Как по графику составить функцию
Перейти к содержимому

Как по графику составить функцию

  • автор:

1. Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)

Пусть заданы функций y = x 2 и y = x 2 + 2 . Выполним построение графиков этих функций в одной системе координат. Составлям таблицу значений функции y = x 2 + 2 :

\(x\) \(0\) \(1\) \(-1\) \(2\) \(-2\)
\(y\) \(2\) \(3\) \(3\) \(4\) \(4\)

Отмечаем точки \((0; 2), (1; 3), (-1; 3), (2; 4), (-2; 4)\) на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. В результате получится график — парабола.

gr_x^2_x^2+2.png

Обрати внимание!

Получили такую же параболу, как и y = x 2 , но только сдвинутую вдоль оси \(y\) на \(2\) единицы масштаба вверх. Вершина параболы сейчас в точке \((0; 2)\), а не в точке \((0; 0)\), как для параболы y = x 2 . Ось симметрии — прямая \(x = 0\), как и для графика функции y = x 2 .

При построении в одной системе координат двух графиков функций y = x 2 и y = x 2 − 3 увидим, что график функции y = x 2 − 3 получается из графика функции y = x 2 путём параллельного переноса вдоль оси ординат на \(3\) единицы масштаба вниз.

gr_x^2_x^2-3.png

Аналогичные смещения происходят с графиками других функций. К примеру, для построения графика функции y = 2 x 2 − 1 необходимо построить базовую параболу y = 2 x 2 и сдвинуть её вниз (т. е. параллельно перенести) вдоль оси \(y\) на \(1\) единицу масштаба.

gr_2x^2_2x^2-1.png

Верно утверждение:

для построения графика функции \(y = f(x) + n\), где \(n\) — указанное положительное число, необходимо график функции \(y= f(x)\) поднять вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц масштаба; для построения графика функции \(y = f(x) — n\), где \(n\) — указанное положительное число, необходимо график функции \(y = f(x)\) опустить вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц масштаба.

Обрати внимание!

Направление сдвига определяется знаком числа \(n\): при \(n > 0\) график сдвигается вверх, а при \(n < 0\) — вниз.

Как по графику составить функцию

Одним из разделов школьной математики является изучение функциональных зависимостей или функций.

Напомним, что функцией математики называют зависимость величины от одной или нескольких других величин. При этом независимые переменные величины принято называть аргументами, а зависимые – функциями. При этом важно не забывать, что каждому значению аргумента (или аргументов) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции). Наглядно функции изображают с помощью графика – специального набора точек на плоскости. Пусть имеется функция $$ y=f\left(x\right)$$ одной переменной $$ x$$. На плоскости введём декартову систему координат $$ xOy$$ и рассмотрим множество точек $$ G$$ с координатами $$ (x,f(x\left)\right)$$, где $$ x$$ принадлежит некоторому множеству $$ M$$, которое называется областью определения функции. А множество $$ G$$ называется графиком функции $$ y=f\left(x\right)$$ (рис. 1).

В школьном курсе математики вы изучали такие типы функций:

  1. Линейные функции $$ f\left(x\right)=kx+b$$.
  2. Квадратичные функции $$ f\left(x\right)=a^+bx+c$$, $$ a\ne 0$$.
  3. Степенные функции вида $$ f\left(x\right)=^$$ при натуральных $$ n$$.
  4. Степенные функции вида $$ f\left(x\right)=\sqrt[n]$$ при натуральных $$ n$$.
  5. Обратная пропорциональность $$ f\left(x\right)=>$$, $$ k\ne 0$$.

График линейной функции можно построить по двум точкам, поскольку это прямая линия. Однако стоит заметить, что не всякая прямая будет графиком линейной функции. Если взять вертикальную прямую $$ x=a$$, то такая линия не может быть графиком никакой функции (рис. 2).

Действительно, здесь одному значению переменной $$ x$$ ставится в соответствие несколько значений переменной $$ y$$. Итак,

прямая на плоскости $$ xOy$$ – график некоторой линейной функции тогда и только тогда, когда она не вертикальна.

Напомним геометрический смысл коэффициентов $$ k$$ и $$ b$$ в уравнении прямой $$ y=kx+b:$$ $$ k=\mathrm \alpha $$ – тангенс угла наклона прямой к оси $$ Ox$$, $$ b$$ – ордината точки пересечения прямой с осью $$ Oy$$. Поэтому две невертикальные прямые $$ y=_x+_$$ и $$ y=_x+_$$:

  • параллельны ⟺ $$ _=_$$ и $$ _\ne _$$;
  • совпадают ⟺ $$ _=_$$ и $$ _=_$$;
  • перпендикулярны ⟺ $$ __=-1$$.

Условие перпендикулярности прямых несложно пояснить. Рассмотрим пару прямых, параллельных данным и проходящих через начало координат (см. рис. 3).

Теперь напомним основные сведения о функциях вида $$ f\left(x\right)=a^+bx+c$$.

Сразу отметим, что такая функция квадратична только при $$ a\ne 0$$. В случае же $$ a=0$$ эта функция квадратичной уже не будет. Если в задаче возможна такая ситуация, то случай $$ a=0$$ обязательно нуждается в отдельном рассмотрении. Нужно всегда обращать на это внимание!

Будем считать, что $$ a\ne 0$$. Тогда графиком функции $$ y=f\left(x\right)$$ будет парабола. Такие графики принято строить схематично, учитывая следующее:

  • знак числа `a`: при $$ a>0$$ ветви параболы направлены вверх, при $$ a Теперь поговорим о графиках степенной функции. Легко убедиться, что график функции

$$ f\left(x\right)=^$$ ($$ n\in N$$) при $$ x\ge 0$$

выглядит так, как показано на рис. 4. Для чётных $$ n$$, очевидно, верно $$ f(-x)=f\left(x\right)$$, а для нечетных $$ n$$ верно $$ f(-x)=-f\left(x\right)$$ для всякого $$ x$$. Поэтому в зависимости от чётности $$ n$$ графики функции $$ f\left(x\right)=^$$ имеют такой вид (рис. 5 и 6).

Напомним, что функция, область допустимых значений которой симметрична относительно начала координат, называется чётной, если справедливо равенство $$ f(-x)=f\left(x\right)$$ и нечётной, если $$ f(-x)=-f\left(x\right)$$. Наример, нетрудно проверить, что функция

В случае нечётного $$ n$$ график симметричен относительно начала координат. Такие функции называют нечётными (рис. 5). Если же $$ n$$ четно, то график симметричен относительно оси ординат. Такие функции называют чётными (рис. 6).

Для построения графика $$ f\left(x\right)=\sqrt[n]$$ нужно записать уравнение $$ y=\sqrt[n]$$ или $$ x=^$$. Это означает, что график имеет вид линии $$ y=^$$, но при этом $$ x$$ и $$ y$$ меняются местами. Для чётных $$ n$$ при этом еще нужно учесть ОДЗ $$ x\ge 0$$. Поэтому график функции $$ f\left(x\right)=\sqrt[n]$$ имеет следующий вид в зависимости от чётности натурального числа $$ n$$ (рис. 7, 8):

Рассмотрим теперь функции вида $$ f\left(x\right)=\frac$$.

Поскольку функция $$ f$$ нечётна, то график должен быть симметричным относительно начала координат. Схематический вид графика этой функции показан на рисунке 9.

Покажем, как меняется график функции $$ f\left(x\right)=>$$ при изменении параметра $$ k$$. Если $$ \left|_\right|>\left|_\right|$$, то линия $$ f\left(x\right)=<\displaystyle \frac<_>>$$ более удалена от осей координат, чем $$ f\left(x\right)=<\displaystyle \frac<_>>$$. Схематично это изображено на рис. 11, 12.

Выполнила учительница математики МБОУ Башкирский лицей № 1 муниципального района Учалинский район Республики Башкортостан Хидиятова Залифа Даутовна

https://lh5.googleusercontent.com/wGbHdiMsXJM-RKS3Z9SYUN4QKE0E0YP-3eS0G1__i3fz3gH59pEwoF19Aoox2-peYrtIi7Rdk-be8PyDY6yhXXJNMCndXFgadJwLgZC-QwI4-lwJ6hp6uwxDE-INuJECWOQQ5yhdRgSZWp6tqg



1) Так как ордината точки пересечения графика функции с осью Оy равна 1, следовательно, b=1.
Значит, у = kx+ 1

2) Выбираем на графике произвольную точку, например, А (2;2) и определяем её координаты: если x = 2, то у = 2. Подставим в нашу формулу вместо Х и У и получим уравнение относительно k.
2 = 2k+1
2k=1
k = 0.5
Записываем формулу линейной функции: у = 0,5х + 1.

Написать ФОРМУЛУ линейной функции У= КХ+В, график которой изображен на рисунке :

Это ВПР задание 8) это ответ:

https://ru-static.z-dn.net/files/dcf/6dfcbd56a8a9af82824f2025d7f68753.jpg http://900igr.net/up/datas/67158/037.jpg

ВНИМАНИЕ : задание на сегодня 16 апреля

https://ru-static.z-dn.net/files/d6c/2416abe057e91c62fc0d4c84f3e81b20.jpg

https://ru-static.z-dn.net/files/d17/2f8130517b2a77f0e1fbbe723a7b15d2.jpg

В) у= ? Г) у= ? Д) у= ?

1. Построение графика функции y = f(x + l) + m

2. Переместить график \(y = f(x)\) на m единиц влево (при \(m>0\)) или вправо (при \(m<0\)) вдоль оси \(x\).

3. Переместить полученный график на n единиц вверх (при \(n>0\)) или вниз (при \(n<0\)) вдоль оси \(y\).

построить график функции y = x − 2 2 − 3 .

Построим график функции y = x 2 . Сдвинув параболу y = x 2 на \(2\) единицы вправо, получим график функции y = x − 2 2 .

1.png

Сдвинув параболу y = x − 2 2 на \(3\) единицы вниз, получим график функции y = x − 2 2 − 3 .

2.png

Второй алгоритм

1. Обозначить пунктиром дополнительную систему координат с началом в точке \((-m; n)\) и с осями \(x=-m\), \(y=n\).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *