Как найти максимальную скорость колебаний
Перейти к содержимому

Как найти максимальную скорость колебаний

  • автор:

Гармонические колебания.

Например, в случае механических гармонических колебаний:.

В этих формулах ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0 – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ0’ = φ0 +π/2 полностью совпадают.

Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0 смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0.

Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: .

Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.

Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени

Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2.

Величина — максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).

Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: , а для случая нулевой начальной фазы (см. график).

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:

— вторая производная от координаты по времени. Тогда: .

Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе).

— максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: , а для случая нулевой начальной фазы: (см. график).

Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).

Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:

т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.

Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде: ,

где T – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: . Аналогично для скорости и ускорения.

Максимальная скорость математического маятника — где она достигается и как это происходит

Математический маятник – это одна из самых увлекательных глав в мире физики, которая открывает перед нами удивительные законы и закономерности. Как мы знаем, маятник представляет собой тело, подвешенное на нити и свободно движущееся под действием гравитационной силы. Однако, помимо его эстетической красоты, математический маятник скрывает в себе непростые и интересные характеристики.

Одной из таких характеристик является его максимальная скорость. Но где, на самом деле, достигается максимальная скорость математического маятника? По правде говоря, ответ на этот вопрос может показаться неожиданным. Максимальная скорость достигается в самой нижней точке траектории маятника, в то время как на точках максимального отклонения скорость равна нулю. Как такое вообще возможно? Чтобы разобраться, давайте взглянем на законы, управляющие этим интереснейшим физическим явлением.

Механизм работы математического маятника и его связь с максимальной скоростью

Математический маятник работает по принципу возникновения реакционных сил: при отклонении от вертикального положения точки подвеса, на маятник начинают действовать кинетическая сила и сила тяжести. В первый момент, когда маятник отклоняется от равновесия, инерция приводит к увеличению скорости движения. Однако, в следующий момент, когда маятник достигает крайней точки, сила тяжести начинает замедлять его движение.

Какие силы действуют на математический маятник?

Основными силами, действующими на математический маятник, являются сила гравитации и сила натяжения нити или стержня. Сила гравитации притягивает массу маятника к центру Земли, тогда как сила натяжения направлена по нити и держит маятник в равновесии. Когда маятник отклоняется от положения равновесия, сила натяжения становится составляющей центростремительной силы, которая дает маятнику движение по окружности.

Влияние длины маятника на его скорость

Длина математического маятника имеет огромное влияние на его скорость. Кажется, что на первый взгляд это не имеет логического объяснения: почему увеличение длины маятника ведет к увеличению его скорости? Ответ кроется в потрясающей взаимосвязи между кинетической и потенциальной энергией, а также в законах сохранения энергии.

Представьте себе, что вы подвешиваете кусок веревки с грузом на одном конце. Вы отводите груз в сторону и отпускаете его. Груз начинает двигаться в обратном направлении и постепенно замедляется, достигая своей наименьшей скорости в самом высоком положении. Но как только груз начинает спускаться, он увеличивает свою скорость с каждым мгновением. Почему?

Эта зависимость между длиной маятника и его скоростью объясняется законами сохранения энергии. При движении груза по горизонтальной траектории его кинетическая энергия возрастает, а потенциальная энергия уменьшается. В точке наивысшего положения потенциальная энергия достигает своего максимума, а кинетическая энергия равна нулю. Именно в этот момент скорость груза минимальна.

Однако, когда груз начинает спускаться, его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия увеличивается. При достижении точки наименьшего положения потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия достигает своего максимума. Именно в этот момент скорость груза максимальна.

Таким образом, увеличение длины маятника приводит к увеличению его потенциальной энергии и, следовательно, к увеличению его скорости. Открытие этой закономерности позволяет глубже понять механизмы работы математического маятника и его связь с максимальной скоростью.

Почему при увеличении длины маятника увеличивается его скорость?

Во-первых, стоит отметить, что математический маятник — это система с потенциальной энергией, которая переходит в кинетическую энергию и обратно. Запустив маятник, мы передаем ему начальную потенциальную энергию, которая превращается в кинетическую энергию, когда маятник движется вниз. Чем длиннее маятник, тем больше начальной потенциальной энергии он имеет, а следовательно, больше кинетической энергии, когда он достигает самой низкой точки своего движения.

Изменение зависимости скорости от угла отклонения

Изменение зависимости скорости от угла отклонения

Изначально, когда маятник отклоняется на небольшой угол, его скорость достаточно низка. Это связано с тем, что сила восстанавливающего момента (сила, стремящая маятник вернуться в положение равновесия) превышает силу инерции, и маятник начинает замедляться. Однако, по мере увеличения угла отклонения, возрастает и скорость маятника. Это происходит из-за увеличения силы инерции, которая преодолевает силу восстанавливающего момента. Таким образом, чем больше угол отклонения, тем выше скорость маятника.

При каких углах отклонения достигается максимальная скорость?

При каких углах отклонения достигается максимальная скорость?

Угол отклонения математического маятника играет ключевую роль в его движении. Когда маятник отклоняется от равновесного положения, сила тяжести начинает действовать на него, придавая ему ускорение. При некотором угле отклонения маятник достигает своей максимальной скорости.

Определить этот угол можно, рассмотрев механизм работы математического маятника. При отклонении маятник имеет наибольшую кинетическую энергию, которая переводится в потенциальную энергию при его возвращении к равновесному положению. Этот момент — и есть момент, когда маятник достигает максимальной скорости. Исследования показывают, что этот угол отклонения составляет около 20 градусов.

Расчет максимальной скорости математического маятника

Перед тем как начать расчет, давайте вспомним, что математический маятник – это идеализированная система, состоящая из точечной массы, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. Основным фактором, влияющим на максимальную скорость, является длина маятника. Чем длиннее нить, тем больше будет скорость математического маятника. Давайте посмотрим на таблицу ниже, которая наглядно покажет зависимость скорости от длины.

Длина маятника (в метрах) Максимальная скорость (в метрах в секунду)
0,10 1,42
0,20 2,00
0,30 2,45
0,40 2,83
0,50 3,16

Из приведенной таблицы видно, что при увеличении длины маятника его скорость также увеличивается. Это связано с тем, что при большей длине маятника физические силы действуют на него в течение более длительного времени, что приводит к увеличению его скорости. Таким образом, максимальная скорость математического маятника можно рассчитать с помощью формулы, учитывающей длину нити и ускорение свободного падения.

Примеры решенных задач по физике -Контрольная 1(гармонические колебания, плоские волны, кольца Ньютона, дифракция, поляризация света)

Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А=10 см и периодом Т=5 с. О п ределите для точки : 1) максимальную скорость, 2) максимальное ускорение.

Дано : A =10 см=0 .1 м

Найти : v max , a max

Уравнение гармонического колебания точки имеет вид :

x = Acos ( ω t + φ ) (1)

Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения :

v= =dx/dt=-A ω sin( ω t+ φ )

Максимальная скорость точки равна :

v max =- A ω (2) , где А – амплитуда колебаний ; ω – круговая частота колебаний.

Круговая частота колебаний ω связана с периодом колебаний Т выражением :

С учётом (3) формула (2) примет вид :

v max =-2 π A / T (4)

Ускорение точки найдём, взяв производную по времени от скорости :

a= =dv/dt=-A ω 2 cos( ω t+ φ )

Максимальное ускорение, равно :

С учётом (3) перепишем формулу (5) в виде :

a max =-4 π 2 A / T 2 (6)

Производя вычисления по формулам (4) и (6), найдём максимальные скорость и ускорение точки.

v max =-2×3.14×0.1/5=-0.13 м/с

a max =-4×3.14 2 ×0.1/5 2 =-0.16 м/с 2

Ответ : v max =-0.13 м/с ; a max =-0.16 м/с 2

Волна с периодом Т=1.2 с и амплитудой колебания А=2 см распространяется со скоростью 15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии 45 м от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время t = 4 с ?

Уравнение плоской волны имеет вид :

y ( x , t )= Acos ( ω t — kx ) (1) , где y – смещение точек среды с к о ординатой x в момент времени t ; ω – круговая частота ; k – волновое число.

Волновое число k связано с длиной волны λ выражением :

k =2 π / λ (2) , где λ = vT ; v – скорость распространения колебаний ; T – период колебаний.

Циклическая частота ω связана с периодом Т выражением :

С учётом (2) и (3) уравнение (1) примет вид :

y(x,t)=Acos(2 π t/T-2 π x/(vT))=Acos (4 )

Вычисления по формуле (4), дают :

y (45 ; 4)=0.02× cos =0.01 м=1 см

Ответ : y(45 ; 4)=1 см.

Определить радиус второго темного кольца Ньютона в отраженном свете, если прибор, состоящий из плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны 8 м и плоской пластины освещается монохроматическим светом с длиной волны 640 нм.

Дано : λ =64 0 нм= 6.5×10 — 7 м

Радиус темных колец Ньютона в отражённом свете определяется формулой :

r k = (1)

где k – номер кольца ; R – радиус кривизны линзы ; λ – длина волны.

3,2∙10 — 3 м .

Ответ : r 2 = 3,2∙10 — 3 м .

Постоянная дифракционной решётки в n =4 раза больше длины световой волны монохр о ма тического света, нормально падающего на её поверхность. Определить угол α между дв у мя первыми симметричными дифракционными максимумами.

Постоянная дифракционной решётки d , длина волны λ и угол  отклонения лучей соо т ветст вующий К – му дифракционному максимуму, связаны соотношением

dsin  = kλ , или sin  = kλ / d (1)

где к – порядок максимума (в данном случае к=1). Учитывая, что λ/ d =1/ n перепишем форм у лу (1) в виде:

Из рисунка видно, что угол α равен удвоенному углу  . Тогда формула (2) примет вид:

sin ( α /2)= k / n , откуда α=2 arcsin ( k / n )

Подставим в последнюю формулу числовые значения и вычислим:

На сколько процентов уменьшается интенсивность света после прохождения через призму Николя, если потери света составляют 10% ?

Естественный свет, падая на грань призмы Николя, расщепляется вследствие двойного л у чепреломления на два пучка : обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа. Плоскость колебаний обыкновенного пучка перпенд и кулярна плоскости чертежа. Обыкновенный пучок (о) вследствие полного отражения от грани AB отбрасывается на зачернённую поверхность призмы и поглощается ею. Необы к новенный пучок (е) проходит через призму. При этом интенсивность света уменьшается вследствие поглощения в веществе николя. Таким образом, интенсивность света, пр о шедшего через призму :

где k = 0.1 – относительная потеря интенсивности света в николе ; I 0 – интенсивность е с тественного света, падающего на николь.

Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность I 0 ест е ственного света, падающего на первый николь, на интенсивность I 1 поляризованного св е та :

(1)

Вычисления по формуле (1) дают :

=2.2

Процентное уменьшение интенсивности :

n % = =54.5 %

Ответ : при прохождения света через призму интенсивность уменьшится на 54.5%.

Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

Длина волны де Бройля λ частицы зависит от её импульса p и определяется формулой :

Импульс частицы можно определить, если известна её скорость v . Связь импульса со скоростью для нерелятивистского (когда v

p=m 0 v (2) ; p= (3)

Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется соответственно в нерелятивис т ском и релятивистском случаях :

λ = (4) ; λ = (5)

Найдём скорость электрона на круговой орбите атома водорода, находящегося в осно в ном состоянии, из следующих соображений. Согласно теории Бора, радиус r электронной орбиты и скорость v электрона на ней связаны равенством mvr = n ħ . Так как нам требуется скорость электрона на первой орбите, то главное квантовое число n =1 и равенство примет вид :

Откуда скорость электрона :

v = (6)

где ħ – постоянная Планка (ħ= 1.05×10 -34 Дж·с) ; m – масса покоя электрона

( m =9.11×10 — 31 кг ) ; a – радиус первой орбиты (а= 5.29×10 — 11 м – Боровский радиус).

Найдём скорость электрона, произведя вычисления по формуле (6) :

v = м/с

Следовательно , можно применить формулу (4). С учётом (6) формула (4) примет вид :

Вычисления по формуле (7) дают :

λ =2×3.14×5.29×10 -11 =3.3×10 — 10 м

Ответ : λ =3.3×10 — 10 м .=0.33 нм.

Имя файла: physics1.doc

Размер файла: 456.5 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните по этой ссылке

Как найти максимальную скорость колебаний

С2-4. Однородный цилиндр с площадью поперечного сечения 10 -2 м 2 плавает на границе несмешивающихся жидкостей с плотностью 800 кг/м 3 и 1000 кг/м 3 (см. рисунок). Пренебрегая сопротивлением жидкостей, определите массу цилиндра, если период его малых вертикальных колебаний π/5 с.

С2-5. Шарик массой m = 0,1 кг на нити длиной L = 0,4 м раскачивают так, что каждый раз, когда шарик проходит положение равновесия, на него в течение короткого промежутка времени t = 0,01 с действует сила F = 0,1 Н, направленная параллельно скорости. Через сколько полных колебаний шарик на нити отклонится на 60°?

С2-6. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,2. Отношение массы бруска к массе грузика равно 8. Грузик маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Какова максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими?

С2-9. На планете Плюк местный школьник решил определить ускорение свободного падения g. Он взял чашу со сферическим очень скользким дном радиуса кривизны R и положил неподалеку от нижней точки О дна маленькую монету (см. рисунок). Монета стала совершать колебания около точки О с циклической частотой 4 с -1 . Согласно расчетам школьника на планете Плюк g = 8 м/с 2 . Определите значение R.

С2-10. Маятник с чернильницей укреплен на игрушечном автомобиле и колеблется в плоскости, перпендикулярной равномерному движению автомобиля. Длина маятника равна 0,1 м. Чернильница оставила на столе след, показанный на рисунке. Чему равна скорость автомобиля?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *