Что такое дискриминант деленный на 4
Перейти к содержимому

Что такое дискриминант деленный на 4

  • автор:

Что такое дискриминант деленный на 4

где
x — переменная,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта

Формула дискриминанта: .
  • D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х 2

Дискриминант на 4

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней квадратного уравнения зависит от знака D/4.

  • Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:
  • Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень
  • Если D/4

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

\[1)5{x^2} + 16x + 3 = 0\]

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{16}}{2})^2} - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49\]

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

\[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{16}}{2} \pm \sqrt {49} }}{5} = \frac{{ - 8 \pm 7}}{5}\]

\[{x_1} = \frac{{ - 8 + 7}}{5} = - \frac{1}{5} = - 0,2;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 8 - 7}}{5} = - \frac{{15}}{5} = - 3\]

\[2)3{x^2} - 28x + 9 = 0\]

\[a = 3;b = - 28;c = 9\]

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 28}}{2})^2} - 3 \cdot 9 = \]

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

\[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 28}}{2} \pm \sqrt {169} }}{3} = \]

\[{x_1} = = \frac{{14 + 13}}{3} = \frac{{27}}{2} = 9;\]

\[3)9{x^2} + 42x + 49 = 0\]

\[a = 9;b = 42;c = 49\]

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{42}}{2})^2} - 9 \cdot 49 = \]

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

\[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 42}}{{2 \cdot 9}} = - \frac{7}{3} = - 2\frac{1}{3}\]

\[4){x^2} - 20x + 136 = 0\]

\[a = 1;b = - 20;c = 136\]

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 20}}{2})^2} - 1 \cdot 136 = \]

\[ = 100 - 136 = - 36\]

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{8}{2})^2} - 2 \cdot 5 = 6\]

\[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{8}{2} \pm \sqrt 6 }}{2} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}\]

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Формула дискриминанта на 4: основа для решения квадратных уравнений

Формула дискриминанта на 4 является ключом к решению квадратных уравнений. С ее помощью мы можем найти корни любого квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0. Рассмотрим подробнее, как использовать эту удивительную формулу.

Прежде всего, давайте запишем саму формулу дискриминанта: D = b2 — 4ac. Здесь a, b и c — это коэффициенты исходного квадратного уравнения. Чтобы найти корни, нужно вычислить дискриминант и в зависимости от его знака применить соответствующие формулы.

Положительный дискриминант

Если дискриминант положителен (D > 0), то квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня. Они находятся по формулам:

Например, решим уравнение x2 + 2x — 3 = 0. Здесь a = 1, b = 2, c = -3. Подставляем в формулу дискриминанта: D = 22 — 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16. Дискриминант положителен, следовательно есть два корня:

x1 = (-2 + √16) / 2·1 = 1

x2 = (-2 — √16) / 2·1 = -3

Проверим: 12 + 2·1 — 3 = 0, (-3)2 + 2·(-3) — 3 = 0. Действительно, оба корня подходят!

Девушка решает уравнение по формуле дискриминанта

Отрицательный дискриминант

Например, возьмем уравнение x2 + 4x + 5 = 0. Здесь D = 42 — 4·1·5 = 16 — 20 = -4. Поскольку дискриминант отрицательный, то корней нет.

Дискриминант равен нулю

Наконец, если дискриминант равен нулю (D = 0), то квадратное уравнение имеет единственный двойной корень, который находится по формуле:

Рассмотрим уравнение x2 — 4x + 4 = 0. Вычисляем: D = (-4)2 — 4·1·4 = 0. Значит, есть один двойной корень: x = -(-4) / 2·1 = 2. Проверим: 22 — 4·2 + 4 = 0. Действительно, 2 — двойной корень.

Как видите, с помощью дискриминанта на 4 формула можно полностью решить любое квадратное уравнение, найдя все его корни. Это очень мощный инструмент, который должен знать каждый, кто изучает математику. Теперь вы тоже знаете, как его использовать!

Решение квадратных уравнений — важная тема школьного курса алгебры. Без знания формулы дискриминанта невозможно найти корни уравнения. Поэтому очень важно разобраться в ней как можно лучше.

Давайте еще раз вспомним саму формулу: D = b2 — 4ac. Здесь a, b, c — коэффициенты исходного квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0. Чтобы пошагово решить такое уравнение, нужно:

  1. Записать коэффициенты a, b и c.
  2. Подставить их в формулу дискриминанта и вычислить D.
  3. В зависимости от знака D применить соответствующие формулы для нахождения корней.

Этот алгоритм позволяет безошибочно найти корни любого квадратного уравнения. Давайте еще раз рассмотрим разные случаи.

Если дискриминант положителен, то есть два различных действительных корня. Они находятся по формулам x1,2 = (-b ± √D) / 2a.

Если дискриминант отрицателен, то корней нет, так как извлекать корень из отрицательного числа нельзя.

Наконец, если дискриминант равен нулю, то имеется один двойной корень x = -b / 2a.

Запомнив эти простые правила и формулы, можно без труда решать квадратные уравнения, используя дискриминант. Это очень важный навык не только для школьников, но и для будущих инженеров, экономистов и ученых. Поэтому обязательно потренируйтесь в решении таких уравнений!

Рука записывает формулу дискриминанта на бумаге

Практические примеры

Давайте решим еще несколько практических примеров квадратных уравнений с использованием формулы дискриминанта деленного на 4. Это поможет лучше закрепить навык.

Рассмотрим уравнение: x2 — 6x + 8 = 0. Находим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 8. Подставляем их в формулу дискриминанта: D = (-6)2 — 4·1·8 = 36 — 32 = 4. Дискриминант положителен, значит есть два корня:

x1 = (-b + √D) / 2a = (-(-6) + √4) / 2·1 = 3

x2 = (-b — √D) / 2a = (-(-6) — √4) / 2·1 = 2

Проверим: 32 — 6·3 + 8 = 0, 22 — 6·2 + 8 = 0. Все верно!

Рассмотрим еще одно уравнение: 2×2 + 5x — 3 = 0. Здесь: a = 2, b = 5, c = -3. Вычисляем дискриминант: D = 52 — 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49. Имеем два корня:

x1 = (-5 + √49) / 2·2 = -0.5

x2 = (-5 — √49) / 2·2 = -3

Проверим: (-0.5)2·2 + 5·(-0.5) — 3 = 0, (-3)2·2 + 5·(-3) — 3 = 0. Все верно!

Графическая интерпретация

Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта имеет хорошую графическую интерпретацию. Давайте рассмотрим это на примере.

Возьмем уравнение x2 + 2x + 1 = 0. Строим график соответствующей ему параболы. Видим, что она пересекает ось ОХ в двух точках с координатами x1 = -1 и x2 = -1. Это и есть корни нашего уравнения.

Теперь вычислим дискриминант: D = 22 — 4·1·1 = 4. Он положителен, значит, должно быть два корня. Действительно, графически мы видим две точки пересечения. Таким образом, знак дискриминанта указывает на количество корней.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Квадратные уравнения часто возникают при решении различных задач из физики, геометрии, экономики. Рассмотрим один пример.

Найти цены двух товаров, если известно, что один товар дороже другого на 20 рублей, а их общая цена равна 85 рублей. Составим уравнение:

x + (x + 20) = 85, где x — цена более дешевого товара.

Преобразуем его в квадратное: 2x + 20 = 85, 2x = 65, x2 + 2·20·x — 65·20 = 0.

Решаем его с помощью дискриминанта и находим x1 = 20, x2 = 45. Значит, цены товаров 20 и 45 рублей.

Как видите, квадратные уравнения позволяют решать многие практические задачи. Поэтому очень важно уметь находить их корни с помощью формулы дискриминанта деленного на 4!

Как найти дискриминант

Как найти дискриминант

Как решать квадратные уравнения, зная значение дискриминанта

Если вы знаете значение дискриминанта, то решение квадратного уравнения становится очень простым. В этой статье мы рассмотрим шаги, которые нужно выполнить, чтобы найти корни квадратного уравнения, используя значение дискриминанта.

Шаг 1: Проверьте, что перед вами квадратное уравнение

Прежде чем начать решать уравнение, убедитесь, что оно имеет вид ax²+bx+c=0, где a, b, c — любые действительные числа, а х — переменная.

Шаг 2: Рассмотрите коэффициент b

Особое внимание следует уделить коэффициенту b, стоящему перед x. Если b является нечетным числом, то можно приступать к вычислению дискриминанта. Однако, если b является четным числом, для более удобных вычислений корней рекомендуется делить дискриминант на 4.

Шаг 3: Находим значение дискриминанта

Значение дискриминанта вычисляется по формуле: D = b²-4ac. Если мы хотим найти дискриминант, деленный на 4, формула будет выглядеть следующим образом: D/4 = b²/4 — ac.

Полезный совет: Знайте возможные значения дискриминанта

Значение дискриминанта квадратного уравнения может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Это важно учитывать при дальнейшем решении уравнения.

Теперь, когда вы знаете, как использовать значение дискриминанта для решения квадратного уравнения, вы сможете легко находить его корни.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *