Как по графику потенциала построить график напряженности
Перейти к содержимому

Как по графику потенциала построить график напряженности

  • автор:

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ (продолжение)

В предыдущей лекции мы ввели для характеристики электростатического поля скалярный потенциал j . При этом было сказано, что потенциал является энергетической характеристикой электростатического поля, и описание с помощью него свойств поля полностью эквивалентно описанию с помощью напряжённости, являющейся силовой характеристикой этого поля. Рассмотрим теперь более подробно, как связаны друг с другом данные величины. Поскольку в каждой точке пространства у нас теперь помимо вектора задано значение скалярной функции , то есть кроме векторного поля оказывается, определено ещё скалярное, то рассмотрим вначале некоторые сведения из математической теории поля, касающиеся скалярных полей – их структуры и характеристик.

1. Скалярные поля. Понятие градиента(математическое отступление).

def: Если в каждой точке области пространства V задано некоторое число , то говорят, что в этой области пространства определено скалярное поле.
def: Геометрическое место точек, для которых величина u принимает одно и тоже числовое значение С, называется поверхностью уровня, соответствующей числу С. Уравнение этой поверхности: u(x,y,z)=С.

Очевидно, что поверхности уровня, отвечающие различным С заполняют всю область пространства, в которой определено скалярное поле. При этом никакие две поверхности не пересекаются.

Отметим, что плоское поле u(x,y) может быть задано линиями уровня, соответствующими уравнениям вида u(x,y)=C.

Таким образом, структура скалярного поля гораздо проще структуры векторных полей, в которых имеются такие образования как источники поля и различные завихрённости. Скалярное же поле всё состоит из поверхностей уровня и, если мы находимся в некоторой точке пространства, то помимо того к какой поверхности уровня принадлежит эта точка (чему равно значение функции u в этой точке) нас может интересовать ещё только вопрос о том как будет вести себя функция u при смещении из данной точки в соседние – будет ли она возрастать или убывать и сколь быстро. Для ответа на этот вопрос вводят понятие производной по направлению.

Эта «пространственная» производная определяется аналогично обыкновенной.

А именно: если мы из точки радиус–вектор которой сместимся в произвольном направлении на бесконечно малый вектор (рис.7.1а), то значения функции u при этом также изменятся на бесконечно малую величину , определяемую, в соответствии с формулой полного дифференциала функции трёх переменных выражением: . Учитывая формулу для , данное выражение можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: и вектора с компонентами

Этот вектор называется градиентом скалярного поля u, и обозначается: gradu.

Таким образом, . Производная же поля u по направлению, определяемому вектором , может быть формально получена как отношение изменения функции du к расстоянию, на котором это изменение произошло, то есть к (разумеется, более строго как соответствующий предельный переход):

— единичный вектор, определяющий направление, в котором вычисляется производная (7.1). Так как в соответствии с определением скалярного произведения

где a — угол между gradu и вектором . Значит, градиент, это вектор, в направлении которого функция u будет расти с наибольшей скоростью. Производная же функции u в произвольном направлении, определяемом единичным вектором равна, в соответствии с (7.1) проекции gradu на это направление.

Рассмотрим теперь, как связаны друг с другом поверхности уровня и градиенты скалярных полей. Для этого заметим, что если мы сместимся из данной точки пространства на вектор вдоль поверхности уровня, на которой эта точка лежит (рис.7.1б), то функция u при этом не изменится, то есть du=0. Следовательно, , что возможно, если только . Отсюда следует, что градиент скалярного поля перпендикулярен к поверхности уровня в каждой её точке, а это в свою очередь означает, что скалярное поле наиболее быстро растёт в направлении нормали к поверхности уровня, и соответственно, убывает в направлении .

Резюмируя всё сказанное, дадим следующее определение.

(Название — от латинского слова gradiens – шагающий).

Таким образом, для характеристики локальных свойств скалярных полей вводится всего один дифференциальный оператор – градиент, который и содержит в себе всю необходимую информацию об этих полях. Для характеристики же локальных свойств векторных полей (для описания источников и завихрений в этих полях) вводится два дифференциальных оператора – дивергенция и ротор, что ещё раз подчёркивает сложность их структуры в сравнении со скалярными полями.

Следует отметить, что термины и обозначения «дивергенция, градиент, ротор» ввел Максвелл (1873). Именно ему мы обязаны изучением столь сложных вещей.

Рассмотренное выше понятие градиента скалярной функции может быть хорошо проиллюстрировано на следующем примере.

Предположим, что мы имеем дело с функцией только двух переменных u=u(x,y), то есть у нас есть, фактически плоское скалярное поле. Поэтому значения данной функции могу быть представлены некоторой поверхностью в трехмерной системе координат (рис.7.2а).

Стоя на этой поверхности, мы видим, что она в одних направлениях поднимается, а в других опускается. В одном из направлений за один короткий шаг мы поднимаемся выше, чем за шаг той же длины в любом другом направлении. (При этом длина шага измеряется, разумеется, в плоскости XOY)

Градиент функции u в нашем случае, это вектор, совпадающий по направлению с наибольшей крутизной, а его модуль равен наклону, измеренному в этом направлении (то есть тангенсу угла, между этим вектором и его проекцией на плоскость X0Y). Характер распределения градиента показан на рис.7.2б небольшим количеством векторов в разных точках данной плоскости

2. Градиент в различных системах координат(математическое отступление).

3. Связь напряженности и потенциала электростатического поля.

Напомним, что . С другой стороны (по аналогии с предыдущим пунктом) . Сравнивая выражения, находим, что

Вектор напряженности показывает направление наиболее быстрого убывания потенциала.

Предположим, что нам дан план какой-либо местности: в озеро впадает река и рядом гора (рис.7.3). Соединим на этом плане точки одинаковой высоты линиями, причем высоты будем брать через одинаковый интервал, например, 1 м. По такому плану легко определить уклон местности между двумя соседними точками: поделить разность уровней между точками на расстояние между ними. Очевидно, что уклон будет больше там, где линии одного уровня ближе друг к другу.

Это ясно видно и из вертикального разреза местности, сделанного по выделенной на рис.7.3 прямой, что показано на рис.7.4. В какой-нибудь данной точке мы получим наибольший уклон, проведя линию перпендикулярную горизонтали. По таким уклонам и будет стекать вода в данной местности во время дождя.

Вернемся к электричеству. Поверхности уровня в электростатике, или, соответственно, поверхности одинакового потенциала называется эквипотенциальными (от лат. aequus — равный). Их сечения какой-либо плоскостью будем называть эквипотенциальными линями. Тогда в нашем примере горизонтальные линии – это эквипотенциальные линии, уклоны – разности потенциалов, а линии течения воды – линии напряженности. Именно по ним и будут двигаться электрические заряды.

Ясно, что вектор напряженности и эквипотенциальная поверхность перпендикулярны. Обычно эквипотенциальные поверхности (точнее линии) чертят через одинаковую разность потенциалов.

Заметим, что нулевой потенциал выбираем весьма условно. Смысл имеет разность потенциалов. Также как на местности предметом непосредственного наблюдения является разность уровней, и любой из них можно принять за основной.

rem: Для проводников эквипотенциальная поверхность вырождается в эквипотенциальный объем.

4. Эквипотенциальные линии двух точечных зарядов.

На рис.7.5 показаны рассчитанные эквипотенциальные линии двух одинаковых по модулю, но разных по знаку зарядов.

На рис.7.6 то же для одноименных зарядов.

На рис.7.7 показаны эквипотенциальные линии для разноименных неодинаковых по модулю зарядов.

Данные построения полезно сравнить с картинами силовых линий (см. рис.4.6-4.7), чтобы убедиться в их ортогональности.

Наконец на рисунке 7.8 линии напряженности электростатического поля и эквипотенциальные линии показаны одновременно.

Рассмотрим теперь ряд расчетных примеров для сравнительно простых геометрий.

5. Потенциал бесконечной заряженной плоскости.

Напряженность ранее была вычислена (5.11). Зная (7.8), имеем

полагая потенциал на плоскости равным нулю, получаем (рис.7.9)

6. Потенциал двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей.

Выражение для напряженности знаем (5.12). Поступая аналогично предыдущему пункту
,

сразу получаем (рис.7.10)

Оба случая достаточно экзотические. Попробуйте рассчитать все то же самое при конечных размерах, например, круглых равномерно заряженных пластин. Это не так трудно, как кажется.

7. Потенциал равномерно заряженной сферы.

Задача сферически симметрична, поэтому ясно, что . Выражение для напряженности знаем (5.13). Вне сферы

Внутри сферы поля нет, поэтому потенциал постоянен. Сшивая значения потенциала на границе (на бесконечности- 0), получаем (7.17), график на рис.7.11.

8. Потенциал равномерно заряженного шара.

Напряженность знаем (5.14). Вне шара все аналогично сфере. Внутри

Сшивая значения потенциала на границе, получаем (7.19) (на бесконечности-0). График на рис.7.12

9. Потенциал равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.

Задача имеет цилиндрическую симметрию. Напряженность знаем (5.9). Внутри цилиндра расчет аналогичен шару

В итоге получаем (считая, что

Особенно ясно видно, что смысл имеет разность потенциалов, а не сам потенциал (под оператором функции логарифма должна стоять безразмерная величина). График на рис.7.13. Согласитесь, что это очень похоже на профиль земной поверхности с рис.7.4.

rem: В случаях бесконечных распределений зарядов глупо относить нулевой потенциал на бесконечность, так как и там есть заряды. Поэтому в таких случаях лучше располагать нуль где-нибудь поближе.

10. Потенциал равномерно заряженной тонкой нити конечной длины.

Общая длина нити l=l1+l2, линейная плотность заряда t (см.рис.7.14)

Используем формулу для расчета потенциала заряженного тела (6.23)

если l1,l2>>r, т.е. нить бесконечна,

Xорошо видно, что смысл имеет не сам потенциал, а разность потенциалов

что совпадает с формулой (7.22) для наружной области цилиндра.

11. Поверхность нулевого потенциала.

В качестве примера применения принципа суперпозиции рассмотрим задачу о нахождении поверхности нулевого потенциала для двух точечных зарядов. Так как задача симметрична относительно оси, соединяющей заряды, то будем искать линию нулевого потенциала в любой плоскости, проходящей через эту ось. Тогда согласно (6.22) и рис.7.15

Данный потенциал как функция двух переменных для одинаковых по модулю разноименных зарядов показан на рис.7.16.

Очевидно, что нулю он будет равен, если
. Это возможно только для разноименных зарядов. Разрешая последнее уравнение, имеем (7.30)

С осью ОХ (y=0)эта кривая пересекается в точках

см. рис.7.17. Если теперь эту картину повернуть вокруг оси, соединяющей заряды, то получим поверхность нулевого потенциала. Попробуйте поискать эту же линию на рис.7.7.

12. Лапласиан скалярного поля.

В математической теории поля вводится следующее обозначение
(7.32)

где знак D является дифференциальным оператором второго порядка и называется оператором Лапласа.

По сути дела это его определение. Оператор не следует путать со знаком D — изменение. (Смешно, но значки абсолютно одинаковые).

13. Лапласиан в различных системах координат.

В декартовых
В цилиндрических
В сферических

14. Уравнение Пуассона.

Легко получить, используя определение лапласиана, связь между напряженностью и потенциалом и теорему Гаусса, что

Последнее равенство носит название уравнения Пуассона и связывает локальную характеристику поля – потенциал с его источниками, т.е. зарядами. Всюду, где нет зарядов, т.е. r=0, имеет место уравнение Лапласа

15. Пример на решение уравнения Пуассона.

Решим задачу о распределении потенциала внутри равномерно заряженного шара с помощью уравнения (7.37). Задача имеет сферическую симметрию, поэтому от оператора Лапласа остается только радиальный член.

Дважды интегрируя, имеем

Объемная плотность заряда очевидно равна

а постоянная С1=0, чтобы не было расходимости в центре шара. Тогда

Постоянную С2 мы пока находить не умеем, однако параболическая зависимость потенциала внутри шара получена верно (сравните с формулой 7.19 и рис.7.12).

16. Еще раз об операторах поля(математическое отступление).

Проведем некоторые математические обобщения.

Градиент — точки 1 и 2 замыкают кривую

Ротор (формула Стокса) — кривая Lохватывает поверхностьS

Дивергенция (формула Остроградского-Гаусса) — поверхность S охватывает объем V

Физики очень любят краткие обозначения каких-либо сложных понятий. Поэтому они решили обозначать оператор

где последний значок называется «набла-оператор» (оператор Гамильтона). Тогда

17. Пример из географии(или о пользе межпредметных связей).

Приведем пример из географии. На нижнем рисунке показан оцифрованный фрагмент местности где-то вблизи Верхнедырюпинска. Хорошо видна горка, с которой так удобно обозревать окрестности (точка А), и впадина, по которой в дождливую погоду течет Дырюпкин ручей (линия BCD.

По сути дела мы имеем функцию зависимости высоты от географических координат, т.е. функцию двух переменных h=h(x,y).

Теперь подвигайте скроллингом. Вы увидите карту линий равной высоты, а еще выше векторное поле градиента.

На четвертом рисунке показано сечение плоскостью EFGH.

Правда, все это похоже на то, о чем мы говорили выше?!

Как по графику потенциала построить график напряженности

Задача по физике — 6024

2018-01-11 comment
На рис. приведен график зависимости $E_(x)$ — проекции напряженности электрического поля на ось х от координаты $x$ на этой оси. Построить график зависимости потенциала $\phi(x)$ от координаты $x$.

Для нахождения связи между напряженностью и потенциалом электрического поля возьмем пробный заряд $q_$ и переместим его из точки с координатой $x_$ в точку с координатой $x_$ на расстояние $\Delta x = x_ — x_$. Силы электрического поля совершат работу

$A = F_ \Delta x = q_E_ \Delta x$.

Эта же работа выражается через приращение потенциала

$A = -q_ \Delta \phi = — q_<>( \phi_ — \phi_)$.

Приравнивая выражения для работы, найдем

$\Delta \phi = — F_ \Delta x$.

Таким образом, если $E_ > 0$, то приращения потенциала и координаты имеют разные знаки, и с ростом $x$ потенциал убывает. Это соответствует тому факту, что напряженность поля направлена от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Если $E_ 0$ имеем $E_ > 0$, и потенциал линейно убывает.

Отметим, что физический смысл имеет лишь приращение потенциала, сами же значения потенциала могут быть изменены во всех точках на одну и ту же произвольную величину. Это позволяет выбирать начало отсчета потенциала там, где нам удобно. На рис. начало отсчета потенциала ($\psi = 0$) выбрано в точке $x = 0$. Не будет ошибкой, если у Вас график будет смещен вверх или вниз относительно приведенного на рис.

Построить графики изменения напряженности электрического поля

Попытался сделать самостоятельно, но не уверен что правильно. Прошу помощи!

Лучший ответ

Ответ.

Источник: физика

Остальные ответы

Построение графика зависимости напряженности электрического поля от расстояния для тел сферической формы

Средства обучения: компьютеры, мультимедийный проектор, экран, учебник «Физика» 10класс, автор В.А.Касьянов, М.:Дрофа, 2002.

Тип урока: урок комплексного применения знаний.

Методы обучения: словесный, наглядный, исследовательский, практический.

Аннотация урока

Урок решения задач с построением графиков зависимости напряженности от расстояния проводится после изучения тем: «Принцип суперпозиции полей», «Проводники и диэлектрики в электрическом поле» с тем, чтобы можно было охватить варианты задач, содержащие в себе смешанные среды (проводники, диэлектрики). Тогда графики получаются более наглядными и легко проследить различия между величиной напряженности поля в различных средах.
Задачи на построение графиков функций нередко вызывают затруднения у учащихся ввиду большого количества обрабатываемых числовых данных. Использование компьютерных прикладных программ (Excel) упрощает построение геометрически сложных графиков и позволяет делать это с заданным интервалом изменяющейся величины. При внесении поправок в числовые данные результат оперативно отображается на мониторе, что позволяет наглядно анализировать построение. При решении разных задач результаты легко сравниваются. Использование мультимедийного проектора позволяет быстро вывести результат на экран , после чего можно приступить к коллективному обсуждению. Интеграция традиционного обучения и инновационных технологий при изучении этой темы дает устойчивый положительный результат. Урок проводится в компьютерном классе.

Использованная литература:

1. Физика в 10 классе. Модели уроков. Ю.А.Сауров. – Москва: Просвещение, 2005. – стр.183-194.
2. Физика.Задачник.9-11 кл. Гольдфарб Н.И. – Москва.:Дрофа,1998. – стр.87-88.
3. Сборник задач по общему курсу физики. Волькенштейн В.С. – Санкт-Петербург.: «Специальная литература», 1997. – стр.106.
4. Электронный учебник «Открытая физика» часть 2, под редакцией С.М.Козела.

План урока:

Этапы урока Время, мин Приемы и методы
Организационный момент 1
Актуализация знаний. Повторение. 7 Фронтальный опрос.
Постановка учебной проблемы. Решение задачи. 7 Объяснение учителя. Медиапроектор.
Формирование умений. Коллективное решение задач. 15 Работа учащихся за компьютером.
Физкультминутка для глаз. 2
Совершенствование знаний и умений. Анализ решенных задач. 10 Выступление учащихся. Оценка знаний .
Подведение итогов 3 Выделение главного. Сообщение учителя.

Ход урока:

Обсуждаются вопросы: (на экране слайды, материал которых ученики могут использовать в ответе)

1. В чем состоит принцип суперпозиции полей?
2. Как ведет себя проводник в электростатическом поле? Что можно сказать о поле внутри проводника?
3. Существует ли электрическое поле внутри диэлектрика при отсутствии внешнего поля; при наличии внешнего поля?
4. В чем различие процессов, происходящих в проводнике и диэлектрике, помещенных в электрическое поле?
5. По какой формуле можно рассчитать напряженность поля, образованного заряженным металлическим шаром?
6. Как найти напряженность поля внутри слоя диэлектрика?

Рассмотрим следующую задачу: (Выведена на экран с помощью мультимедийного проектора).

Задача 1.

Металлический заряженный шар помещен в центре толстого сферического слоя , изготовленного из металла. Начертите график зависимости напряженности поля от расстояния от центра сферы.

Обсудим решение задачи:

Как вам известно, внутри заряженного шара напряженность электрического поля равна нулю. Поэтому на участке от 0 до R график представляет собой линию, совпадающую с осью r (график «лежит» на оси).

На поверхности шара напряженность поля равна (на графике видно возрастание величины напряженности Е при r = R).

При изменении r от R до R1 и от R2 до бесконечности значение Е убывает по закону: (график-гипербола).

«Провал» графика на участке от R1 до R2 показывает убывание напряженности до нуля внутри металлического слоя.

Таким образом, на экране мы видим примерный график зависимости напряженности поля от расстояния r.

Теперь решим две задачи (по вариантам) и построим графики зависимости Е(r) с использованием компьютерной программы Excel, после чего мы сможем сравнить графики и проанализировать полученные результаты. Условия задачи вы видите на экране. При построении электронной таблицы шаг построения графика считать 5 см. (Условия задач выведены на экран с помощью мультимедийного проектора).

Задача 2 (для 1 варианта)

Металлический шар радиусом 20 см, имеющий заряд 10 нКл, помещен в центре сферического слоя внутренним радиусом 50 см и внешним радиусом 80 см, изготовленным из диэлектрика проницаемостью, равной 2. Начертите график зависимости напряженности поля от расстояния от центра сферы.

Задача 3 (для 2 варианта)

Заряд Q = 20 нКл равномерно распределен по объему шара радиусом 30 см , изготовленным из непроводящего материала с проницаемостью, равной 2,5. Шар помещен в центре толстого сферического металлического слоя толщиной 50 см. Воздушный промежуток между шаром и сферой имеет толщину 25 см. Начертите график зависимости напряженности поля от расстояния от центра сферы.

Учащиеся приступают к работе на компьютере (15 мин.)
Результаты решения задач (оба варианта) выводятся на экран (мультимедийный проектор).
В это время учащиеся выполняют расслабляющую гимнастику для глаз.

Ученики у экрана объясняют решение задачи и описывают полученный график.

Приступим к анализу полученных графиков.

1. Как зависит величина напряженности от расстояния на каждом участке графика?
2. На каких участках графики различаются и почему?
3. Чем объясняются «провалы» графиков при значении r от 0,5 до 0,8 м? Почему они имеют разный вид?
4. Какая величина в условии 2 задачи обуславливает «глубину провала»?
5. Как будет изменяться вид графиков при уменьшении (увеличении) величины электрического заряда?
6. Как будет изменяться вид графиков при с уменьшением (увеличением) геометрических размеров шара, толщины слоя?
7. Почему функция Е имеет в некоторых точках два значения?
8. Каковы особенности использования программы Excel в условиях данной задачи?
9. Почему таблица значений имеет «многоступенчатый» вид?
10. Какие затруднения вызвало у вас решение задачи?

Результат решения задачи 2, полученный учащимися 1 варианта.

r 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1
Е 0 0 0 0 0
Е 2250 1440 1000 734,69 562,5 444,44 360 140,62 124,56 111,11 99,72 90
Е 180 149 125 107 92 80 70

Результат решения задачи 3, полученный учащимися 2 варианта.

r 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1
Е 0 133,3 266,6 399,9 533,2
Е 4500 2880 2000 1469,38 1125 888,88 720 281,25 249,13 222,22 199,44 180
Е 0 0 0 0 0 0 0

Подведем итог:

Решение задач на построение графиков зависимости Е (r) позволяет наглядно представить геометрию электрического
поля и точнее описать его. Интересно также проводить виртуальные эксперименты с внесением в электрическое поле разнородных тел и наблюдать за изменением картины поля в этих случаях.

Домашнее задание

1. Ответить на вопрос: В чем наблюдается различие: проводник и диэлектрик помещены в электрическое поле и разрезаны пополам; вынесены из поля?
2. Составить и решить задачу, аналогичную решенной в классе с измененными условиями. Результат сдать учителю
в распечатанном виде.

Методические рекомендации:

1. На оси r нельзя отобразить два значения одного аргумента, график в этом случае искажается (« растягивается» по горизонтали и «ложится», см. график ниже),поэтому нужно составлять не одну таблицу, а отдельную для каждого участка графика, описываемого отдельной функцией Е(r).
2. При задании функции в таблице знаменатель нужно заключать в скобки.

r 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,8 0,85
Е 0 133,3 266,6 399,9 533,2 4500 2880 2000 1469,38 1125 888,88 720 0 0 0 0 0 0 0 281,25 249,13

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *