Почему 1 в степени бесконечность это неопределенность
Перейти к содержимому

Почему 1 в степени бесконечность это неопределенность

  • автор:

Чему равна 1 в степени «бесконечность»

Илья, не упрощайте. Вот как раз любое значение и будет верным результатом. Если что-то невозможно, это не значит, что оно неверно.

по моему, если 1 в степени бесконечность — то это второй замечательный предел, который нужно преобразовать к виду предел (1+1/х) ^х=е при х стремится к бесконечности

1 в степени бесконечность это неопределенное число.
И даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354
Следовательно 1 в степени 1 это = НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ ЧИСЛО

Один в степени бесконечность

Добрый день. Изучаю пределы и не могу понять почему 1 в степени бесконечность является неопределеностью, ведь 1×1×1×. ×1 =1.

Буду благодарен за ваш ответ, я честно гуглил но так и не понял почему это так .

Александр Емелин 01.03.2023 в 19:21

Здравствуйте, Сергей, спасибо за вопрос! Потому что единица — это лишь символ — на самом деле здесь имеется в виду бесконечно близкое к единице значение, а-ля 0,999999999. либо 1,000000011. И если мы будем возводить в бесконечность то или иное значение, то не понятно, что получится в пределе, поэтому здесь и неопределённость (формула 1×1×1×. ×1×. =1 не работает)

Александр Емелин 01.03.2023 в 19:27

Так, при возведении в бесконечную степень значения 1,000000011. может получится как 1, так и бОльшее число, так и бесконечность — это зависит от того, насколько быстро приближается к единице основание степени и насколько быстро (по отношению к предыдущей «быстроте») приближается к бесконечности показатель

Сергей 05.03.2023 в 18:25
Александр, спасибо больше за ответ.

  1. Помогите пожалуйста с пониманием предела
  2. Арксинус икс в степени икс (производная)
  3. Решение неопределённого интеграла тригонометрической функции с понижением степени
  4. Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
  5. Бесконечность минус бесконечность

1 в степени бесконечность

1 ∞ — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс [ ]

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: 1 a = 1 . Следовательно, и 1 ∞ = 1 . Таким образом, это не должно быть неопределённостью. Дополнить парадокс автора философской фразой можно так, «ква! хрю!кря!», это и есть та самая определенность .

и даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354 есть единица. Алсо, многие считают, что парадокс — нифига не парадокс, а фигня какая-то

Так почему же это является неопределённостью? [ ]

По правилу Лопиталя (правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида ноль/ноль, бесконечность/бесконечность. А здесь надо логарифимировать предел и переходить к произведению в степени.) lim x → ∞ 1 x = lim x → ∞ x ⋅ 1 x − 1 =\lim_>> . Но поскольку x = ∞ (по условию), то одним из множителей второго предела является ∞ , что уже говорит о том, что вычислить этот предел невозможно. Таким образом, 1 ∞ является неопределённостью, и это доказано.

Один в степени бесконечность

Рассмотрим, как раскрывается неопределенность один в степени бесконечность в другой форме записи 2 замечательного предела. В этом случае фактически имеем неопределенность один в степени один на ноль.

Второй замечательный предел иначе можно записать так:

а если α=f(x), при условии f(x)→0, при x→0, имеем:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + f(x))^{\frac{1}{{f(x)}}}} = e.\]

Рассмотрим на примерах, как раскрыть неопределенность один в степени бесконечность в этом случае.

\[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \left[ {{1^{\frac{1}{0}}}} \right] = ?\]

Получили неопределенность один в степени один на ноль. Поскольку

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{C}{x} = \infty ,C = const, \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \left[ {{1^{\frac{1}{0}}}} \right] = \left[ {{1^\infty }} \right] = ?\]

Чтобы воспользоваться модификацией второго замечательного предела и раскрыть неопределенность один в степени бесконечность, рассуждаем так:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {(1 + f(x))} \right]^{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {(1 + f(x))} \right]}^{\frac{1}{{f(x)}}}}} \right\}^{f(x) \cdot g(x)}} = \]

(не забываем о требовании f(x)→0, при x→0).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + 3x} \right]}^{\frac{1}{{3x}}}}} \right\}^{3x \cdot \frac{1}{{5x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + 3x} \right]}^{\frac{1}{{3x}}}}} \right\}^{\frac{3}{5}}} = {e^{\frac{3}{5}}}.\]

\[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{x^2} + 3x)^{\frac{3}{{7{x^2}}}}} = \left[ {{1^{\frac{3}{0}}}} \right] = \left[ {{1^\infty }} \right] = \]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + ( - 2{x^2} + 3x)} \right]}^{\frac{1}{{ - 2{x^2} + 3x}}}}} \right\}^{( - 2{x^2} + 3x) \cdot \frac{3}{{7{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 6{x^2} + 9x}}{{7{x^2}}}}} = \]

Чтобы избавиться от неопределенности ноль на ноль в показателе степени, в числителе выносим за скобки общий множитель x и сокращаем дробь на x:

\[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x( - 6x + 9)}}{{7{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 6x + 9}}{{7x}}}} = \left[ {{e^{\frac{9}{0}}}} \right] = {e^\infty } = \infty .\]

Будьте внимательны! Если в примере нет неопределенности, предел вычисляем непосредственно:

\[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{x^2} + 3x)^{\frac{3}{{7{x^2} + 1}}}} = {1^3} = 1.\]

\[4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + \sin 3x)^{\frac{1}{{2x}}}} = \left[ {{1^\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {{{(1 + \sin 3x)}^{\frac{1}{{\sin 3x}}}}} \right]^{\frac{{\sin 3x}}{{2x}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{2x}}}} = \]

Неопределенность вида ноль на ноль в показателе степени — первый замечательный предел:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *