Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству 8 4
Перейти к содержимому

Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству 8 4

  • автор:

Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству 8 4

Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству x² – mxy + y² = 1 (1) тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности (2): a0 = 0, a1 = 1, a2 = m, a3 = m² – 1, a4 = m³ – 2m, a5 = m 4 – 3m² + 1, . в которой ak+1 = mak – ak–1 для любого k 0. Докажите это.

Решение

Для m = 1 нетрудно проверить, что при xy > 1 решений нет. Таким образом, решений конечное число, и все сводится к небольшому перебору.
Решим задачу для m = 3 (для других m > 1 решение совершенно аналогично).
Мы должны доказать, что, во-первых, все пары чисел (2) удовлетворяют уравнению (1) и, во-вторых, никакие другие пары неотрицательных целых чисел этому уравнению не удовлетворяют.
В последовательности (2) за каждой парой (x, y) следует пара (x’, y’) = (y, 3y – x). (3)
Преобразование (x, y) → (y, 3y – x) обозначим буквой T. Заметим, что если пара (x, y) удовлетворяет уравнению (1), то пара (x’,y’) = T(x, y) ему тоже удовлетворяет: y² – 3y(3y – x) + (3y – x)² = y² – 3xy + x². (4)
Отсюда сразу видно, что все пары (2) удовлетворяют уравнению (1): ведь пара (0, 1) ему удовлетворяет, а все остальные получаются из неё с помощью конечного числа преобразований T.
Докажем теперь, что других решений (x, y) в целых числах, подчиненных условиям 0 ≤ x Из равенств (4) следует, что если пара (x’, y’) удовлетворяет уравнению (1), то пара (x, y) = T –1 (x’, y’) ему также удовлетворяет. Покажем, что если, кроме того, 0 0 (ведь x’ – y’ отрицательно).
Заметим, что неравенства (6) можно переписать и так: 0 ≤ x –1 переходит в решение (x, y), для которого 0 ≤ x 0, то мы можем применить T –1 еще один или несколько раз, получая новые (меньшие по величине) решения.
Действительно, x при каждом преобразовании уменьшается. Поэтому через некоторое конечное число шагов мы должны будем остановиться, а остановиться мы можем лишь тогда, когда получим решение (x, y), у которого x = 0 и, следовательно, y = 1.
Отсюда следует, что каждое решение получится из (0, 1) за конечное число преобразований T, то есть что никаких других, отличных от (2), решений нет.

Замечания

Более наглядно это решение можно представить так. Будем изображать пару чисел (x, y) точкой плоскости. Тогда уравнение x² – 3xy + y² = 1 задаёт на плоскости гиперболу.
Решить это уравнение в целых числах – значит указать все точки с целочисленными координатами, лежащие на гиперболе. Одну такую точку указать легко – её координаты (0, 1). Все остальные (в пределах угла 0 ≤ x –1 . Упомянем ещё одно интересное свойство этих преобразований:
4) Площадь любой фигуры при преобразовании не меняется.
Совершенно аналогично обстоит дело и при m > 3.
При m = 2 все наши рассуждения также проходят без изменения, но геометрическая интерпретация несколько меняется. Вместо свойства 3) соответствующее преобразование T: (x, y) → (y, 2y – x) обладает таким:
3′) оно переводит каждую прямую y – x = c в себя; каждая точка «сдвигается» по своей прямой (при c ≠ 0), а все точки, лежащие на прямой
y – x = 0, просто остаются неподвижными. (Такое преобразование называется сдвигом.)
Для случая m = 1, то есть для уравнения x² – xy + y² = 1 (оно определяет на плоскости эллипс ), можно выписать аналогичное преобразование
T: (x, y) → (y, y – x), которое переводит это уравнение и вообще каждый эллипс x² – xy + y² = c в себя. Это преобразование называется эллиптическим поворотом. Оно так же, как и при m > 1, переводит все целочисленные решения уравнения друг в друга, но в данном случае решений всего шесть, и вместо схемы (0, 1) → (1, 3) → (3, 8) → (8, 21) → . которую можно было бы нарисовать для уравнения (1), теперь получается такая:

2. Этот красивый факт был использован в работе Ю.В. Матиясевича, посвящённой десятой проблеме Гильберта, о которой рассказано в статье Ф. Варпаховского и А.Н. Колмогорова.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название «Квант»
год
Год 1970
выпуск
Номер 8
Задача
Номер М39

Верно ли, что знакочередующийся числовой ряд всегда — Ответ на вопрос по математике №13022

Картинка-подпись

Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!

Ответы на популярные вопросы
То есть уже всё готово?

Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.

А я могу что-то выложить?

Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.

А если в купленном файле ошибка?

Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!

Можно заказать выполнение работы на СтудИзбе?

Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.

Отзывы студентов

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает — и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе «Студизба»
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.

Анализ алгоритма

— если A = 1, то B ≤ 6 / 1 = 6. Пары (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6).

— если A = 2, то B ≤ 6 / 2 = 3. Пары (2, 1), (2, 2), (2, 3).

— если A = 3, то B ≤ 6 / 3 = 2. Пары (3, 1), (3, 2).

— если A = 4, то B ≤ 6 / 4 = 1. Пара (4, 1).

— если A = 5, то B ≤ 6 / 5 = 1. Пара (5, 1).

— если A = 6, то B ≤ 6 / 6 = 1. Пара (6, 1).

Искомая сумма равна

= = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14

Решите задачу для n = 11. Найдите количество троек, являющихся решением уравнения A * B + C = 11 для натуральных A, B, C.

Читаем входное значение n .

В переменной res вычисляем результирующую сумму.

Решение задания №1 из ЕГЭ по информатике

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

Любое целое число A, записанное в системе счисления с основанием p, можно представить в расширенной форме:

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод целых чисел в десятичную систему счисления из других систем счисления.

Для перевода целого числа, записанного в системе счисления с основанием p, в десятичную, нужно пронумеровать цифры его целой части справа налево, начиная с 0, затем найти произведение каждой цифры числа на степень основания, где показателем степени является номер цифры, и сложить полученные значения (то есть, нужно представить число в расширенной форме и вычислить).

Перевод целых десятичных чисел в другие системы счисления.

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием p, нужно последовательно делить число и получающиеся частные на p, запоминая остатки, до тех пор, пока последнее частное не будет равно 0. После этого выписать полученные остатки в обратном порядке.

Также, для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием p можно разложить это число на слагаемые, содержащие максимальную степень числа p и выписать коэффициенты (множители) при этих степенях. Вместо отсутствующей степени нужно записать 0.

Легко заметить, что множители при степенях p не что иное, как остатки от последовательного деления десятичного числа на p.

Кратные системы счисления

Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим трехразрядным двоичным числом.

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления нужно разбить число на триады, начиная справа. Каждую триаду записать в виде одной восьмеричной цифры.

0 0 000
1 1 001
2 2 010
3 3 011
4 4 100
5 5 101
6 6 110
7 7 111

Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную выполняется аналогично. Только в этом случае каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом.

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления нужно разбить число на тетрады, начиная справа. Каждую тетраду записать в виде одной шестнадцатеричной цифры.

0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111

Задачи

    Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 48?
    Решение:
    Переведём число 48 в двоичную систему счисления. Это можно сделать следующим образом:

Решение:

Выполним арифметические действия.

Переведем результаты вычислений в десятичную систему счисления.

1068 =1∙8 2 + 6 = 70

Количество чисел = 1

Ответ: 1

Информационные источники

  1. «ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий», http://os.fipi.ru/tasks/5/a
  2. Материалы для подготовки к ЕГЭ по информатике К.Ю. Полякова, http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm
  3. Образовательный портал «Решу ЕГЭ», https://ege.sdamgia.ru/
  4. Я.Н.Зайдельман , ЕГЭ 2020. Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ в 2020 году. Диагностические работы. ФГОС. — М.: МЦНМО, 2019.
  5. Я. Н. Зайдельман, М. А. Ройтберг, Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ в 2019 году. Диагностические работы. ФГОС.— М.: МЦНМО, 2019.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *