Почему корень из 2 иррациональное число
Перейти к содержимому

Почему корень из 2 иррациональное число

  • автор:

Иррациональность корня

Теорема о свойстве рационального числа — аналитическое доказательство

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Доказательство — от противного. Пусть существует рациональное число X, такое что X 2 = 2. Рациональное число X равно некоторой несократимой дроби X = a / b . Раз X 2 = 2 , значит a² / = 2. Перенесём b² в правую часть в числитель. Получилось, что а² чётное, а значит, само число a — тоже чётное. Запишем: a = 2 × m. Возведём в квадрат, и выходит, что a² = 4 × m². Поставим 4 × m² вместо a² в полученное прежде равенство: получилось 4 × m² = 2 × b² . Сократим на 2 и получим 2 × m² = b² теперь выходит, что b² чётное, то есть и само b — тоже чётное. Запишем b = 2 × n. Получилось, что нашу предположительно несократимую дробь a / b = 2 × m / 2 × n — можно сократить на 2. Раз получилось, что несократимая дробь сократима, значит, предположение о существовании дроби оказалось неверно. И число X не представляется в виде дроби, то есть не является рациональным. ЧТД.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух данных чисел заключается в том, чтоб делить большее число на меньшее, а затем делить меньшее на остаток. Так повторяют, пока в остатке не получится 0, и тогда остаток, получившийся на предыдущем шаге — это и будет НОД.

Алгоритм Евклида — геометрическое изложение

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя. Даны два отрезка :

отрезки:
150 см
96 см
И надо найти наибольший отрезок, которому кратны оба данных отрезка. Алгоритм Евклида — это большее делим на меньшее, а потом меньшее на остаток. Сначала больший отрезок делим на меньший. Замеряю меньший отрезок и откладываю меньший на большем — получается один целый кусочек и остаток:

150 / 96 = 1 ост 54
отрезки:
150 см = 96 см + 54 см
96 см

Замеряю остаток и откладываю на меньшем отрезке. Получается опять один целый кусочек и остаток.

96 / 54 = 1 ост 42
отрезки:
150 см = 96 см + 54 см
96 см = 54 см + 42 см

Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается опять один целый кусочек и остаток.

54 / 42 = 1 ост 12
отрезки:
150 см = 96 см + 42 см + 12 см
96 см = 54 см + 42 см

Замеряю остаток и откладываю на предыдушем остатке. Получается три целых кусочка и остаток.

42 / 12 = 3 ост 6
отрезки:
150 см = 96 см + 42 см + 12 см
96 см = 54 см + 12 см + 12 см + 12 см + 6 см

Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается ровно два целых кусочка.

12 / 6 = 2
Этот целый кусочек 6 и есть НОД. И вот почему: предыдущий остаток содержит два целых кусочка, а каждый предыдущий остаток укладывается в предпредыдущем целое число раз, то есть и предпредыдущий остаток и остаток до него и изначальное целое — все делятся на наш последний кусочек нацело.

отрезки:
150 см = 16 × 6 см + 7 × 6 см + 2 × 6 см
96 см = 9 × 6 см + 2 × 6 см + 2 × 6 см + 2 × 6 см + 6 см

Даны два отрезка — и надо найти наибольший отрезок, которому кратны оба данных отрезка. Алгоритм Евклида — это большее делим на меньшее, а потом меньшее на остаток. Сначала больший отрезок делим на меньший. Замеряю меньший отрезок и откладываю меньший на большем — получается один целый кусочек и остаток. 150 / 96 = 1 ост 54 Замеряю остаток и откладываю на меньшем отрезке. Получается опять один целый кусочек и остаток. 96 / 54 = 1 ост 42 Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается опять один целый кусочек и остаток. 54 / 42 = 1 ост 12 Замеряю остаток и откладываю на предыдушем остатке. Получается три целых кусочка и остаток. 42 / 12 = 3 ост 6 Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается ровно два целых кусочка. 12 / 6 = 2 Этот целый кусочек 6 и есть НОД. И вот почему: предыдущий остаток содержит два целых кусочка, а каждый предыдущий остаток укладывается в предпредыдущем целое число раз, то есть и предпредыдущий остаток и остаток до него и изначальное целое — все делятся на наш последний кусочек нацело.

Теорема о свойстве рационального числа — геометрическое доказательство. Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной.

Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение выражается иррациональным числом. Вот наш квадрат, вот его сторона (помечена кружком), вот диагональ. Если бы отношение диагонали к стороне было рациональным числом, и диагональ к стороне относилась бы как сколько-то единиц к скольки-то единицам, то найти эту единицу можно было бы с помощью алгоритма Евклида. Вот мы и поищем единицу. Разделим большее (диагональ) на меньшее (сторону). Получается 1, и остаток помечен двойным штрихом. Из начала остатка восставим перпендикуляр к диагонали. Получились ТРИ равнобедренных треугольника. 1) треугольник с равными сторонами-кружками (У его основания — равные углы, помеченные кружками). 2) прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине и половинами прямого угла при основании. 3) треугольник с равными углами (с двойной дужкой) при основании. Углы с двойной дужкой равны, потому что оба они — это разность между прямым углом и углом с кружком (здесь прямой угол минус уголс кружком — это угол с двойной дужкой и здесь так же прямой угол минус угол с кружком — это угол с двойной дужкой). Из равнобедренности треугольников следует равенство ЭТИХ отрезков и ЭТИХ отрезков. Теперь будем меньшее (сторону) делить на остаток (с двойным штрихом). У нас получится 2. Но маленький равнобедренный прямоугольный треугольник подобен исходному равнобедренному прямоугольному треугольнику. Следовательно второй шаг алгоритма — это уменьшенное подобие первого шага. А значит и третий шаг будет уменьшенным подобием второго и т. д. Такой процесс можно продолжать до бесконечности, а для успешного нахождения единицы у алгоритма должно быть конечное число шагов. Значит единицы не существует, и отношение диагонали квадрата к его стороне не является рациональным числом.

Доказать что число кубический корень из 2 — иррациональное

вот что квадратный корень из 2х -иррациональное число это легко доказывается. а с этим проблема, помогите пожалуйста!

Лучший ответ

Пусть x = m / n — несократимая
m^3 = 2n^3
Отсюда m^3 четное, значит m=2p — четное

8p^3 = 2n^3
4p^3 = n^3
Аналогично n четное.
Значит m / n сократимо на два.
Противоречие.

toochaМастер (2091) 13 лет назад
мм) большое спасибо) поняла:)
Остальные ответы
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Доказательство иррациональности суммы корней

Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 09:54

1)Можно доказать, что сумма двух корней (квадратных) — все иррациональное число. (Ситуация когда от корня можно избавиться не считается).
От противного. Предположим, что это иррациональное число.
$\sqrt<x>+\sqrt=r$» /><br /><img decoding=
$\sqrt=r_2$

2)Аналогично для трех корней:
$\sqrt<x>+ \sqrt + \sqrt = r$» /><br /> <img decoding=

Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 10:48

Заслуженный участник

Только вчера разбирали подобное. В случае нескольких корней из взаимнопростых чисел возводим выражение в квадрат несколько раз. При этом с помощью линейных комбинаций избавляемся поочерёдно по одному корню, пока не останется ровно один. И всё. Слева рациональное число, справа корень из неквадрата.

Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 10:52

Заслуженный участник

gris в сообщении #456412 писал(а):

При этом с помощью линейных комбинаций избавляемся поочерёдно по одному корню, пока не останется ровно один. И всё.

А вдруг при избавлении всегда будет оставаться больше трёх корней или ни одного?
Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 10:59

Заслуженный участник

Согласен. Я привёл только идею, метод уменьшения числа корней. А вот всегда ли он сработает и можно ли из множества линейных комбинаций подобрать такие, у которых ранг матрицы. ну и так далее.
Ну так далеко я не могу задумываться

Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 11:27

Заслуженный участник

Andrey173 в сообщении #456403 писал(а):

Но если корней больше трех, то возведение в квадрат не избавляет от них. Можно это как-то доказать не прибегая к высшей математики? Вообще верно, ли это утверждение?

По поводу элементарного доказательства см. статью в «Кванте», опубликованную ещё в начале 70-х годов. Если немного знать теорию конечных алгебраических расширений, то всё упрощается, хотя рассуждение по индукции остаётся. Для квадратных радикалов можно привлечь и теорию Галуа, но это уже роскошь.

Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 13:42

Заслуженный участник

И в самом деле, как «по-школьному» доказать иррациональность числа $x=\sqrt<2>+\sqrt+\sqrt+\sqrt$» />? Вручную разворачивать произведение 16-и скобок и затем доказывать отсутствие рациональных корней у получившегося довольно жуткого многочлена 16-й степени было бы безумием. Попробуем всё-таки повозводить в квадрат. Положим <img decoding=, $a_2=3$, $a_3=5$, $a_4=7$и пусть
$ \begin f_0=\sqrt+\sqrt+\sqrt,\\ f_1=\sqrt+\sqrt+\sqrt,\\ f_2=a_2\sqrt+a_3\sqrt+a_1\sqrt,\\ f_3=a_1a_2a_3f_1. \end $
Заметим, что
$ \begin f_0^2=a_1+a_2+a_3+2f_1=10+2f_1,\\ f_1^2=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1+2f_2=31+2f_2,\\ f_2^2=a_2^2a_3a_1+a_3^2a_1a_2+a_1^2a_2a_3+2f_3=300+2f_3. \end $
Предположим теперь, что $x=f_0+\sqrt\in \mathbb$. Имеем
$ f_0=g_0(x)+h_0(x)\sqrt, $
где $g_0(x)=-x$, $h_0(x)=1$. Возводя в квадрат и упрощая, получим
$ f_1=g_1(x)+h_1(x)\sqrt, $
где $g_1(x)=(x^2-3)/2$, $h_1(x)=-x$. Аналогичным образом приходим к равенствам
$ f_2=g_2(x)+h_2(x)\sqrt, \quad f_3=g_3(x)+h_3(x)\sqrt, $
где $g_2(x)=(x^4+22x^2-115)/8$, $h_2(x)=(-x^3+3x)/2$и $h_3(x)=g_2(x)h_2(x)$. Поскольку $f_3=30f_1$, то, в частности, должно быть
$ h_3(x)=30h_1(x). $
После сокращения на $x$получается довольно скромное уравнение $x^6+19x^4-181x^2-135=0$, которое легко и вручную исследуется на предмет наличия рациональных корней.

Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]
Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

доказать , что число иррациональное. корень из 2+ корень из 3

докажем от противного, пусть
2^1/2+3^1/2=m/n
m, n — целые
2+2*6^1/2+3=(m/n)^2
2*6^1/2=(m/n)^2-5
слева- иррациональное
справа- рациональное
противоречие.

Остальные ответы

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *