и 4, а затем прибавить 2 к получившейся сумме. В обоих случаях мы получим одинаковый результат – 9.

Эти аксиомы сложения являются основой для дальнейшего изучения математических свойств сложения и позволяют точно определить и использовать операцию сложения в различных областях математики.

Коммутативность и ассоциативность сложения

Ассоциативность сложения — другое важное свойство операции сложения, которое позволяет изменять группировку слагаемых без изменения результата. Давайте представим ситуацию, когда у вас есть несколько яблок и вы хотите их сложить. Вы можете сначала сложить первые два яблока, а затем к полученной сумме добавить третье яблоко, или сначала сложить последние два яблока, а затем к полученной сумме добавить первое яблоко. В любом случае, результат будет одинаковым — суммой всех яблок. Это и есть пример ассоциативности сложения.

Нейтральный элемент сложения

Нейтральный элемент сложения

Когда мы говорим о сложении в высшей математике, невозможно не упомянуть понятие нейтрального элемента. Это такой элемент, который не меняет значение других элементов при сложении с ними. Другими словами, нейтральный элемент сложения ведет себя «нейтрально» и не вносит изменений в результат операции.

Уже на первый взгляд это может показаться не очень интересным, ведь почему нам интересно знать о элементе, который просто «ничего не делает»? Однако, нейтральный элемент имеет огромное значение в математике, так как он является основой для дальнейших вычислений и образует особую структуру, известную как моноид.

Сложение в различных областях математики

Давайте рассмотрим, как сложение работает в различных областях математики. В алгебре, например, сложение может применяться для объединения различных алгебраических объектов, таких как многочлены или матрицы. Это позволяет нам совершать операции с этими объектами, например, вычитание или умножение.

  • В теории графов сложение используется для определения суммы двух графов или объединения графов в один. Это позволяет нам анализировать и работать с различными структурами и связями между объектами в графе.
  • В теории вероятности сложение позволяет нам определить сумму двух или более вероятностей. Это особенно важно при работе с независимыми событиями или при вычислении вероятности сложных событий.
  • В математическом анализе сложение применяется для определения суммы функций или рядов. Это позволяет нам анализировать и работать с функциями и рядами, например, находить их производные или интегралы.

И это только несколько примеров использования сложения в разных областях математики. В каждой области сложение имеет свои особенности и принципы работы. Понимание и использование этих особенностей поможет нам анализировать и решать сложные математические задачи.

Как убедить меня, что 2 + 2 = 3

Именно поэтому рационалисты так бережно относятся к, на первый взгляд, парадоксальному утверждению: «убеждение стоит того, чтобы в него верить, лишь в том случае, когда тебя, в принципе, можно убедить в него не верить». Сетчатка, чьё состояние не меняется в зависимости от того, какой в неё входит свет, — сетчатка слепого. Некоторые системы убеждений, довольно очевидно пытаясь защитить себя, утверждают, что ряд убеждений ценен лишь в том случае, когда ты веришь в них безоговорочно: что бы ты ни видел, о чём бы ты ни думал — верь! Мозг должен оставаться в том же состоянии независимо от того, какая информация входит в его недра. Отсюда выражение «слепая вера». Если то, во что ты веришь, не зависит от того, что ты видишь, — ты слеп точно так же, как и человек с пустыми глазницами.
Cihan Baran ответил(English):

Я не могу представить себе ситуацию, в которой 2 + 2 = 4 было бы ложно. Возможно, это означает, что я убеждён в «2 + 2 = 4» безоговорочно.

Признаю, я тоже не могу представить ситуацию, в которой «2 + 2 = 4» было бы ложно (конечно, есть различные переобозначения, но это не «ситуации» и речь тогда идёт уже не о 2, 4, = или +). Но это не делает моё убеждение безоговорочным. Я легко представляю ситуацию, которая убедила бы меня в том, что 2 + 2 = 3.

Скажем, я просыпаюсь ранним утром, вытаскиваю из ушей два кусочка ваты, кладу их на прикроватный столик рядом с двумя другими кусочками ваты — и замечаю, что теперь кусочков ваты три, и при этом никаких кусков ваты не появлялось и не исчезало, несмотря на то, что согласно моей памяти, 2 + 2 должно было равняться 4. К тому же, если представить это действие мысленно, становится очевидно, что для того, чтобы получить XXXX из XX и XX, необходимо взять дополнительный X. Вдобавок, 2 + 2 = 4 противоречит остальной мысленной арифметике, поскольку вычитание XX из XXX даёт XX, но вычитание XX из XXXX даёт XXX. Это снова конфликтует с памятью о том, что 3 – 2 = 1, но странно доверять памяти перед лицом физических и мысленных подтверждений того, что XXX – XX = XX.

Ещё я проверю карманный калькулятор, Гугл, и, возможно, свою копию «1984», где Уинстон пишет, что «Свобода — это возможность сказать, что дважды два — три». Всё это убедительно говорит о том, что весь остальной мир тоже считает, что 2 + 2 = 3, соглашаясь с моими мысленными вычислениями и не соглашаясь с моей памятью.

Как я мог так заблуждаться? Что могло настолько сбить меня с толку? В голову приходят несколько объяснений. Во-первых, какая-нибудь нейрологическая неполадка (наверное, я слишком сильно чихнул) увеличила все суммы в моей памяти на единицу. Во-вторых, гипноз. В-третьих, глюк или намеренное изменение компьютерной симуляции, в которой я нахожусь. В любом случае, скорее что-то неладно с моей памятью, чем 2 + 2 когда-то действительно равнялось 4. И, конечно же, ни одно из этих трёх правдоподобных объяснений не избавит меня от ощущения очень, очень сильного замешательства.

Другими словами, свидетельства, убедившие меня в том, что 2 + 2 = 3, относятся к тому же классу свидетельств, что сегодня убеждают меня в том, что 2 + 2 = 4: перекрёстный огонь физических наблюдений, мысленных представлений и социального согласия.

Когда-то я понятия не имел, что 2 + 2 = 4. Это убеждение возникло не из-за какого-то случайного процесса — тогда мозгу было бы безразлично, что именно запомнить, «2 + 2 = 4» или «2 + 2 = 7». Ответ, хранящийся в моём мозге, поразительно похож на результат размещения двух кусочков ваты рядом с двумя другими кусочками ваты — и это заставляет задуматься, какая именно сцепленность породила это странное соответствие между разумом и реальностью.

Ведь для убеждения-о-фактах существует лишь два варианта: либо он попал в мозг благодаря процессу сцепления разума с реальностью, либо нет. Если нет, то убеждение может быть верным лишь благодаря стечению обстоятельств. Если в убеждении есть хотя бы намёк на внутреннюю сложность (то есть, его симуляция требует компьютерную программу больше 10 битов длиной), то пространство вариантов становится столь большим, что возможность совпадения исчезает.

Безоговорочные факты — не то же самое, что и безоговорочные убеждения. Если сильные свидетельства убеждают меня в том, что факт безоговорочен, то это не означает, что я всегда верил в этот факт, без нужды в сильных свидетельствах.

Я убеждён, что 2 + 2 = 4, но я легко могу придумать ситуацию, которая убедила бы меня в том, что 2 + 2 = 3. А именно: ситуация из того же класса, что и ситуация, сегодня убеждающая меня в том, что 2 + 2 = 4. Потому я не боюсь, что я пал жертвой слепой веры.

Если здесь есть христиане, знающие теорему Байеса (нумерофобы, пожалуйста, покиньте помещение), то я хотел бы спросить вас о ситуации, убедившей бы вас в истинности ислама. Предположительно, это будет примерно той же самой ситуацией, что породила вашу сегодняшнюю веру в христианство: вы вытащены из чрева мусульманки, воспитаны мусульманскими родителями, постоянно говорившими о том, что следует быть мусульманином (причём убеждение в истине ислама должно быть безоговорочным). Или всё не так просто? Если да, то какая ситуация заставит вас принять ислам, или, хотя бы, не-христианство?

Просто, как дважды два четыре

Наверное, каждый из хабровчан хотя бы раз в жизни слышал это выражение. Действительно, что может быть проще? Однако я знавал преподавателя математического анализа, который, услыхав подобное, ехидно улыбался в усы и предлагал доказать этот факт. После этого у говорившего обычно случался когнитивный диссонанс.

И действительно, как же доказать, что 2 × 2 = 4? Ответ под хабракатом.

Дисклеймер

Данная статья не содержит ничего нового для читателей с серьёзным математическим образованием. Также, вполне вероятно, она будет неинтересна людям с чисто инженерным складом ума. Этот текст писался в расчёте на тех, кому интересны основания математики, но кто до сих пор не нашёл времени и сил в них разобраться.

Начнём с начала

Что такое натуральные числа? Четверо из пяти людей, встреченных на улице, ответят:«Это один, два, три и так далее». Более строгая формулировка этого ответа, которую я встретил в школьном учебнике, гласит: натуральные числа — это члены арифметической прогрессии, начинающейся с 1 и имеющей разность 1. Другое определение из учебника: это числа, которые используются для обозначения количества объектов.

До конца XIX века натуральные числа определялись примерно так, либо не определялись вообще, полагаясь чем-то самим собой разумеющимся. А потом началась перестройка: здание математики стали переносить на фундамент теории множеств, и вещи, которые ранее казались элементарными, внезапно потребовали строгого обоснования.

Аксиоматика Пеано

Товарищ Джузеппе Пеано, большой озорник и затейник (чего стоит хотя бы латино-сине-флексионе), создал очень простую и компактную аксиоматику натуральных чисел, используемую и поныне. Натуральные числа в его интерпретации похожи на структуру данных «односвязный список» — правда, бесконечный.

Итак, натуральные числа — это множество ℕ с заданной на нём функцией следования a → a’, которые удовлетворяют следующим трём аксиомам:

1. Для каждого натурального числа a существует единственное следующее за ним число a’.

Эта аксиома означает, что наш односвязный список бесконечен. Нет такого элемента, у которого в поле «next» записан null. Также это именно список, а не какое-нибудь бинарное дерево: у каждого элемента только один следующий.

2. Существует одно и только одно число, не следующее ни за каким другим. Это число называется единицей. Каждое из оставшихся чисел следует ровно за одним числом (спасибо Kozy, в первоначальной редакции я пропустил эту фразу).

У списка должна быть голова, причём только одна. Список не должен зацикливаться (за третьим элементом не может следовать второй).

3. У множества натуральных чисел нет собственного подмножества, удовлетворяющего аксиомам 1-2.

Без этой аксиомы можно было бы, допустим, добавить к множеству натуральных чисел ещё одно число-уроборос, следующее за самим собой. Или ещё два числа, которые следуют друг за другом. Иначе говоря, аксиома 3 не допускает утечек памяти, которые могли бы возникнуть из-за изолированных кусков списка, до которых нельзя добраться по ссылкам, если идти от головы. Если из натуральных чисел можно что-то выкинуть — это не натуральные числа.

Сложение и умножение

Арифметические операции в аксиоматике Пеано определяются не менее интересно. Сложение описывается следующими двумя свойствами:

1. (a + b)’ = a + b’
2. a’ = a + 1

— а умножение — вот этими двумя:

1. a×b’ = a×b + a
2. a×1 = a

Удивительно, но здесь нет ни слова о коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и прочих свойствах сложения и умножения, о которых рассказывают в школе. Все они выводятся из этих четырёх базовых.

2 × 2 = 4

Вооружившись знаниями, мы можем теперь перейти к доказательству. Однако сначала нужно понять две вещи: что такое 2 и что такое 4. Двойка следует за единицей, поэтому 2 = 1′. Четвёрка следует за тройкой, которая, в свою очередь, следует за двойкой, которая, как я уже говорил, следует за единицей — поэтому 4 = 1»’.

Итак, нам нужно доказать следующее: 1′ × 1′ = 1»’.

Сначала докажем, что дважды два — это два плюс два. Действительно,

1′ × 1′ = (1′ × 1) + 1′ (первое свойство умножения)
1′ × 1 = 1′ (второе свойство умножения)
Следовательно, 1′ × 1′ = 1′ + 1′ .

Теперь докажем, что 2 + 2 = 4.

1′ + 1′ = (1′ + 1)’ (первое свойство сложения)
1′ + 1 = (1′)’ = 1» (второе свойство сложения)
Следовательно, 1′ + 1′ = (1»)’ = 1»’

Заключение

Всякая простая вещь, если вглядываться в неё пристально, через какое-то время перестаёт казаться простой. Натуральные числа и операции над ними — не исключение, а скорее яркий пример. Ещё более сложным и интересным образом в современной математике строятся множества целых, рациональных и действительных чисел. Но это тема совсем другого разговора.

Пост скриптум

Почему всё, написанное выше — чушь и демагогия

Как известно, одна и та же теория может опираться на совершенно разные системы аксиом. У той же аксиоматики Пеано существует куча вариантов, отличающихся по формулировке, но принципиально схожих. Так как же вводится аксиоматика натуральных чисел в школе?

Это не произносится вслух (да школьники к тому моменту и не знают ещё страшных слов типа «множество» и «функция»), но по сути множество натуральных чисел в школе определяется как множество строк специальных символов, называемых цифрами. Строки должны быть конечными, непустыми и не должны начинаться с символа, называемого нулём.

Отношения равенства и неравенства, сложение, вычитание, умножение и деление — всё это определяется через операции над строками символов. Для строк из одного символа (т.е. для отдельных цифр) существуют специальные таблицы — таблицы сложения и умножения. Для более длинных строк специальные правила позволяют свести действия над ними к действиям над отдельными цифрами. Эти правила и таблицы и являются школьной аксиоматикой натуральных чисел.

В таком понимании натуральных чисел «2 × 2 = 4» — часть аксиоматики, поскольку это тождество содержится в таблице умножения. Тогда, действительно, ничего проще быть не может. Но аксиоматику Пеано всё равно знать не вредно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *