Как привести квадратичную форму к диагональному виду
Перейти к содержимому

Как привести квадратичную форму к диагональному виду

  • автор:

Как привести квадратичную форму к диагональному виду

Если матрица \(\alpha\) диагональна, квадратичная форма (67) приобретает простой вид, \[ A(x,x)=\sum _^n \beta_x_k^2, \quad \beta _k=\alpha _. \quad \quad(68) \] Однако для недиагональной матрицы \(\alpha \) в правой части (67) содержатся и перекрестные слагаемые. В то же время, как упоминалось выше, вид матрицы \(\alpha\) зависит от выбора базиса. Возникает следующий вопрос. Пусть задана произвольная квадратичная форма. Можно ли заменой базиса привести ее к диагональному виду (68)?

Пусть для данной квадратичной формы \(A(x,x)\) существует такой базис \(\\) со следующими свойствами: если представить вектор \(x \in \mathfrak\) в этом базисе, \[ x=\sum _^n\eta _kf_k, \] то для некоторого фиксированного (не зависящего от \(x\)) набора чисел \(\lambda _1, \, \lambda _2, . \lambda _n\) \[ A(x,x)=\sum _^n \lambda _k\eta _k^2. \quad \quad(69) \] Тогда базис \(\\) называется каноническим базисом формы \(A(x,x)\), а представление (69) — каноническим видом квадратичной формы \(A(x,x)\).

Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду после перехода к соответствующему базису.

Заметим, что переход к новому базису эквивалентен линейной замене координат вида \[ x_k=\sum _^nc_y_p \] для подходящих чисел \(c_\) (это следует из формул замены координат вектора при замене базиса). Таким образом, мы будем использовать линейные замены координат вместо замен базиса.

Доказательство проведем по индукции, по размерности пространства \(n\). Очевидно, при \(n=1\) теорема верна — квадратичная форма совпадает с функцией \(A(x,x)=\mu x^2\). Предоположим, что теорема верна для \(n=N\) и докажем ее для \(n=N+1\). Выпишем нашу квадратичную форму, выделив слагаемые, содержащие \(x_1\): \[ A(x,x)=\alpha _x_1^2+2\alpha _x_1x_2+. 2\alpha _x_1x_n+g(x_2,x_3. x_n), \quad \quad(70) \]

где \(g(x_2,x_3. x_n)\) состоит из слагаемых, содержащих переменные \(x_2,\,x_3, ,x_n\). Если все коэффициенты \(\alpha _,\,\alpha _. \alpha _\) равны 0, наша квадратичная форма зависит только от \(n-1=N\) переменных \(x_2,\,x_3. x_n\), так что для нее теорема верна по предположению индукции. Рассмотрим теперь вариант, когда не все эти коэффициенты равны 0.

Выделим полный квадрат такой заменой переменных: \[ y_1=x_1+\frac>>x_2+. \frac>>x_n, \quad y_2=x_2, \, . y_n=x_n. \]

Тогда в новых переменных \[ A(x,x)=\alpha _y_1^2+h(y_2,\, y_3. y_n), \]

где \(h(y_2,\, y_3. y_n)\) — квадратичная форма от \(N\) переменных. Эту квадратичную форму можно привести линейной заменой переменных \(y_2,\, y_3. y_n\) (не трогая \(y_1\)) к диагональному виду по предположению индукции. Таким образом, и в этом случае доказательство заканчивается.

2. Пусть теперь \(\alpha _= 0 \), но какой-то из коэффициентов \(\alpha _,\,\alpha _. \alpha _\) не равен 0, пусть, для определенности, \(\alpha _\neq 0 \). Положим \[ x_1=y_1+y_2, \,x_2=y_1-y_2,\, x_3=y_3, \. x_n=y_n. \]

Тогда соотношение (70) приобретает вид: \[ A(x,x)=2\alpha _(y_1^2-y_2^2)+. \]

Ненулевое слагаемое, содержащее \(y_1^2\), только одно, выписанное явно. Таким образом, мы приходим к ситуации п.1 и заканчиваем доказательство. ч.т.д.

25.Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом элементарных преобразований.

26.Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом Лагранжа.

27.Канонический вид квадратичной формы. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

1. Ортогональное преобразование пространства :

где — собственные значения матрицы A.

2. Метод Лагранжа — последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем

3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):

Пусть k(x) — квадратичная форма, заданная в пространстве арифметических векторов Rn.

В пространстве Rn существует канонический базис квадратичной формы, базис, в котором матрица квадратичной формы является диагональной.

В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид

k(x) = λ1×12 + λ2×22 + . + λnxn2.

Числа λ1, λ2, . , λn — канонические коэффициенты квадратичной формы.

Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэфициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадатичная форма приводится к каноническому виду.

Число положительных канонических коэфициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэфициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.

28.Положительно определенные квадратичной формы. Критерий Сильвестра.

29.Определение эллипса. Фокусы эллипса.

Определение. Эллипс — это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением .

F1 , F2 – фокусы . F1 = ( c ; 0); F 2 (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2* (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении его с горизонтальной осью, r1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

30.Каноническое уравнение эллипса. Полуоси эллипса. Построение эллипса, если известно его каноническое уравнение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где a – большая полуось; b – малая полуось. Точки F1(c,0) и F2(-c,0) − c называются

a, b — полуоси эллипса.

31.Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис эллипса, если известно его каноническое уравнение.

32.Определение гиперболы. Фокусы гиперболы.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

33.Каноническое уравнение гиперболы. Полуоси гиперболы. Построение гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:

Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.

Научный форум dxdy

Привести квадратичную форму к диагональному виду

Привести квадратичную форму к диагональному виду

10.03.2018, 22:39

Последний раз редактировалось inzhenerbezmozgov 10.03.2018, 23:33, всего редактировалось 1 раз.

Дана квадратичная форма $f(x,y)=4x^2+8xy+7y^2$
1)Привести к диагональному виду методом Лагранжа
2)Записать матрицу перехода к новому базису
Я выделил полные квадраты, получается $(\sqrt<2>(x+y))^2+\sqrty^2$» />. Затем <img decoding=Надо записать коэффициенты при новых переменных в матрицу кв. формы и получить нули на главной диагонали?
Второй пункт: новые переменные через базис старых?
Как-то слишком просто.

Re: Привести квадратичную форму к диагональному виду

Как привести квадратичную форму к каноническому виду?
Метод Лагранжа

Приветствую вас на втором уроке о квадратичных формах, который посвящен её каноническому виду и соответствующим методам. «Чайникам» и вновь прибывшим с поисковика рекомендую сначала ознакомиться первой частью – чтобы быстренько привести себя в форму 🙂

И мы сразу же продолжаем. Если в квадратичной форме отсутствуют слагаемые с парными произведениями переменных, то говорят, что она находится в каноническом виде. …Первая часть предложения была понятной? Тогда едем дальше.

Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду:

– форму двух переменных – к виду (различаем коэффициенты «а» и «альфа»!);

– трёх переменных – к виду ;

– форму переменных «простыня» – к виду:

Чуть позже я сформулирую это утверждение более строго, расскажу о геометрическом смысле, да и просто смысле приведения – после того, как мы освоим техническую сторону вопроса.

И ключевой момент этой технической стороны состоит в линейных заменах:
– ТАКИХ, которые как раз и приводят форму к каноническому виду.

Систему часто записывают в виде компактного матричного уравнения , где:
– столбцы старых и новых переменных, – матрица линейного преобразования.

Внимание! Если вам не понятно, как из уравнения получить систему замен, обязательно посмотрите здесь (после Примера 3). Это важно.

Существует несколько способов приведения формы к каноническому виду, и в рамках сайта я расскажу о методе Лагранжа и методе ортогональных преобразований (уже следующий урок).

Начнём с наиболее простого метода:

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.

простенько и со вкусом

Решение: здесь используются стандартные замены с последующим применением бородатой формулы :

– форма в каноническом виде.

Запишем матрицу проведённого линейного преобразования: – она состоит из «игрековых» коэффициентов замен .

Ответ: ,

Пример, конечно, прозрачный, но сразу зададимся вопросом – как выполнить проверку? Её можно выполнить матричным методом по формуле , где – транспонированная матрица линейного преобразования, – исходная и – новая матрица квадратичной формы.

В нашем случае – исходная матрица формы , и, перемножая три матрицы:

– получаем матрицу формы , что и требовалось проверить.

Но то был лишь частный случай:

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.

Решение: когда в форме присутствуют квадраты переменных (а они есть почти всегда), то используется другой приём. Идея состоит в выделении полных квадратов по формулам , с дальнейшей заменой переменных.

Сначала выбираем какую-нибудь переменную, которая находится в квадрате, здесь можно выбрать или . Переменные традиционно перебирают по порядку, поэтому рассматриваем и собираем вместе все слагаемые, где есть эта переменная:

«двойку» удобно вынести за скобки:

очевидно, всё дело сведётся к формуле , и нам нужно искусственно организовать данную конструкцию. Для этого в скобках прибавляем и, чтобы ничего не изменилось – за скобками проводим вычитание:

выделяем полный квадрат:
, после чего выполним проверку обратными действиями – раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК

Теперь проведём замены :

– форма в каноническом виде.

И тут вроде бы можно записать матрицу линейного преобразования, но есть одна загвоздка, проведённые замены имеют вид :

но нам-то нужна другая матрица – матрица уравнения .

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:

Я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы, а сразу приведу готовый результат – искомая матрица линейного преобразования. Напоминаю (см. начало урока), что в этой матрице находятся «игрековые» коэффициенты «прямых» замен:

Справка: возможно, ещё не все до конца понимают, как из матричного уравнения получается система замен. В правой части уравнения выполняем матричное умножение:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, таким образом:

И в самом деле, выполняя прямые замены в форме :

– получаем её канонический вид, найденный выше.

То же самое можно установить матричным методом. Запишем матрицу формы и в результате перемножения трёх матриц:

– получим «каноническую» матрицу.

Прямая подстановка, безусловно, удобнее, но особенность метода Лагранжа состоит в том, что к канонической форме мы подбираемся «с другой стороны» (за исключением немногочисленных случаев наподобие предыдущего примера).

Ответ: ,

Если условие не запрашивает линейное преобразование, то решение заметно сократится. Но мы его наоборот – ещё больше увеличим 🙂 В образовательных целях.

Квадратичную форму можно привести к каноническому виду не единственным способом. Это следует уже из самого алгоритма действий. Так, например, полный квадрат можно выделить без выноса «двойки» за скобку:

и, после замен тоже получается канонический, но уже другой вид рассматриваемой формы:

Кстати, начать можно и со 2-й переменной –

выполните это задание самостоятельно:

Привести квадратичную форму к каноническому виду, выделив полный квадрат при переменной . Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.

Решение и ответ в конце урока.

Повысим уровень сложности, а точнее, количество переменных:

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.

Решать начинаем традиционно – группируем все слагаемые, которые содержат 1-ю переменную:

и начинаем конструировать полный квадрат:

здесь чётко просматривается формула и для её применения мы должны прибавить и вычесть :

«собираем» квадрат суммы и упрощаем «хвост», распишу это упрощение подробно:

На следующем шаге обычно выделяется ещё один полный квадрат, но у нас осталось единственно слагаемое с парным произведением, и в подобной ситуации сразу же выполняются замены, в данном случае :

В результате получен неканонический вид формы и поэтому нам потребуется ещё одна замена. Используем стандартный трюк, который встретился в самом начале урока:
. Таким образом, получаем:

– форма в каноническом виде.

Теперь нужно записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Ситуация осложнятся тем, что мы провели ДВА преобразования, и нам предстоит найти их композицию – результирующее преобразование, которое выражает через сумму / разность «игреков».

Давайте разбираться, что к чему. Запишем первую замену в матричной форме: .
Вторая же замена имеет несколько другой вид:

Из уравнений следует, что:

Для разрешения полученного уравнения относительно умножим обе его части на слева:

Таким образом, нам нужно найти обратную матрицу (уже не нужно:)) и выполнить матричное умножение:

– получив тем самым искомое результирующее преобразование.

Но подставлять в форму что-то неохота, и поэтому «пропустим через мясорубку» её матрицу , благо, матричный калькулятор под рукой:
– получена матрица приведённой формы , в чём мы и хотели убедиться.

Обратите внимание на удобство матричной записи и матричного метода – они практически «сводят на нет» путаницу в индексах и степенях квадратичной формы.

Ответ: ,

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

б) – особенно часто встречающийся тип приведения.

В образцах решения использован «традиционный» путь, т.е. полные квадраты выделяются по порядку, начиная с 1-й переменной. Перед заменой переменных полезно выполнять обратный ход – раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, чтобы получить исходный вид. Это вполне надёжный способ проверки. Также обратите внимание, что здесь не требуется указывать линейное преобразование, однако, я коротко рассказал, как его находить (мало ли, понадобится).

…У всех всё получилось? Тогда продолжаем – начинается самое интересное! Наверное, все понимают, что подавляющее большинство линейных преобразований не приводят нас к желаемому результату. Вернёмся к подопытной форме Примера 7 и проведём, например, такую замену: .
Запишем матрицу формы , матрицу преобразования и воспользуемся знакомой формулой:

Таким образом, форма приняла другой, тоже неканонический вид .

И тут я хочу отметить ещё одно преимущество матричного решения, о котором не говорил. В результате умножения ДОЛЖНА получиться симметрическая и только такая матрица, и этот факт значительно снижает риск пропустить ошибку. Но, разумеется, можно выполнить и прямую подстановку в :

Правда, запутаться тут легче и гарантий никаких.

Далее. Все преобразования, которые нам встретились выше, не вырождены. Что это означает? Это означает, что для них существует обратное преобразование – образно говоря, «путь назад». Теперь не образно:) определитель матрицы невырожденного линейного преобразования непременно отличен от нуля , что гарантирует существование обратной матрицы и «зеркальной» формулы , с помощью которой мы можем однозначно восстановить исходную матрицу .

Чего не скажешь о преобразовании вырожденном – это «билет в один конец». Одним из таких преобразований является тривиальное нулевое преобразование. Так, например, если , то форма вырождается в нулевую форму с матрицей . Обратного пути нет, то есть, если нам изначально дана вырожденная «игрековая» форма с матрицей , то невозможно выяснить, от какой формы она произошла.

Существуют и другие типы «вырождения», но всех их объединяет тот факт, что определитель матрицы такого преобразования равен нулю: , из чего следует, что обратной матрицы не существует, а значит, не существует и возврата.

А теперь заметим, что нулевое преобразование привело нас… к каноническому виду ! И в самом деле – это же канонический вид по определению. И поэтому сейчас мы усилим утверждение, сформулированное в начале урока: любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Существование такого преобразования, в частности, гарантирует метод Лагранжа.

И сейчас я озвучу кульминационный и ОЧЕНЬ важный момент: невырожденное линейное преобразование не меняет СУЩНОСТИ квадратичной формы. Здесь можно привести такой ассоциативный пример: рассмотрим произвольную ненулевую форму и представим, что это квадратный лист бумаги, на котором записано некое слово. Если форма находится в неканоническом виде, то лист занимает такое положение, в котором мы слова не видим, или же только догадываемся, что это за слово.

1) Невырожденное преобразование, которое приводит форму к каноническому виду, поворачивает листок бумаги к нам «лицом» – чтобы слово было отчётливо видно. Поскольку таких преобразований на самом деле много, то лист бумаги в общем случае будет менять свой размер и местоположение, и размер шрифта тоже будет меняться. Но что не изменится – так это слово.

2) Невырожденное преобразование, которое НЕ приводит форму к каноническому виду, делает то же самое с большим и толстым нюансом: слова мы по-прежнему не видим.

3) Вырожденное линейное преобразование либо полностью стирает с листа слово (нулевое преобразование), либо стирает отдельные буквы – так, чтобы нельзя было однозначно сказать, от какого слова они остались; причём, мы можем не увидеть даже и этих букв (если форма осталась в неканоническом виде).

И, завершая ассоциацию, отметим наиболее интересный случай – когда невырожденное преобразование не только приводит форму к каноническому виду, но ещё и сохраняет размер листа, т.е. поворачивает его к нам в неизменном виде. Жду вас на третьем уроке о методе ортогонального преобразования, где мы продолжим увлекательную беседу и вложим в сущность формы конкретный геометрический смысл.

Решения и ответы:

Задание к Примеру 7. Решение: приведём форму к каноническому виду

Проведём замены :
– форма в каноническом виде.

Найдём матрицу линейного преобразования , где – матрица «иксовых» коэффициентов проведённых замен.
В данном случае (см. урок Как найти обратную матрицу?)
Выполним проверку прямой подстановкой в :
, что и требовалось проверить.

Пример 9. Решение:
а) проведём замены :

Полученная форма имеет неканонический вид, и здесь следует выделить полные квадраты. Начнём с переменной :

теперь выделяем квадрат при переменной :

Контроль:
, что и требовалось проверить.
Проведём замены:

Примечание: проведённые замены можно записать в виде матричных уравнений . Из последнего уравнения выразим и подставим в первое уравнение: . Таким образом, для нахождения матрицы итогового линейного преобразования нужно найти и выполнить умножение .

б) Решение: выделим полный квадрат при 1-й переменной:

«собираем» полный квадрат и упрощаем «хвост»:

выделим полный квадрат при 2-й переменной:

Выполним проверку раскрыв все скобки:
– получен исходный вид формы.

Примечание: выполненные замены имеют вид , таким образом, матрица линейного преобразования:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *