Сколько различных решений имеет система логических уравнений
Перейти к содержимому

Сколько различных решений имеет система логических уравнений

  • автор:

Сколько различных решений имеет система уравнений

где x1, x2, …, x12 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Голосование за лучший ответ

Равенство пар х1-х2, х3-х4, и т. д. выполняется поочередно.
Ответ: 128 решений.

AspirateУченик (123) 2 года назад

Спасибо. А можно с пояснениями? Каким образом получается ответ?

Павля Кантелли Мудрец (14545) Aspirate, раскрывай операции начиная с внешних. Первое равенство означает, что среди равенств х1=х2 и х3=х4 хотя юы одно — истинно И хотя бы одно — ложно.

Похожие вопросы

Тип заданий 23 — ЕГЭ по информатике 2016

((x1 ˄ x2) ˅ (¬x1 ˄ ¬x2)) → ((x3 ˄ x4) ˅ (¬x3 ˄ ¬x4)) = 1
((x3 ˄ x4) ˅ (¬x3 ˄ ¬x4)) → ((x5 ˄ x6) ˅ (¬x5 ˄ ¬x6)) = 1
((x5 ˄ x6) ˅ (¬x5 ˄ ¬x6)) → ((x7 ˄ x8) ˅ (¬x7 ˄ ¬x8)) = 1
((x7 ˄ x8) ˅ (¬x7 ˄ ¬x8)) → ((x9 ˄ x10) ˅ (¬x9 ˄ ¬x10)) = 1

где x1,x2,…,x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

В решении задания есть видеоразбор

Задание:

Сколько различных решений имеет система уравнений

x1 → x2 = 1
x2 → x3 = 1
x3 → x4 = 1
x4 → x5 = 1

где x1,x2,…,x5 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Примечание: задание очень простое, в ЕГЭ такого не встретите. Для тренировки.

Задание:

Сколько различных решений имеет система уравнений

(x1 ˅ x2) ˄ ((x1 ˄ x2) → x3) = 1
(x2 ˅ x3) ˄ ((x2 ˄ x3) → x4) = 1
(x3 ˅ x4) ˄ ((x3 ˄ x4) → x5) = 1
(x4 ˅ x5) ˄ ((x4 ˄ x5) → x6) = 1
(x5 ˅ x6) ˄ ((x5 ˄ x6) → x7) = 1
(x6 ˅ x7) ˄ ((x6 ˄ x7) → x8) = 1
(x7 ˅ x8) = 1

где x1,x2,…,x8 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Задание:

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2,… x9, y1, y2… y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все наборы значений переменных x1, x2,… x9, y1, y2… y9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Источник: демоверсия ФИПИ по информатике и ИКТ 2016-го года.

В решении задания есть видеоразбор

Задание:

Сколько различных решений имеет система уравнений

(x1 ˅ x2) → (¬x3 ˄ ¬x4) = 1
(x3 ˅ x4) → (¬x5 ˄ ¬x6) = 1
(x5 ˅ x6) → (¬x7 ˄ ¬x8) = 1
(x7 ˅ x8) → (¬x9 ˄ ¬x10) = 1

где x1,x2,…,x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Задание:

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2,… x5, y1, y2… y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(¬x1 ˅ y1) ≡ (x2 ˄ ¬y2)
(¬x2 ˅ y2) ≡ (x3 ˄ ¬y3)
(¬x3 ˅ y3) ≡ (x4 ˄ ¬y4)
(¬x4 ˅ y4) ≡ (x5 ˄ ¬y5)

В ответе не нужно перечислять все наборы значений переменных x1, x2,… x5, y1, y2… y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Задание:

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2,… x9, y1, y2… y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все наборы значений переменных x1, x2,… x7, y1, y2… y7, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Сколько различных решений имеет система логических уравнений

Предположим, что x1 – истинно, тогда из первого уравнения получаем, что x2 также истинно. Далее из второго уравнения получаем, что x3 истинно, и т.д. до xm = 1. Значит набор (1; 1; …; 1) из m единиц является решением системы.

Пусть теперь x1 – ложно, тогда из первого уравнения следует, что x2 может быть как истинным, так и ложным, то есть может принимать значения как 0, так и 1.

В случае, если x2 истинно получаем, что остальные переменные также истинны, то есть набор (0; 1; …; 1) является решением системы. В случае, когда x2 – ложно получаем, что для x3 есть две возможности, 0 и 1, и так далее. Продолжая до последней переменной, получаем, что решениями уравнения являются следующие наборы переменных (m+1 решение, в каждом решении по m значений переменных):

Такой подход хорошо иллюстрируется с помощью построения бинарного дерева. Получив единицу, все остальные значения переменных также становятся единицами, получив же ноль, возможны два варианта 0 и 1. Для одного уравнения дерево состоит из двух уровней, для двух уравнений добавляется одна переменная и соответственно один уровень дерева. Количество возможных решений – количество различных ветвей построенного дерева. Легко заметить, что оно равно m+1.

Решение (способ 2, построение таблиц истинности):

В случае трудностей в рассуждениях и построении дерева решений можно искать решение с использованием таблиц истинности, для одного – двух уравнений.

Перепишем систему уравнений в виде:

И составим таблицу истинности для одного уравнения:

Составим таблицу истинности для двух уравнений:

Далее можно увидеть, что одно уравнение истинно в следующих трех случаях: (0; 0), (0; 1), (1; 1).

Система двух уравнений истина в четырех случаях (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). При этом сразу видно, что существует решение, состоящее из одних нулей и еще m решений, в которых добавляется по одной единице, начиная с последней позиции до заполнения всех возможных мест. Можно предположить, что общее решение будет иметь такой же вид. Хотя это, конечно, не решение, но ответ таким образом угадать можно. Для того, чтобы такой подход стал решением, требуется доказательство, что предположение верно.

Сколько различных решений имеет система логических уравнений:

Решение (способ 3, числа Фибоначчи):

Решая систему, любым из вышеописанных методов, получим 5 различных решений: (0; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0), (1; 1; 1). Для системы из трех уравнений имеем 8 решений – (0; 1; 0; 1), (0; 1; 1; 0), (0; 1; 1; 1), (1; 0; 1; 0), (1; 0; 1; 1), (1; 1; 0; 1), (1; 1; 1; 0), (1; 1; 1; 1).

Проанализировав данную систему логических уравнений, можно сделать вывод: если первая переменная любого уравнения принимает значение 0, то вторая переменная этого же уравнения обязательно примет значение 1, в противном случае, произвольное значение 1 или 0.

Обозначим Nk – общее количество решений системы k уравнений, N_k^0, N_k^1 – количество решений этой системы, последняя переменная которых соответственно равна 0 или 1. Понятно, что N_1^0 = 1, N_1^1 = 2.

В общем виде общее количество решений системы логических уравнений запишется:
Nk = N_k^1 + N_k^0.

Для представленной системы, получаем такое рекуррентное соотношение, с начальными условиями N1 = 3, N2 = 5. Такому соотношению соответствуют числа Фибоначчи, то есть элементам числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Сравнив начальные значения с последовательностью Фибоначчи, получаем, что количество различных решений равно (n+2)-му члену последовательности Фибоначчи Fn+2.

МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Фирсова Светлана Александровна

В статье приводится метод решения систем логических уравнений . Системы логических уравнений включены в Единый государственный экзамен по информатике. Решение систем вызывает трудности у учащихся школ. Представленный метод помогает упростить решение.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Фирсова Светлана Александровна

О НАУЧНОМ, МЕТОДИЧЕСКОМ И ИНФОРМАЦИОННО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ ОБЕСПЕЧЕНИИ ОБУЧЕНИЯ ЛОГИКЕ
О преобразованиях Цейтина в логических уравнениях
Об одном способе решения систем логических уравнений
Метод отображений как решение логических задач в курсе информатики
Логические уравнения с множествами
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

METHOD FOR SOLVING LOGIC EQUATION SYSTEMS

The article presents a method for solving systems of logical equations. Systems of logical equations are included in the Unified state exam in computer science. The solution of the systems had difficulties with school students. The presented method helps to simplify the solution.

Текст научной работы на тему «МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация. В статье приводится метод решения систем логических уравнений. Системы логических уравнений включены в Единый государственный экзамен по информатике. Решение систем вызывает трудности у учащихся школ. Представленный метод помогает упростить решение.

Ключевые слова: математическая логика, системы логических уравнений, методы решения систем логических уравнений

METHOD FOR SOLVING LOGIC EQUATION SYSTEMS

Abstract. The article presents a method for solving systems of logical equations. Systems of logical equations are included in the Unified state exam in computer science. The solution of the systems had difficulties with school students. The presented method helps to simplify the solution.

Key words: mathematical logic, systems of logical equations, methods for solving systems of logical equations

Тема «Математическая логика» традиционно вызывает трудности у школьников при изучении, и, как следствие, задачи на эту тему в ЕГЭ по информатике являются одними из самых наименее решаемых задач. Некоторые сложности, с которыми сталкиваются учащиеся, рассматриваются в [8, 9].

В данной статье предлагается один из методов решении задачи ЕГЭ-23. В задании ЕГЭ-23 выпускники должны решить систему логических уравнений. Методы решения таких систем рассматриваются и предлагаются разными авторами [1 — 7].

Метод, предлагаемый ниже, понятен школьникам при минимальных необходимых знаниях теоретических сведений по теме «Математическая логика».

Пример 1. Рассмотрим задачу [6].

«Сколько различных решений имеет система уравнений

-(Xl = Х2) v -(Х2 = Хз) = 1 -(Х2 = Хз) v -(Хз = Х4) = 1

-(Х8 = Х9) v -(Х9 = Xio) = 1

где Х1, Х2, . Х10 — логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов» [6].

Проанализировав систему, видим, что уравнения одинаковые с точностью до переменных, при этом зависящие от одних и тех же переменных. Первое уравнение зависит от переменных Х1, Х2, Х3, а второе уравнение — от переменных Х2, Х3, Х4.

Уравнения представляют собой дизъюнкцию двух выражений, и дизъюнкция должна принимать значение «истина».

Если первое выражение -(х1 = Х2) истинно, то тогда значение второго выражения может быть и «истина» и «ложь».

Если же первое выражение -(x1 = x2) ложно, то значение второго выражения может быть только «истина».

Запишем решения первого уравнения с помощью таблицы истинности:

После построения такой таблицы найдем закономерность:

— пары (0,0) и (1,1) дают по одной паре (0,1) и (1,0), соответственно;

— пары (0,1) и (1,0) дают по две пары (1,0) и (1,1), (0,0) и (0,1).

Можно сделать вывод: пары с разными значениями дают 2 пары (одна с одинаковыми значениями, другая — с разными), а пары с одинаковыми — дают пары с разными.

Запишем решение далее по шагам, на 1 шаге рассматриваем пару (х1, Х2). Для уравнения с 10 переменными получим 9 шагов.

1 2 + 2 -¿од 1 -¿разн

2 2разн+2од+2разн 2од+4разн

Получаем общий ответ: 68+110=178 решений.

Как видно из решения, предлагаемый метод не вызывает сложностей, и может быть применен практически ко всем системам логических уравнений, рассматриваемых в школьном курсе.

Рассмотрим еще несколько примеров задач, решаемых с помощью предлагаемого метода по шагам. Пример 2. «Дана система логических уравнений

(Х1 л 1X2) v ( у1 л У2) v (Х1 л У1) = 0 (Х2 л -1X3) v ( у2 л Уз) v (Х2 л У2) = 0

(Х6 л -Х7) v (-У6 л У7) v (Х6 л Уб) = 0 (Х7 л У7) = 0

где XI, х2, . х7, У1, У2, . у7 — логические переменные. Найдите количество решений этой системы» [6]. Решение.

Проанализировав систему, видим, что уравнения одинаковые с точностью до переменных, при этом зависящие от одних и тех же переменных. Первое уравнение зависит от переменных XI, х2, у1, у2, а второе уравнение — от переменных х2, х3, у2, у3.

Уравнения представляют собой дизъюнкцию трех выражений, и дизъюнкция должна принимать значение «ложь». Следовательно, каждое выражение, входящее в уравнение, должно принимать значение «ложь»:

(х1 л — х2) = 0, (-У1 л У2) = 0, (х1 л У1) = 0.

Запишем решения первого уравнения с помощью таблицы истинности:

Заметим при этом сразу, что пара (1, 1) не удовлетворяет условию (х1 л у1) = 0, поэтому такие пары не рассматриваем далее.

После построения такой таблицы найдем закономерность:

— пара (0, 0) дает пары (0, 0) и (1, 0);

— пара (0, 1) дает пары (0, 0), (0,1), (1,0);

— пара (1, 0) дает пару (1,0).

Запишем решение далее по шагам, на 1 шаге рассматриваем пару (х:, у:). Для этой пары имеем 3 набора, далее для 2 пары получаем 6 наборов, и так далее записываем количество наборов для всех пар:

1 100 + 101 + 110

3 З00 + 101 + 610

4 400 + 101 + 10ю

5 500 + 101 + 15ю

6 600 + 101 + 21ю

7 700 + 101 + 28ю

Получаем общий ответ: 7 + 1 + 28 = 36 решений.

Пример 3. «Дана система логических уравнений Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(Х1 = У1)^ (Х2 v У2) = (Х2 = У2) ^ (Х3 v уз) = (Хз = Уз) ^ (Х4 v У4) = (Х4 = У4) ^ (Х5 v У5) = (Х5 = У5) ^ (Х6 v Уб) =

где х1; х2, . х6 и у1; у2, . у6 — логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов» [6]. Решение.

Проанализировав систему, видим, что уравнения одинаковые с точностью до переменных, при этом зависящие от одних и тех же переменных. Первое уравнение зависит от переменных х1, х2, У1, У2, а второе уравнение — от переменных Х2, Х3, У2, У3.

Уравнения представляют собой импликацию выражений, которая должна принимать значение «истина». Следовательно, в каждом уравнении не подходят наборы, когда первое выражение «истина», а второе — «ложь»:

(х1 = У1) = 1, (х2 v У2) = 0.

Выражение (х1 = У1) представляет собой эквивалентность, и принимает значение «истина» в случае, когда и х1, у1 имеют одинаковые значения.

Выражение (х2 v у2) представляет собой дизъюнкцию, и принимает значение «ложь» в случае, когда и х2, У2 одновременно принимают значение «ложь».

Запишем решения первого уравнения с помощью таблицы истинности:

У2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

После построения таблицы найдем закономерность:

— пары (0,0) и (1,1) дают три пары решений (0,1), (1,0) и (1,1);

— пары (0,1) и (1,0) дают четыре пары решений (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1).

Можно сделать вывод: пары с разными значениями дают 4 пары (две с одинаковыми значениями, две — с разными), а пары с одинаковыми — дают 3 пары (одну с одинаковыми значениями, две — с разными).

Запишем решение далее по шагам, на 1 шаге рассматриваем пару (х:, у:). Для этой пары имеем 3 набора, далее для 2 пары получаем 6 наборов, и так далее записываем количество наборов для всех пар:

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 2 + 2 -¿од 1 -¿разн

Получаем общий ответ: 990 + 1268 = 2258 решений.

Пример 4. «Дана система логических уравнений. Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(х1 ^(х2 Л У1)) Л (у1 ^ У2) = 1

(Х2 ^(Хз л У2)) л (у2 ^ Уз) = 1

(Х8 ^(Х9 л У8)) л (у8 ^ У9) = 1 (Х9 ^ У9) = 1

где Х1, х2, . х9 и У1, у2, . у9 — логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов» [6].

Проанализировав, как и в предыдущих примерах, систему, видим, что уравнения одинаковые с точностью до переменных, при этом зависящие от одних и тех же переменных. Первое уравнение зависит от переменных Х1, х2, У1, у2, а второе уравнение — от переменных х2, х3, У2, У3.

Уравнения представляют собой конъюнкцию двух выражений, и конъюнкция должна принимать значение «истина». Следовательно, выражения (х: ^(х2 л у:)) и (у: ^ у2) должны принимать значение «истина» одновременно.

И первое, и второе выражения — это импликация, которая должна принимать значение «истина». Следовательно, в каждом уравнении не подходят наборы, когда первая переменная в выражении «истина», а вторая — «ложь».

В первом выражении при = 1 х2 и у: могут быть только «1», в противном случае все выражение примет значение «ложь».

Во втором выражении при У1 = 1 У2 может быть только «1», в противном случае также все выражение примет значение «ложь».

Запишем решения первого уравнения с помощью таблицы истинности:

Заметим при этом сразу, что пара (1, 0) не удовлетворяет условию (х1 ^(х2 л у:)) = 1, поэтому такие пары не рассматриваем далее.

После построения таблицы истинности найдем закономерность:

— пара (0, 0) дает пары (0, 0), (0,1) и (1, 1);

— пара (0, 1) дает пары (0,1) и (1,1);

— пара (1, 1) дает пару (1,1).

Запишем решение далее по шагам, на 1 шаге рассматриваем пару (х:, у:). Для этой пары имеем 3 набора, далее для 2 пары получаем 6 наборов, и так далее записываем количество наборов для всех пар:

5 100 + 501 + 15ц

6 100 + 601 + 21ц

7 100 + 701 + 28ц

8 100 + 801 + 3611

9 100 + 901 + 4511

Получаем общий ответ: 1 + 9 + 45 = 36 решений.

1. Бадагиева, Е.З. Решение систем логических уравнений с опорой на построение таблицы истинности // Информатика в школе. — 2017. -№4(127). — С. 40 — 45.

2. Балабанов, А.А., Орлова, Д.А. Решение систем логических уравнений на основе совместного применения рекуррентного метода и теоретико-множественного подхода // Электронные информационные системы. — 2015. — .№3(6). — С. 76 — 89.

3. Бушмелева, Н.А. Решение систем логических уравнений методом отображений // Педагогическое искусство. — 2018. — №2. — С. 29 — 32.

4. Криветченко, О.В. Типологизация методов решения систем логических уравнений информационные технологии в прикладных исследованиях // Информационные технологии в прикладных исследованиях. Сборник научных трудов. — Новосибирск, 2013. — Выпуск 3. — С. 249 — 267.

5. Поляков, К.Ю., Ройтберг, М.А. Системы логических уравнений: решение с помощью битовых цепочек // Информатика. — 2014. — № 12. — С. 4 — 12.

6. Поляков, К.Ю. Сайт Константина Полякова. — http://kpolyakov.spb.ru/download/ege2020kp.7z.

7. Семенов, С.М. Решение систем логических уравнений в задачах ЕГЭ по информатике // Сборник научных трудов Четырнадцатой Международной научно-практической конференции «Применение технологий «1С» для повышения эффективности деятельности организаций образования». Москва, 28-29 января 2014 г. — С. 368 — 370.

8. Фирсова, С.А. Применение пакета «MATHCAD» для визуализации решения некоторых заданий ЕГЭ по информатике // Информационные и инновационные технологии в образовании. Сборник материалов Ш-й Всероссийской научно-практической конференции. под ред. С.С. Белоконовой. — 2019. — С. 199 — 200.

9. Шантарович, Е.А., Фирсова, С.А. Понятие логического мышления и его составляющих // Педагогическая наука и педагогическая практика. Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции. Санкт-Петербург, 30 января 2020 г. — 2020. — С. 54 — 56.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Аннотация. Олимпиады по высшей математике нельзя рассматривать как просто усложненную контрольную работу. Ценность олимпиад для ее участников заключается в том, что она помогает не только повысить интерес участников к изучению высшей математики, но и выявить особо глубокие и прочные знания, умений, навыков, способностей к не алгоритмизированному мышлению, нестандартности подходов.

Ключевые слова: интеграл, высшая математика, олимпиадные задачи.

INTEGRATION OF FUNCTIONS IN OLYMPIAD PROBLEMS BY THE HIGHEST MATHEMATICS

Abstract. Olympiads in higher mathematics cannot be regarded as simply complicated test work. The value of the olympiads for its participants lies in the fact that it helps not only increase the interest of participants in the study of higher mathematics, but also to identify particularly deep and lasting knowledge, skills, abilities for non-algorithmized thinking, and non-standard approaches.

Key words: Integral, higher mathematics, olympiad problems.

Задача высших учебных заведений состоит не только в том, чтобы дать студенту определенные знания, но и в том, чтобы научить его творчески мыслить, подготовить к жизни и практической работе в будущих условиях.

Чтобы освоить математические методы необходимо научиться решать задачи. Кроме задач формального характера на применение формул и алгоритмов, полноценно овладение математикой возможно лишь при решении нестандартных задач. Такие задачи присутствуют в олимпиадах.

Решение олимпиадных задач требует не только знаний по программе, но и творческого мышления, математической интуиции, находчивости, умения логически рассуждать, подразумевается присутствие необходимого уровня математической культуры у студента. Нестандартные задачи активизируют познавательную деятельность, позволяют студенту воспринимать математику как универсальный инструмент для решения прикладных проблем.

Не редко в олимпиадных задачах встречаются примеры, где надо вычислить интеграл. Чтобы легко решить интеграл надо к его решению подойти творчески. Так же существуют справочники, где прописаны «сложные» интегралы, как их решать, чаще всего это будут замены. Давайте рассмотрим некоторые замены и формулы по которым можно решить такие интегралы. Эти замены и формулы приведены в справочниках [2,45,8-10,12-13,15].

Для того чтобы проинтегрировать различную рациональную дробную функцию (J7fi)/)/([/fr])] где/7 (х) и f(x») многочлены, не имеющие общих множителей, нужно сначала выделить целую часть £'(xj ( Е Ос J — многочлен), если таковая имеется, и взять интеграл от целой части и интеграл от остатка

Интегрирование остатка, являющегося правильной дробной функцией (степень числителя меньше степени знаменателя), основывается на разложении ее на элементарные дроби.

Давайте рассмотрим неопределенный интеграл с рациональными функциями и некоторые формулы его решения приведенные в справочнике [5]:

П.С. Чумакова, Н.В. Драгныш

P.S. Chumakova, N.V. Dragnysh

г, s. — рациональные числа, приводятся к интегралам

от рациональных функций подстановкой

где m общий знаменатель дробей г, s,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *