Сколько корней имеет уравнение х2 2х 3
Перейти к содержимому

Сколько корней имеет уравнение х2 2х 3

  • автор:

Уравнения с параметрами:графический метод решения

В статье рассматривается графический метод решения некоторых уравнений с параметрами, который весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a.

Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a. График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

Из чертежа видно, что:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x1,2 = д 2).
Если 0 < a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.
Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.

Задача 2. Сколько корней имеет уравнение | x 2 – 2| x | – 3 | = a в зависимости от параметра a?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | x 2 – 2| x | – 3 | и y = a.

График функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная Ox или с ней совпадающая (когда a = 0).

Из чертежа видно:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | x2 – 2| x | – 3 | две общие точки, а также прямая y = a будет иметь с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | две общие точки при a > 4. Значит, при a = 0 и a > 4 исходное уравнение имеет два корня.
Если 0 < a < 3, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | четыре общие точки, а также прямая y=a будет иметь с графиком построенной функции четыре общие точки при a = 4. Значит, при 0 < a < 3, a = 4 исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 3, то прямая y = a пересекает график функции в пяти точках; следовательно, уравнение имеет пять корней.
Если 3 < a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Если a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

Задача 3. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Решение. Построим в системе координат (x; y) график функции но сначала представим ее в виде:

Прямые x = 1, y = 1 являются асимптотами графика функции. График функции y = | x | + a получается из графика функции y = | x | смещением на a единиц по оси Oy.

Графики функций пересекаются в одной точке при a > – 1; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет одно решение.

Замечание. При решении уравнения (1) задачи 3 особо следует обратить внимание на случай, когда a = – 2, так как точка (– 1; – 1) не принадлежит графику функции но принадлежит графику функции y = | x | + a.

Перейдем к решению другой задачи.

Задача 4. Сколько корней имеет уравнение

x + 2 = a | x – 1 | (2)

в зависимости от параметра a?

Решение. Заметим, что x = 1 не является корнем данного уравнения, так как равенство 3 = a · 0 не может быть верным ни при каком значении параметра a. Разделим обе части уравнения на | x – 1 |(| x – 1 | № 0), тогда уравнение (2) примет вид В системе координат xOy построим график функции

График этой функции изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

Далее рассуждая так же, как и в задаче 3, получаем ответ.

если a Ј – 1, то корней нет;
если – 1 < a Ј 1, то один корень;
если a > 1, то два корня.

Рассмотрим наиболее сложное уравнение.

Задача 5. При каких значениях параметра a уравнение

ax 2 + | x – 1 | = 0 (3)

имеет три решения?

Решение. 1. Контрольным значением параметра для данного уравнения будет число a = 0, при котором уравнение (3) примет вид 0 + | x – 1 | = 0, откуда x = 1. Следовательно, при a = 0 уравнение (3) имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

2. Рассмотрим случай, когда a № 0.

Перепишем уравнение (3) в следующем виде: ax 2 = – | x – 1 |. Заметим, что уравнение будет иметь решения только при a < 0.

В системе координат xOy построим графики функций y = | x – 1 | и y = ax 2 . График функции y = | x – 1 | изображен на рисунке. Графиком функции y = ax 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a < 0. Вершина параболы — точка (0; 0).

Уравнение (3) будет иметь три решения только тогда, когда прямая y = – x + 1 будет касательной к графику функции y=ax 2 .

Пусть x0 — абсцисса точки касания прямой y = – x + 1 с параболой y = ax 2 . Уравнение касательной имеет вид

Запишем условия касания:

Данное уравнение можно решить без использования понятия производной.

Рассмотрим другой способ. Воспользуемся тем, что если прямая y = kx + b имеет единственную общую точку с параболой y = ax 2 + px + q, то уравнение ax 2 + px + q = kx + b должно иметь единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю. В нашем случае имеем уравнение ax 2 = – x + 1 (a № 0). Дискриминант уравнения

Задачи для самостоятельного решения

6. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a?

1) | | x | – 3 | = a;
2) | x + 1 | + | x + 2 | = a;
3) | x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4) | x 2 – 6| x | + 5 | = a.

7. Сколько корней имеет уравнение | x + 1 | = a(x – 1) в зависимости от параметра a?

Указание. Так как x = 1 не является корнем уравнения, то данное уравнение можно привести к виду .

Ответ: если a Ј –1, a > 1, a=0, то один корень; если – 1a<0, то два корня; если 0a Ј 1, то корней нет.

8. Сколько корней имеет уравнение x + 1 = a | x – 1 |в зависимости от параметра a?

Указание. Привести уравнение к виду Построить график (см. рисунок).

Ответ: если a Ј –1, то корней нет; если – 1a Ј 1, то один корень; если a>1, то два корня.

9. Сколько корней имеет уравнение

2| x | – 1 = a(x – 1)

в зависимости от параметра a?

Указание. Привести уравнение к виду

10. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения.

Ответ: если a Ј 0, a і 2, то один корень; если 0a

11. При каких значениях параметра a уравнение

x 2 + a | x – 2 | = 0

имеет три решения?

Указание. Привести уравнение к виду x 2 = – a | x – 2 |.

Ответ: при a Ј –8.

12. При каких значениях параметра a уравнение

ax 2 + | x + 1 | = 0

имеет три решения?

Указание. Воспользоваться задачей 5. Данное уравнение имеет три решения только в том случае, когда уравнение ax 2 + x + 1 = 0 имеет одно решение, причем случай a = 0 не удовлетворяет условию задачи, то есть остается случай, когда

13. Сколько корней имеет уравнение

x | x – 2 | = 1 – a

в зависимости от параметра a?

Указание. Привести уравнение к виду –x |x – 2| + 1 = a. Построить графики функций y = – x | x – 2 | + 1 и y = a. Отметим, что

14. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Указание. Построить графики правой и левой частей данного уравнения.

Для построения графика функции найдем промежутки знакопостоянства выражений x + 1 и x:

15. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения.

Ответ: если aa>2, то два корня; если 0 Ј a Ј 2, то один корень.

16. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения. Для построения графика функции найдем промежутки знакопостоянства выражений x + 2 и x:

Ответ: если a>– 1, то одно решение; если a = – 1, то два решения; если – 3aa Ј –3, то три решения.

Сколько корней имеет уравнение 2х^2-3х+2=0. 1)один 2)два 3)ни одного 4)определить не возможно

Всё решается очень просто. Простые правила алгебры:
Если дискриминант уравнения больше 0, то тогда два решения
Если дискриминант уравнения равен 0, то тогда одно решение
Если дискриминант уравнения меньше 0, то тогда решений нет
В данном уравнении 2х^2-3х+2=0, дискриминант=(-3)^2-4*2*2=9-16=-7
Значит решений нет. Потому что -7Вот и всё решение.

Х2 /(2- х/2)х (3-х/2)=1

Похожие вопросы

Квадратные уравнения

If you are logged in to your account, this website will remember which cards you know and don’t know so that they are in the same box the next time you log in.

When you need a break, try one of the other activities listed below the flashcards like Matching, Snowman, or Hungry Bug. Although it may feel like you’re playing a game, your brain is still making more connections with the information to help you out.

To see how well you know the information, try the Quiz or Test activity.

Pass complete!

«Know» box contains:
Time elapsed:
Retries:

Сколько корней имеет уравнение x^2+2x+3=0

afanasevanatal

Квадратичная функция, ее график и свойства. Урок 2 Сопоставь уравнение квадратичной функции с множеством его значений. Количество соединений: 6 y=5x² … — 10x+ 3 y = 6x² + 12x + 8 y = 3x² — 6x — 1 y=-4x² — 8x — 2 о о O y = -2x² + 8x — 4 y=-3x² — 18x- 31 (-∞0; 4] [2; +∞) (-∞0; -4] [-2; +∞) О (-∞; 21 [-4; +∞)

0,2(0,2t+4)-5(t+2) помогите пожалуйста ​

представь в виде произведения одинаковых множителей (0,3b)⁴Выбери правильный ответ:0,3b*b*4другой ответ0,3b*b*b*b*bну короче все на фото СРОЧНО. ​

an=-4•3n Помогите найти

y=-(x-5)²+3можно срочно​

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *