Что такое висячие вершины графа
Перейти к содержимому

Что такое висячие вершины графа

  • автор:

Графы — определения, деревья, хранение и поиск в глубину

Графом \(G\) называется пара множеств \(G = (V, E\) , где \(V(G)\) — непустое конечное множество элементов, называемых вершинами графа, а \(E\) — множество пар элементов из \(V\) (необязательно различных), называемых ребрами графа. \(E = \<(u , v)\ | u, v \in V\>\) — множество ребер графа \(G\) , состоящее из пар вершин \((u, v)\) . Ребро \((u, v)\) соединяет вершины \(u\) и \(v\) .

Граф — это набор вершин (точек) и соединяющих их отрезков (рёбер).

Примеры графа

Две вершины, соединенные ребром, называют смежными вершинами. Обычно в задачах \(N\) — количество вершин, а \(M\) — ребер. Количество ребер, исходящее из вершины называют степенью вершины \(d(v)\) . Для вершины \(a\) ребро \((a, b)\) называется инцидентным ей. На рисунке ниже вершине 8 инцидентно только ребро (4, 8), а вершине 10 ребра (2, 10) и (5, 10).

Теоретическое задание

Назовите степень 1-ой и 6-ой вершины и какие ребра инциденты им.

Если какие-то две вершины соединены более, чем одним ребром, то говорят, что граф содержит кратные ребра. Если ребро соединяет вершину саму с собой, то такое ребро называют петлей.

Простой граф не содержит петель и кратных ребер. Если не сказано ничего про наличие петель и кратных ребер, мы будем всегда считать, что граф простой.

Теоретическое задание

Сколько может быть рёбер в простом графе в \(N\) вершинами?

Теоретическое задание

Найдите цикл размера 4 и петлю в этом непростом графе.

Также часто рассматривают ориентированные графы — это графы, у которых ребра имеют направление, а иначе граф – неориентированный.

Хранение графа в программе

Чаще всего в задачах по программмированию вершины графа — это числа от \(0\) до \(N-1\) , чтобы удобно было обращаться к ним как к индексам в разных массивах.

Также чаще всего вам дают считать граф как просто список всех рёбер в нем (но не всегда, конечно). Как оптимально считать и сохранить граф? Есть 3 способа.

Для графа существуют несколько основных способов хранения:

Граф G и Матрица смежности

  1. Матрица смежности. Давайте хранить двумерную матрицу \(A_\) , где для данного графа G верно, что если \(A_\) = 1, то две вершины \(i\) и \(j\) являются смежными, иначе вершины \(i\) и \(j\) смежными не являются.

Мы храним для каждой из \(N\) вершин информацию, есть ли ребро в другие вершины, то есть суммарно мы храним \(N^2\) ячеек, а следовательно асимптотика по памяти — \(O(N^2)\) .

  1. Список смежности. Давайте для каждой из \(N\) вершин хранить все смежные с ней, для этого нам потребуется любая динамическая структура, например vector в с++.
// как сделать список по матрице vector > g(n); for (int i = 0; i < n; ++i)< for (int j = 0;j < n;++j)< cin >> a; if (a) g[i].push_back(j); > > // список по списку ребер cin >> n >> m; vector > g(n); for (int i = 0; i < m; ++i)< cin >> v1 >> v2; g[v1].push_back(v2); g[v2].push_back(v1); >

Здесь асимптотика по памяти и времени считывания — \(O(N + M)\) , так как мы храним для каждой вершины, куда есть ребра, то есть \(2 M\) ребер, а также суммарно \(N\) векторов.

Плотные графы, имеющие большое количество ребер следует хранить при помощи матрицы смежности, а разреженные графы, имеющие малое количество ребер, оптимальнее при помощи списка.

  1. Список рёбер. Иногда граф явно вообще не требуется, а хватает хранить просто список ребер, который нам дают на вход.

Заметьте, что все эти способы обощаются на случай ориентированных графов — при этом матрица смежности становится неориетированной: если есть ребро из вершины \(i\) в вершину \(j\) , то сделаем \(A_ = 1\) , а \(A_ = 0\) , если только нет обратного ребра тоже. А в списке смежности в ориентированном случае при считывании ребра \((u, v)\) будем добавлять только \(v\) в список соседей \(u\) , но не наоборот.

Практическое задание

Для окончательного закрепления темы советую решить первые 2 задачи.

Деревья

Дерево — это связный неориентированный граф без циклов.

  1. У дерева с хотя бы 2 вершинами всегда есть висячая вершина — вершина степени 1.

Действительно, если начать из любой вершины идти по непосещенным ранее вершинам, то в какой-то момент мы прекратим это делать, ведь граф конечный. При этом если из этой вершины не может быть ребер в непосещенные вершины — ведь тогда прекращать рано, и не может быть ребер в посещенные ребра (помимо предыдущей) — ведь тогда есть цикл. А значит, есть ребро только в предыдущую вершину, значит степень равна 1.

  1. У дерева с хотя бы 2 вершинами всегда есть две висячие вершины.

Действительно, если предыдущий алгоритм начать из висячей вершины, то мы уткнемся в другую висячую вершину.

  1. У дерева с \(N\) вершинами всегда ровно \(N-1\) ребро.

Давайте отрезать от дерева его висячие вершины — при этом число вершин уменьшится на один, число ребер тоже уменьшится на один, а граф останется деревом. Раз граф остается деревом, у него все время будет висячая вершина, пока \(N > 1\) . В какой-то момент останется только одна вершина и ноль ребер. Раз мы отрезали столько же вершин, сколько ребер, и получили 1 вершину и 0 ребер, значит изначально вершин было ровно на одну больше.

  1. Между любыми двумя вершинами в дереве есть ровно один простой путь.

Действительно, если их два, то в графе есть цикл. Быть ноль их не может — ведь граф связный.

  1. Дерево — это минимальный по числу рёбер связный граф на \(N\) вершинах.

Действительно, если есть связный граф, в котором меньше, чем \(N-1\) ребро, то давайте уберем из его цикла ребро. Граф при этом остается связным, а число ребер уменьшается. Давайте повторять это, пока в какой-то момент циклов в графе не будет, а значит осталось дерево. Но мы уже доказали, что в дереве \(N-1\) ребро, это противоречие, ведь у нас сначала было меньше ребер, а мы еще и удалили сколько-то.

DFS (Алгоритм обхода графа в глубину)

Обход в глубину — простой, но многофункциональный алгоритм обхода графа по ребрам. Самое главное, что он может — это проверить, какие вершины достижимы из данной.

При обходе графа мы используем вспомогательный массив used, в котором храним 1, если вершина была посещена или 0 иначе. В начале мы считаем, что все вершины не использовались, затем мы выбираем одну вершину, помечаем ее посещенной и запускаемся рекурсивно из всех ее соседей, тогда мы посетим все вершины, которые достижимы из данной, если же остались вершины с used = 0 значит они недостижимы.

Красивая визуализация: https://visualgo.net/en/dfsbfs

void dfs (int v) < used[v] = 1; for (auto to : g[v]) < if (!used[to]) < dfs(to); >> >

Давайте оценим сложность алгоритма. Так как мы проверяем, что вершина еще не использовалась, то всего мы пройдет каждую вершину 1 раз, но при этом и ребро между двумя вершинами, мы рассматриваем только когда рассматривается один конец, то есть мы просмотрим каждое ребро не более одного раза, суммарно получаем оценку \(O(N + M)\) .

Практическое задание

Задачи 3-5 в контесте.

Поиск компонент связности графа

Путем в графе называется последовательность вершин \(v_i \in ��\) , \(i = 1. k\) таких, что две последовательные вершины в пути соединены ребром, \(k\) — длина пути. Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь между ними. Граф всегда можно разбить на непересекающиеся связные подмножества (возможно одно), между которыми рёбер нет, они называются компонентами связности.

Поиск в глубину dfs будет обходить ту компоненту связности, из вершины которой, он был вызван. Поэтому для поиска компонент связности можно каждый раз вызываться из любой непосещенной вершины и тогда в результате мы посетим все вершины, а следовательно и найдем все компоненты связности.

for (int i = 0; i < n; ++i)< if (!used[i]) < amount++; dfs(i); >>

Практическое задание

На данную тему задачи 6 и 10 в контесте.

Остовное дерево

Остованым деревом в связном графе называется любое подмножество ребер, которое является деревом на всех вершинах. То есть любой способ выкинуть несколько ребер так, чтобы осталось дерево на N вершинах и N-1 ребро выделяет в графе остовное дерево.

Обход графа удобно использовать для выделения этого остовного дерева — если выделить каждое ребро, по которому мы прошли в обходе, то получится остовное дерево. Действительно, мы обойдем все вершины, и при этом никогда не пойдем в вершину, в которой уже были, поэтому циклов там не будет. Так что достаточно после прохода по любому ребру добавлять его в ответ.

Практическое задание

7 задача в контесте на выделение остовного дерева в графе.

Раскраска графа в два цвета

Корректной раскраской графа в два цвета назывется такая раскраска, что никакое ребро не соединяет две вершины одного цвета. Графы, которые можно так раскрасить, называют еще двудольными.

С помощью обхода графа легко проверить граф на двудольность и даже вывести цвет каждой вершины — достаточно выделить каждую.

Практическое задание

8 задача в контесте на раскраску графа в два цвета

Поиск циклов в графе

Циклом в графе \(G\) называется ненулевой путь, ведущий из вершины \(v\) в саму себя. Граф называют ацикличным, если в нем нет циклов.

В обычном dfs мы используем два цвета (1 — вершина посещена, 0 — не посещена), если же нам надо найти цикл, то давайте хранить 3 цвета:

  • 0 — вершина не просмотрена
  • 1 — мы входили DFS-ом в эту вершину, но еще не вышли (а значит из нее есть путь до текущей),
  • 2 — мы входили DFS-ом в эту вершину

Заметим, что цикл будет тогда и только тогда, когда мы пытаемся войти в вершину с цветом 1.

void dfs (int v) < used[v] = 1; for (size_t i=0; i < g[v].size(); ++i) < int to = g[v][i]; if (used[to] == 0)< p[to] = v; dfs (to); >else if (used[to] == 1 && to != p[v]) < cycle = true; >> used[v] = 2; >

В неориентированном графе также надо дополнительно рассмотреть случай, когда мы идем в предка — это циклом все-таки не считается, для этого нужно отдельно добавить второй аргумент prev, где хранить предыдущую вершину в dfs, и никогда не идти в неё.

Практическое задание

9 задача в контесте на поиск цикла в графе.

Основные понятия теории графов

Графом $G$ называется пара множеств $G = (V, E$, где $V(G)$ — непустое конечное множество элементов, называемых вершинами графа, а $E$ — множество пар элементов из $V$ (необязательно различных), называемых ребрами графа. $E = \<(u , v)\ | u, v \in V\>$ — множество ребер графа $G$, состоящее из пар вершин $(u, v)$. Ребро $(u, v)$ соединяет вершины $u$ и $v$.

Граф — это набор вершин (точек) и соединяющих их отрезков (рёбер).

Две вершины, соединенные ребром, называют смежными вершинами. Обычно в задачах $N$ — количество вершин, а $M$ — ребер. Количество ребер, исходящее из вершины называют степенью вершины $d(v)$. Для вершины $a$ ребро $(a, b)$ называется инцидентным ей. На рисунке ниже вершине 8 инцидентно только ребро (4, 8), а вершине 10 ребра (2, 10) и (5, 10).

Если какие-то две вершины соединены более, чем одним ребром, то говорят, что граф содержит кратные ребра. Если ребро соединяет вершину саму с собой, то такое ребро называют петлей.

Простой граф не содержит петель и кратных ребер. Если не сказано ничего про наличие петель и кратных ребер, мы будем всегда считать, что граф простой.

Также часто рассматривают ориентированные графы — это графы, у которых ребра имеют направление, а иначе граф – неориентированный.

Дерево — это связный неориентированный граф без циклов.

1) У дерева с хотя бы 2 вершинами всегда есть висячая вершина — вершина степени 1.

Действительно, если начать из любой вершины идти по непосещенным ранее вершинам, то в какой-то момент мы прекратим это делать, ведь граф конечный. При этом если из этой вершины не может быть ребер в непосещенные вершины — ведь тогда прекращать рано, и не может быть ребер в посещенные ребра (помимо предыдущей) — ведь тогда есть цикл. А значит, есть ребро только в предыдущую вершину, значит степень равна 1.

2) У дерева с хотя бы 2 вершинами всегда есть две висячие вершины.

Действительно, если предыдущий алгоритм начать из висячей вершины, то мы уткнемся в другую висячую вершину.

3) У дерева с $N$ вершинами всегда ровно $N-1$ ребро.

Давайте отрезать от дерева его висячие вершины — при этом число вершин уменьшится на один, число ребер тоже уменьшится на один, а граф останется деревом. Раз граф остается деревом, у него все время будет висячая вершина, пока $N > 1$. В какой-то момент останется только одна вершина и ноль ребер. Раз мы отрезали столько же вершин, сколько ребер, и получили 1 вершину и 0 ребер, значит изначально вершин было ровно на одну больше.

4) Между любыми двумя вершинами в дереве есть ровно один простой путь.

Действительно, если их два, то в графе есть цикл. Быть ноль их не может — ведь граф связный.

5) Дерево — это минимальный по числу рёбер связный граф на $N$ вершинах.

Действительно, если есть связный граф, в котором меньше, чем $N-1$ ребро, то давайте уберем из его цикла ребро. Граф при этом остается связным, а число ребер уменьшается. Давайте повторять это, пока в какой-то момент циклов в графе не будет, а значит осталось дерево. Но мы уже доказали, что в дереве $N-1$ ребро, это противоречие, ведь у нас сначала было меньше ребер, а мы еще и удалили сколько-то.

Автор конспекта: Глеб Лобанов

По всем вопросам пишите в telegram @glebodin

Что такое висячие вершины графа

1. Помните, что название темы должно хоть как-то отражать ее содержимое (не создавайте темы с заголовком ПОМОГИТЕ, HELP и т.д.). Злоупотребление заглавными буквами в заголовках тем ЗАПРЕЩЕНО.
2. При создании темы постарайтесь, как можно более точно описать проблему, а не ограничиваться общими понятиями и определениями.
3. Приводимые фрагменты исходного кода старайтесь выделять тегами code. /code
4. Помните, чем подробнее Вы опишете свою проблему, тем быстрее получите вразумительный совет
5. Запрещено поднимать неактуальные темы (ПРИМЕР: запрещено отвечать на вопрос из серии «срочно надо», заданный в 2003 году)
6. И не забывайте о кнопочках TRANSLIT и РУССКАЯ КЛАВИАТУРА, если не можете писать в русской раскладке

Модераторы: Akina, shadeofgray
‘> Удалить висячие вершины из графа , Возможно ли это сделать за линейное время?

  • Подписаться на тему
  • Сообщить другу
  • Скачать/распечатать тему

Сообщ. #1 , 17.12.07, 08:39

Senior Member
Рейтинг (т): 61

Дано: Граф — неориентированный без петель и мультиребер.
Необходимо: Удалить из графа все вершины, которые не принадлежат хотя бы одному циклу графа. Другими словами надо из графа удалить висячие вершины (степень смежности которых равен 1), а также вершины которые стали висячими после удаления других вершин и т.д.

Можно ли решить задачу за O(n) или близко к этому? Если рассмотреть крайние случаи.
Пусть в исходном графе нет вершин степень смежности которых, равна 1. Тем самым из графа невозможно удалить хотя бы одну вершину. Установить этот факт за O(n) легко.
Пусть исходный граф дерево. Тем самым результирующий граф будет пустым. Установить факт, что исходный граф дерево, за O(n) легко.

Сообщ. #2 , 17.12.07, 09:39
Рейтинг (т): 318

Полагаю, под O(n) подразумевается O(V+E), как обычно для графов.
Тогда с помошью модифицированного DFS (есть у Седжвика) ищутся мосты, мосты удаляются, затем удаляются вершины с нулевой смежностью

Добавлено 17.12.07, 09:44
Дополнение: этот метод удалит, например, и вершины на мостике из нескольких вершин, который соединяет два цикла. Они не принадлежат циклам, но вроде как и не висячие. Если такие удалять не надо, то придется из вершин единичной смежности идти по мостикам.

Сообщ. #3 , 17.12.07, 11:26

Senior Member
Рейтинг (т): 61
Цитата MBo @ 17.12.07, 09:39
этот метод удалит, например, и вершины на мостике из нескольких вершин, который соединяет два цикла.

Блин про мосты я не подумал. Мосты которые соединяют два цикла надо оставлять.
Получается так: Необходимо из графа удалить висячие вершины (степень смежности которых равна 1), а также вершины которые стали висячими после удаления других вершин и т.д.

Цитата MBo @ 17.12.07, 09:39
под O(n) подразумевается O(V+E), как обычно для графов.

Под n я понимал количество вершин графа. То есть нужен алгоритм где не нужно пробегать по всем ребрам графа, если их много (больше O(n)).

Еще небольшое замечание. Пока (для простоты) затраты на создание начальной структуры данных графа считать не будем. При условии, что процедура удаления вершины из графа (необходимая при работе алгоритма) будет сохранять эту структуру.

Сообщ. #4 , 17.12.07, 11:30
Рейтинг (т): 160
Если не просматривать ребра — то нельзя узнать вообще ничего о том какие вершины висячие.
Сообщ. #5 , 17.12.07, 11:45

Senior Member
Рейтинг (т): 61

HOMO_PROGRAMMATIS
Приблизительный алгоритм:

1) i=1
2) Если vi уже проверялась, то идем к пункту 4)
3) Если vi висячая, т.е. смежна одной вершине vj тогда удаляем vi из графа и рекурсивно выполняем процедуру проверки вершины vj
4) i=i+1 и идем к 2)

Оценить сложность и роботоспособность алгоритма затрудняюсь, но то что алгоритм просматривает не все ребра это точно.

Сообщение отредактировано: Pavlovsky — 17.12.07, 11:46
Сообщ. #6 , 17.12.07, 13:07
Рейтинг (т): 318
как хранится граф — списки смежности?
Сообщ. #7 , 17.12.07, 13:16

Senior Member
Рейтинг (т): 61
Цитата MBo @ 17.12.07, 13:07
как хранится граф — списки смежности?

Начальная структура данных где хранится исходный граф, а в конце будет храниться результирующий граф. Может быть любой, какую пожелает разработчик, лишь бы:

Цитата Pavlovsky @ 17.12.07, 11:26

Еще небольшое замечание. Пока (для простоты) затраты на создание начальной структуры данных графа считать не будем. При условии, что процедура удаления вершины из графа (необходимая при работе алгоритма) будет сохранять эту структуру.

ИМХО. Точно не матрица смежности — определить является ли вершина висячей за константу будет невозможно. Списки смежности вершин тоже не годятся — удалить вершину из графа за константу не сможем. У меня получается для каждой вершины надо хранить список инцедентных ребер. Тогда вроде и определение является ли вершина висячей и удаление вершины из графа, можно сделать за константу.

Сообщ. #8 , 17.12.07, 14:14
Рейтинг (т): 160

Pavlovsky, ваша правда. Действительно, я не подумал что достаточно знать что число ребер у данной вершины больше 1 и все, больше ничего не интересно.

дальше идет укороченный текст нескольких постов

Приведенный вами алгоритм рабочий.
Доказательство: все что не цикл это либо дерево, либо мост, либо изолированная вершина.
1) Вершины без ребер удаляются немедленно
2) Вершины циклов не будут удалены
3) Вершины мостов не будут удалены, атк как они имеют связь хотя бы с двумя циклами а значит не висят
4) Остальные вершины (дочерние вершины деревьев) будут удалены. Достаточно очевидно, что в дереве все дочерние вершины становятся висящими после чистки.

Его сложность равна O(N)
Нужно не более 2 проверок для обработки одной вершины.
Доказательство:
1) Каждая изолированная вершина делает 1 проверку самой себя и умирает.
2) Каждая другая вершина, которая в итоге была удалена делает 2 проверки — себя самой и родительской вершины (это очень важный момент — мы считаем, что родительская вершина не проверяет себя сама каждый раз когда отваливается ребенок, это ребенок ее проверяет)
3) Каждая вершина, которая в итоге не была удалена делает 1 (или 0 если ее уже проверили при удалении потомка) проверку самой себя.

Сообщение отредактировано: HOMO_PROGRAMMATIS — 17.12.07, 15:07
Сообщ. #9 , 17.12.07, 17:39

Senior Member
Рейтинг (т): 61

HOMO_PROGRAMMATIS
У меня получились приблизительно такие же результаты (может не так четко сформулированные).
Теперь осталась еще одна проблема. Надо придумать структуру данных для хранения графа, такую чтоб удаление вершины выполнялось за константу. Если граф хранить в простых списках смежностей вершин и пусть нам надо удалить висячую вершину vi вместе с единственным ребром (vi,vj). Тогда удаление вершины vi из списка вершины vj за константу не получается.

Висячие вершины в теории графов: определение, свойства и примеры решения задач

В данной статье мы рассмотрим понятие висячей вершины в теории графов, изучим их свойства и способы их поиска, а также решим несколько задач на данную тему.

Висячие вершины в теории графов: определение, свойства и примеры решения задач обновлено: 14 ноября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Помощь в написании работы

Введение

Добро пожаловать на лекцию по Теории графов! В этой статье я буду объяснять вам основные понятия и свойства висячих вершин в графах. Висячие вершины – это одна из важных концепций в теории графов, которая поможет вам лучше понять структуру и связи в графе. Мы рассмотрим определение висячей вершины, ее свойства, а также способы нахождения количества висячих вершин в графе. Кроме того, я приведу несколько примеров решения задач на поиск висячих вершин. Давайте начнем и углубимся в мир Теории графов!

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Определение висячей вершины

В теории графов, висячая вершина – это вершина, которая имеет только одно ребро, связывающее ее с другой вершиной. Другими словами, висячая вершина не имеет исходящих ребер, но может иметь входящие ребра.

Визуально, висячая вершина представляет собой “конечную” вершину, которая не связана с другими вершинами, кроме одной.

Свойства висячих вершин

Висячие вершины обладают несколькими свойствами, которые помогают нам понять их роль и значение в графе:

Уникальность

В графе может быть несколько висячих вершин, но каждая из них будет уникальной. Это означает, что нет двух висячих вершин, которые имеют одно и то же ребро, связывающее их с другими вершинами.

Конечность

Висячая вершина является “конечной” вершиной, то есть она не имеет исходящих ребер. Это означает, что она не может быть началом пути или цикла в графе.

Важность

Висячие вершины могут иметь важное значение в графе. Например, они могут представлять конечные точки или конечные состояния в системе. Они также могут быть связаны с определенными условиями или событиями, которые происходят в графе.

Влияние на связность графа

Удаление висячих вершин из графа может изменить его связность. Если висячая вершина была единственной связью между двумя другими вершинами, то после ее удаления эти две вершины могут стать несвязанными.

В целом, висячие вершины являются важными элементами графа, которые могут влиять на его структуру и связность.

Как найти количество висячих вершин в графе

Для того чтобы найти количество висячих вершин в графе, нужно выполнить следующие шаги:

  1. Проанализировать каждую вершину графа.
  2. Для каждой вершины проверить, сколько ребер выходит из нее.
  3. Если количество выходящих ребер равно 0, то данная вершина является висячей.
  4. Подсчитать количество висячих вершин.

Рассмотрим граф с вершинами A, B, C, D и ребрами AB, AC, BD.

Для вершины A количество выходящих ребер равно 2 (AB, AC), поэтому она не является висячей.

Для вершины B количество выходящих ребер равно 1 (BD), поэтому она является висячей.

Для вершины C количество выходящих ребер равно 1 (AC), поэтому она является висячей.

Для вершины D количество выходящих ребер равно 0, поэтому она является висячей.

Таким образом, в данном графе есть 3 висячие вершины (B, C, D).

Таблица свойств висячих вершин

Свойство Описание
Висячая вершина Вершина графа, которая имеет только одну связь с другими вершинами
Степень висячей вершины Количество ребер, связанных с висячей вершиной
Количество висячих вершин в графе Сумма степеней всех висячих вершин в графе
Пример задачи на поиск висячих вершин Дан граф с вершинами и ребрами. Найти все висячие вершины в графе

Заключение

Висячая вершина в графе – это вершина, которая имеет только одну связь с другими вершинами. Она не соединена ни с одной другой вершиной, кроме одной. Висячие вершины могут быть полезны при анализе графов и решении задач, так как они представляют собой конечные точки или “листья” графа. Количество висячих вершин в графе можно найти, подсчитав вершины, у которых степень равна 1. Понимание висячих вершин и их свойств поможет вам лучше понять и анализировать графы в теории графов.

Висячие вершины в теории графов: определение, свойства и примеры решения задач обновлено: 14 ноября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *