Последовательность an геометрическая прогрессия отметь последовательности которые являются
Перейти к содержимому

Последовательность an геометрическая прогрессия отметь последовательности которые являются

  • автор:

1. Геометрическая прогрессия

Последовательность ( b n ), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число \(q\), называется геометрической прогрессией .

Если последовательность ( b n ) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения \(n\) справедлива зависимость: b n + 1 = b n ⋅ q .

Число \(q\) называется знаменателем геометрической прогрессии .

Если в геометрической прогрессии ( b n ) известен первый член b 1 и знаменатель \(q\), то возможно найти любой член прогрессии.

Урок в 9 классе «Геометрическая прогрессия»

Тип урока — урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: листы с печатной основой, презентация.

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать основную цель.

2. Актуализация знаний учащихся. Проверка домашнего задания.

Используется презентация, учащимся раздаются листы с печатной основой.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

1. (аn) — ар.пр. а1 = 5; аn+1 = аn + 3

4. d > 0, прогрессия ______________;

d = 0, прогрессия ______________.

5.аn= (аn-1 + аn+1): 2; n?2, n-натуральное число

— В левой части таблицы систематизированы все сведения об арифметической прогрессии. Расшифруйте записи, выполненные на математическом языке в указанной части таблицы.

В первой строке таблицы записан пример арифметической прогрессии с первым членом, равным 5, и разностью, равной 3.

Во второй строке таблицы записано определение и обозначение разности арифметической прогрессии.

Сформулируйте определение разности арифметической прогрессии.

(Разностью арифметической прогрессии называется число, на которое каждый следующий член этой прогрессии отличается от предыдущего.)

В третьей строке таблицы перечислены элементы, определяющие арифметическую прогрессию.

Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

(Числовая последовательность а1, а2, а3, :, аn, :называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство аn+1 = аn + d, где d — некоторое число.)

В четвертой строке — классификация прогрессий в зависимости от d.

d > 0, прогрессия возрастающая;

d = 0, прогрессия постоянная.

(выполнить соответствующие записи в листах и на доске)

В пятой строке записано характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии.

(Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.)

В этих строках записаны формулы, позволяющие вычислить п-й член прогрессии и сумму первых п членов.

3. Изучение нового материала.

Проводится сравнительный анализ первой строки правого и левого столбцов таблицы на основе следующих вопросов:

Сравните примеры последовательностей, записанных в первой строке левого и правого столбцов таблицы. Что у них общего? Чем они отличаются?

Общее: обе последовательности заданы рекуррентным способом, имеют одинаковые первые члены.

Различное: у последовательности (аn) следующий член получается из предыдущего сложением с числом 3, а у последовательности (bn) — умножением на 3.

— Т.е. последовательность (bn) имеет первый член равный 5, а каждый следующий получается из предыдущего умножением на 3.

Последовательность такого вида называется геометрической прогрессией.

— Найдите зависимость между каждым членом этой прогрессии и предшествующим ему. Как можно записать данную зависимость? При каких условиях она будет верна?

b2 : b1 = b3 : b2 = bn: bn-1 = bn+1: bn = q, b1 ? 0, q?0 ( заполняется вторая строка правой части таблицы).

Сформулируем определение геометрической прогрессии:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Числовая последовательность b1, b2, b3, :, bn, :называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство bn+1 = bnq, где bn ? 0, q — некоторое число, не равное нулю.

(Учащиеся записывают определение в тетрадь)

Выделите элементы, определяющие геометрическую прогрессию.

b1 > 0, q<>0,bn = b1q (заполняется третья строка правой части таблицы).

Далее рассматриваются примеры геометрических прогрессий.

2, 8, 32, 128,: — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 4;

1, , , ,: — геометрическая прогрессия со знаменателем q = ;

, -1, 12, -144, :- геометрическая прогрессия со знаменателем q = — 12;

7, 7, 7, 7, :- геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1.

— Опираясь на рассмотренные примеры, классифицируем геометрические прогрессии в зависимости от знаменателя и заполним четвертую строку таблицы.

(Для определенности рассмотрим эту классификацию при b1 > 0)

при q > 1, прогрессия возрастающая;

при q = 1, прогрессия постоянная.

Геометрическая прогрессия с положительными членами обладает характеристическим свойством в некоторой степени похожим на характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию (bn). По определению bn+1 = bnq, bn-1 = bn : q, откуда bn 2 = bn-1 bn+1, п > 1, или bn = (Учащиеся записывают вывод формулы в тетрадь)

Таким образом, каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия. (Заполняется пятая строка правой части таблицы).

Выведем формулу п-го члена геометрической прогрессии. (Учащиеся записывают вывод формулы в тетрадь).

Отметим, что если b1 и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле bn+1 = bnq.

(Заполняется шестая строка правой части таблицы).

Седьмую строку мы заполним через несколько уроков, а сейчас рассмотрим примеры решения задач. (Фронтальная работа с классом. Учитель записывает решения на доске, учащиеся — в тетрадях.)

Доказать, что последовательность, заданная формулой bn = 7 2п , является геометрической прогрессией.

Найти седьмой член геометрической прогрессии, если b1 = 81 и q = .

Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18. Найти номер этого члена.

4. Первичное закрепление знаний.

Задание № 1 (Устно.)

Назвать первый член и знаменатель геометрической прогрессии:

1) 4, 2, 1, :; 2) -10, 20, -40, :; 3) -50, 10, -2,: .

(Один из учащихся отвечает на вопрос 1), второй — на вопрос 2), третий — на вопрос 3). Остальные внимательно следят за работой.)

Ответ: 1) b1 = 4, q = 0,5; 2) b1 = -10, q = -2; 3) b1 = -50, q = -0,2.

Задание № 2 (Самостоятельно с последующей проверкой.)

Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если: b1= 12, q = 2.

Ответ: b2 = 24, b3 = 48, b4 = 96, b5 = 192.

Для геометрической прогрессии вычислить:

b4, если b1 = 3, q = 10; (Один ученик у доски.)

b7, если b1 = 4, q = 0,5. (Самостоятельно с последующей проверкой.)

Задание № 4 (Один ученик у доски.)

Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии: 6; 12; 24; :; 192; :;

Задание № 5 (Самостоятельно с последующей проверкой.)

Найти знаменатель геометрической прогрессии, если: b1 = 2, b5 = 162.

Ответ: q = 3.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствуют папирусы Ахмеса… Например, можно встретить такую задачу:

«В доме было 7 кошек.

Каждая кошка съедает 7 мышей.

Каждая мышь съедает 7 колосьев.

Каждый колос дает 7 растений.

На каждом растении вырастает 7 мер зерна.

Сколько всех вместе?».

Найдите ответ к этой задаче. Ответ: 19607. (Обратить внимание на скорость роста членов геометрической прогрессии)

Известна задача-легенда, которая относится к началу нашей эры (встречается у ал-Беруни):

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т.д.»

Сначала царь обрадовался, такому «скромному» желанию Сеты, но потом оказалось, что такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой в 2000 раз больше всей поверхности Земли, т.к. их количество равно 18 446 744 073 709 551 615. А для их хранения потребуется амбар, с размерами: высота 4 м, ширина 10м, длина 30 000 000км — вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

В старинной арифметике Магницкого есть забавная задача:

«Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря:

— Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

— Если по-твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 0,25 коп., за второй — 0,5 коп., за третий — 1коп. и т.д. покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 руб. На сколько покупатель проторговался?

1.Подведение итогов работы.

2.Домашнее задание.

Выучить определение геометрической прогрессии, выведенные формулы; решить одну из предложенных задач.

1.Л.Ф. Пичурин „За страницами учебника алгебры“ Москва, Просвещение,1990.

2.Г.И. Глейзер „История математики в школе 7-8 класс“ Москва, Просвещение,1982.

3.Я.И. Перельман „Занимательная алгебра. Занимательная геометрия“ Москва, АСТ, 2007.

Геометрическая прогрессия: объяснение и формулы

Геометрическая прогрессия: объяснение и формулы

Ученикам может показаться, что изучение геометрической прогрессии – это нечто абстрактное и оторванное от жизни. На самом деле множество экономических процессов построены именно на основе геометрической прогрессии.

Например, если вы положите деньги на банковский депозит и захотите посчитать сколько процентов заработаете за три года, самым удобным способом провести вычисления будет именно через формулу геометрической прогрессии. Этот инструмент также применяется в проектировании, архитектуре и строительстве.

В этом тексте вы сможете узнать базовую информацию о формулах и свойства геометрической прогрессии, а также понять принцип, по которому она действует.

Что такое геометрическая прогрессия?

3, 12, 48, 192, 768, 3072 – это пример геометрической прогрессии. Все эти объединенные единым общим множителем. В теории геометрической прогрессии он называется знаменателем и обозначается как q. В этом случае q = 4. Чтобы создать геометрическую прогрессию, нам нужно сначала три умножить на четыре, затем 12 – снова на 4, потом 48 на 4 и так далее.

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия – это прежде всего последовательность чисел. Каждый пункт этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему числу, умноженному на одинаковый множитель.

геометрическая прогрессия

Устойчивое число множитель, которое собственно и образует последовательность под названием геометрическая прогрессия, называется знаменателем прогрессии и обозначается, как мы уже отметили выше, буквой q.

Члены прогрессии обозначаются как , где под индикатором n имеется в виду порядковый номер члена в прогрессии. Соответственно, первый член прогрессии (в нашем первом примере равен 3 – это b1, а второй (12) – это b2.

Предполагается, что ни первый член, ни знаменатель прогрессии не равен нулю.

Свойства геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия становится удобным инструментом вычислений, когда вы понимаете, что с помощью ее свойств и связанных с ней формул можно легко вычислить, чему равно

геометрическая прогрессия

И действительно – если попробуем вручную умножать каждое число ряда на 4, в конце концов восьмым числом этой геометрической прогрессии станет 49152.

После усвоения главного принципа, лежащего в основе геометрической прогрессии, можем закрепить знания, проверив на практике первый пример с банковским депозитом.

геометрическая прогрессия

Допустим, вы кладете на свой счет $ 100 под 6% годовых, и хотите узнать, какую сумму получите за 3 года. В таком случае вы будете использовать в своих расчетах геометрическую прогрессию, ведь ежегодно вы будете умножать все большую сумму на один и тот же множитель (в данном примере он равен 6%, то есть – 1,06)

Чтобы вычислить сумму вклада в момент завершения действия депозита, используем уже знакомую формулу для нахождения значения любого члена прогрессии:

геометрическая прогрессия

геометрическая прогрессия

В чем разница между геометрической и арифметической прогрессией?

В геометрической прогрессии члены прогрессии умножаются на постоянное число, тогда как арифметическая прогрессия воплощает последовательность чисел, в которой к каждому предыдущему члена добавляется одно и то же постоянное число.

геометрическая прогрессия

Представим это на примерах.

Предположим, что знаменатель (q) в случае геометрической прогрессии составит 3 и так же в арифметической прогрессии устойчивое слагаемое будет равно 3. И стартовый член прогрессии в обоих случаях также составит одно и то же число – 4.

Арифметическая прогрессия тогда будет выглядеть как последовательность 4, 7 (= 4 + 3), 10 (= 7 + 3) . 13 . 16 . 19 .

А геометрическая прогрессия – как последовательность 4, 12 (= 4 * 3), 36 (= 12 * 3), 108 . 324 …

Читайте также: Учимся играя. Что такое геймификация

Формулы и свойства геометрической прогрессии

Свойства членов геометрической прогрессии – это формулы, упрощающие расчеты. Вот некоторые из них:

Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, следует использовать следующую формулу:

Произведение членов, равноудаленных от краев геометрической прогрессии, то есть, соседних, всегда является постоянной величиной, то есть:

С формулой расчета любого члена геометрической прогрессии мы уже знакомы. Она выглядит так:

А формула нахождения суммы п первых членов геометрической прогрессии выглядит так:

Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, будет равняться среднему арифметическому соседних с ним членов, то есть при ,

Калькуляторы геометрической прогрессии

В сети есть множество калькуляторов как арифметической, так и геометрической прогрессии. Некоторые из них могут не только посчитать сумму прогрессии или найти знаменатель, но и отразить пошаговое решение того или иного примера. Пользуясь ими вы не только найдете ответ, но и сможете понять принцип действий и запомнить некоторые из формул.

Однако если вы переживаете сложности с пониманием геометрической прогрессии, эффективным решением может быть работа с репетитором по алгебре. На сайте БУКИ вы можете найти репетитора по любому предмету.

Что касается онлайн-калькуляторов прогрессии, то в Keisan Online Calculator вы можете вычислить или сумму геометрической прогрессии, а также значение любого ее члена с пошаговым решением вашего примера. А в Geometric Sequence Calculator вы сможете вычислить любой составляющая прогрессии: и знаменатель геометрической прогрессии (q), и сумму бесконечный прогрессии (Sn), и сумму первых членов (Sn).

Примеры решения заданий с геометрической прогрессией

геометрическая прогрессия

  1. Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=5,5; b2=11.

Вычислим знаменатель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены:

q = b2/b1 = 11/5,5 = 2.

Знаменатель прогрессии (q) равен 2.

геометрическая прогрессия

  1. Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=0,3; b2= -30.

Вычислим знаментель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены:

q = b2/b1= -30/0,3= -100.

Знаменатель прогрессии (q) равен -100.

ПОМОГИТЕ ОЧЕНЬ НАДО ! 1) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 3,-6,12,-24,48,-96 ЕСЛИ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ,НАЙДИ ЕЁ ЗНАМЕНАТЕЛЬ 2)ОТМЕТЬТЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОТОРЫЕ ЯВЛЯЮТСЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПРОГРЕССИЯМИ 12;19;26;.
1; 1/2;1/4;. 1;4;9;. 1;3;9;. 2/3;1/2;3/8;. √2 ,1,√2/2.
3)ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ЗАДАНА ФОРМУЛОЙ bn=3*2n найдите четыре первых члена этой прогрессии и сложите их.
4)НАЙДИТЕ ЗНАМЕНАТЕЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ У КОТОРОЙ b1=20,b2=10 .
5)НАЙДИТЕ СУММУ ЧЕТВЕРТОГО И ПЯТОГО ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ. 4,-2,1
6) НАЙДИТЕ ШЕСТОЙ ЧЛЕН ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ 1;3;9;.
7)даны последовательности (n≠0,n≠1) определите какая из данных последовательностей НЕ является ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ прогрессией 3-n,3-2n,3-3n,3-4n.
3n,3n2,3n3,3n4
3n,3n+1,3n+2,3n+3
3 1-n , 3 2-n , 3 3-n, 3 4-n

3. заданная формула возможно неточно переписана или последовательность не геометрическая.

3*2n — 3 умножить на 2n или 3 возвести в степень 2n

7. 3-n,3-2n,3-3n,3-4n, 3n,3n+1,3n+2,3n+3 — єти последовательности не являются геометрическими прогрессиями

1. Последовательность геометрическая т.к. а2 = а1 * q, а3 = а2 * q, где

q — одно и тоже число (знаменатель данной геометрической прогрессии)

q = а2 / а1 = -6 / 3 = -2.

4. Из формулы нахождения n-го члена геометрической прогрессии

q = а2 / а1 = 10/20 = 0,5.

5. q = а2 / а1 = -2/4 = -0,5

а5 = 4 * (-0,5)^4 = 0.25

a4 = 4 * (-0.5) ^3 = -0.5

6. b6 = b1 * q^5 = 243.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *