Число n таково что 8n
Перейти к содержимому

Число n таково что 8n

  • автор:

Число n таково что 8n

Пусть натуральное число n таково, что n + 1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.

Подсказка

Докажите, что сумма делителей n делится и на 3, и на 8.

Решение

Так как n + 1 делится на 3 и 8, то n при делении на 3 даёт остаток 2, а при делении на 8 – остаток 7.
Разобьём делители на пары вида n, n /d>. Заметим, что если d даёт остаток 1 при делении на 3, то n /d даёт остаток 2 и наоборот (отсюда, в частности, следует, что пара не может состоять из одинаковых чисел). Поэтому сумма делителей в каждой такой паре кратна 3.
Аналогично, сумма делителей в каждой такой паре кратна 8.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: «АСА»
Издание 1
глава
Номер 10
Название Делимость-2
Тема Теория чисел. Делимость
задача
Номер 022
книга
Автор Иванов С.В.
Название Математический кружок
глава
Номер 11
Название Остатки
Тема Деление с остатком
задача
Номер 30

Проект осуществляется при поддержке и .

(Решено) Натуральное число n > 1 таково, что для любого натурального числа m, взаимно простого с числом n, число m+101 также взаимно просто с числом n. Опиши в…

Внимание! Ответы искусственного интеллекта могут быть неточными. Не полагайтесь на них в медицине, юриспруденции, финансах и вопросах безопасности. При принятии важных решений всегда консультируйтесь с профильными специалистами.
Администрация сайта не несет ответственности за любой автоматически созданный контент. Если вы обнаружили ошибки, пожалуйста, сообщите об этом через кнопку «репорт» внизу ответа и мы примем соответствующие меры. Спасибо за вашу помощь в улучшении качества нашего сервиса.

Ответ нейросети:

Пусть n – натуральное число, больше единицы. Задача заключается в описании всех чисел n, для которых выполнено условие: для любого натурального числа m, взаимно простого с числом n, число m+101 также взаимно просто с числом n.

Для начала, разберемся с определением взаимной простоты. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен единице. Иначе говоря, у двух взаимно простых чисел нет общих делителей, кроме единицы.

По условию задачи, для любого натурального числа m, взаимно простого с числом n, число m+101 также взаимно просто с числом n. Вспомним, что два числа называются взаимно простыми, если их НОД равен единице. Тогда в нашем случае это означает, что для любого такого m НОД(m, n) = 1 и НОД(m + 101, n) = 1.

Рассмотрим число n. В дальнейшем будем предполагать, что n – составное число, то есть имеет делитель больше единицы.

Пусть p – простое число, являющееся делителем числа n. Тогда p делит n, а также p не делит (m + 101), при любом m. Это означает, что (m + 101) и n не имеют общих простых делителей. Из этого следует, что НОД(m + 101, n) = 1, и для выполнения условия задачи достаточно, чтобы для любого натурального m выполнялось условие НОД(m, n) = 1.

Получается, что для любого простого делителя p числа n, число m не должно иметь в своем разложении этого простого делителя. Вспомним основную теорему арифметики, согласно которой любое натуральное число можно разложить на простые множители единственным образом. Таким образом, если число n состоит только из простых множителей, которые не входят в разложение числа m, то выполнение условия НОД(m, n) = 1 будет гарантировано для любого числа m.

Примеры чисел n, удовлетворяющих условию задачи, можно получить с помощью простых чисел. Например, рассмотрим случай, когда n = p1 * p2, где p1 и p2 – простые числа. Если взять любое число m, не имеющее в своем разложении простых множителей p1 и p2, то НОД(m, n) = 1.

Таким образом, все числа n, которые являются произведением двух простых чисел, могут удовлетворять условию задачи.

Дополнительно можно рассмотреть случай, когда n = p^k, где p – простое число, а k – натуральное число.

Если k = 1, то n будет простым числом, и снова все числа m будут взаимно простыми с числом n.

Если k > 1, то число n будет состоять из одинаковых простых множителей и в разложении числа m они будут умножаться на разные степени простого числа p. В этом случае для выполнения условия НОД(m, n) = 1 необходимо, чтобы в разложении числа m была степень простого числа p, меньшая, чем k.

Итак, все числа n, которые являются произведением двух простых чисел, или более общо, числа, которые факторизуются только на простые степени, кроме случая, когда число n является простым числом, могут удовлетворять условию задачи.

Чтобы оставить комментарий, необходимо авторизоваться.

Задай любой вопрос нейросети!

она справится с любой поставленной задачей быстрее чем поиск в Яндекс.

Для того, чтобы задать вопрос нейросети, необходимо войти на сайт.

Последние вопросы

Последние вопросы:

(c) ChatGPT по русски 2023. Все права защищены. При обнаружении неправомерного контента пишите на [email protected]

Хотите задать любой вопрос нейросети?

Нажимая «Регистрация» или «Войти через Google», вы соглашаетесь с Публичной офертой, даете Согласие на обработку персональных данных, а также подтверждаете что вам есть 18 лет»

Форма репорта неправомерного контента.
Обратная связь с администрацией проекта

только по почте. у нас поломалась отправка писем, пожалуйста пишите по адресам ниже

Уведомление об использовании cookie файлов

Наш сайт, как и большинство других, использует файлы cookie и другие похожие технологии (пиксельные тэги и т. п.), чтобы предоставлять услуги, наиболее отвечающие Вашим интересам и потребностям, а также собирать статистическую и маркетинговую информацию для анализа и совершенствования наших услуг и сайтов.

При использовании данного сайта, вы подтверждаете свое согласие на использование файлов cookie и других похожих технологий в соответствии с настоящим Уведомлением.

Если Вы не согласны, чтобы мы использовали данный тип файлов, Вы должны соответствующим образом установить настройки Вашего браузера или не использовать наш сайт.

Обращаем Ваше внимание на то, что при блокировании или удалении cookie файлов, мы не можем гарантировать корректную работу нашего сайта в Вашем браузере.

Cookie файлы, которые сохраняются через веб-сайт, не содержат сведений, на основании которых можно Вас идентифицировать.

Что такое файл cookie и другие похожие технологии

Файл cookie представляет собой небольшой текстовый файл, сохраняемый на вашем компьютере, смартфоне или другом устройстве, которое Вы используете для посещения интернет-сайтов.

Некоторые посещаемые Вами страницы могут также собирать информацию, используя пиксельные тэги и веб-маяки, представляющие собой электронные изображения, называемые одно-пиксельными (1×1) или пустыми GIF-изображениями.

Файлы cookie могут размещаться на вашем устройстве нами («собственные» файлы cookie) или другими операторами (файлы cookie «третьих лиц»).

Мы используем два вида файлов cookie на сайте: «cookie сессии» и «постоянные cookie». Cookie сессии — это временные файлы, которые остаются на устройстве пока вы не покинете сайт. Постоянные cookie остаются на устройстве в течение длительного времени или пока вы вручную не удалите их (как долго cookie останется на вашем устройстве будет зависеть от продолжительности или «времени жизни» конкретного файла и настройки вашего браузера).

Cookie файлы бывают различных типов:

Необходимые. Эти файлы нужны для обеспечения правильной работы сайта, использования его функций. Отключение использования таких файлов приведет к падению производительности сайта, невозможности использовать его компоненты и сервисы.

Файлы cookie, относящиеся к производительности, эффективности и аналитике. Данные файлы позволяют анализировать взаимодействие посетителей с сайтом, оптимизировать содержание сайта, измерять эффективность рекламных кампаний, предоставляя информацию о количестве посетителей сайта, времени его использования, возникающих ошибках.

Функциональные файлы cookie запоминают пользователей, которые уже заходили на наш сайт, их индивидуальные параметры (такие как язык и регион, например) и предпочтения, и помогают индивидуализировать содержание сайта.

Рекламные файлы cookie определяют, какие сайты Вы посещали и как часто, какие ссылки Вы выбирали, что позволяет показывать Вам рекламные объявления, которые заинтересуют именно Вас.

Электронная почта. Мы также можем использовать технологии, позволяющие отслеживать, открывали ли вы, прочитали или переадресовывали определенные сообщения, отправленные нами на вашу электронную почту. Это необходимо, чтобы сделать наши средства коммуникации более полезными для пользователя. Если вы не желаете, чтобы мы получали сведения об этом, вам нужно аннулировать подписку посредством ссылки «Отписаться» («Unsubscribe»), находящейся внизу соответствующей электронной рассылки.

Кнопки доступа к социальным сетям. Они используются для того, чтобы пользователи могли поделиться ссылкой на страницу в социальных сетях или сделать электронную закладку. Данные кнопки являются ссылками на веб-сайты социальных сетей, принадлежащих третьим лицам, которые, в свою, очередь могут фиксировать информацию о вашей активности в интернете, в том числе на нашем сайте. Пожалуйста, ознакомьтесь с соответствующими условиями использования и политикой конфиденциальности таких сайтов для понимания того, как они используют ваши данные, и того, как можно отказаться от использования ими ваших данных или удалить их.

Сторонние веб-сервисы. Иногда на данном сайте мы используем сторонние веб-сервисы. Например, для отображения тех или иных элементов (изображения, видео, презентации и т. п.), организации опросов и т. п. Как и в случае с кнопками доступа к социальным сетям, мы не можем препятствовать сбору этими сайтами или внешними доменами информации о том, как вы используете содержание сайта.

Как управлять файлами cookie?

Большинство интернет-браузеров изначально настроены на автоматический прием файлов cookie.

В любое время Вы можете изменить настройки вашего браузера таким образом, чтобы блокировать файлы cookie или предупреждать вас о том, когда они будут отправляться к вам на устройство (обратитесь к руководству использования конкретного браузера). Отключение файлов cookie может повлиять на Вашу работу в интернете.

Если вы используете несколько устройств и (или) браузеров для доступа в интернет, соответствующие настройки должны быть изменены в каждом из них.

Заключительные положения

По собственному усмотрению мы можем периодически изменять настоящее Уведомление.

По возникающим вопросам с нами можно связаться, используя контакты, размещенные на нашем сайте.

Натуральное число N таково, что оно делится на 81 и на 5, и при этом имеет 33 различных натуральных делителя (включая

N1=1*3*3*3*3*5 — три делителя
N2=7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61, ..191, ..- отсюда можно
набрать ещё 30 делителей (берите подряд числа из таблицы простых чисел)
N=N1*N2
Это будет наименьшее возможное N.

Павля КантеллиВысший разум (101236) 1 год назад
О боже ж мой, что это?:/
Alexander Alenitsyn Высший разум (759810) Павел А. Коржов, вот тпкая странная задачка ))

Число положительных делителей числа n — это сумма положительных делителей числа n, взятых в нулевой степени каждый, т. е. частный случай функции делителей.

Свойства функции делителей знаете? С мультипликативными арифметическими функциями уже сталкивались?
С функцией Эйлера, или, может, Мебиуса?

У вас стандартная задачка на мультипликативные арифметические функции)))

Число n таково что 8n

Натуральное число n таково, что числа 2n + 1 и 3n + 1 являются квадратами. Может ли при этом число 5n + 3 быть простым?

Решение

Если 2n + 1 = k², 3n + 1 = m², то 5n + 3 = 4(2n + 1) – (3n + 1) = 4k² – m² = (2k + m)(2k – m).
Докажем, что 2k – m ≠ 1. Действительно, в противном случае 5n + 3 = 2m + 1 и (m – 1)² = m² – (2m + 1) + 2 = (3n + 1) – (5n + 3) + 2 = – 2n

Проект осуществляется при поддержке и .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *