Сколько различных диагоналей имеет 12 угольник
Перейти к содержимому

Сколько различных диагоналей имеет 12 угольник

  • автор:

Сколько диагоналей у
12-угольника?

Математик009

Диагональ в многоугольнике (многограннике) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, то есть, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру многогранника).

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле: N = n·(n – 3)/2, где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что у треугольника — 0 диагоналей у прямоугольника — 2 диагоналиу пятиугольника — 5 диагоналейу шестиугольника — 9 диагоналейу восьмиугольника — 20 диагоналейу 12-угольника — 54 диагонали

Новые вопросы в Геометрия

Допоможіть будь ласка
Терміново допоможіть будь ласка. даю 50 балів

2. У рівнобедреному трикутнику ABC бічна сторона менша за основу на 5 см Знайди сторони цього трикутника, якщо його периметр дорівнює 26 см. Допоможіт … ь.

Сколько различных диагоналей имеет 12 угольник

а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n -угольник.

Решение

а) Если многоугольник выпуклый, то утверждение очевидно. Предположим теперь, что внутренний угол многоугольника при вершине A больше 180 o . Видимая часть стороны видна из точки A под углом меньше 180 o , поэтому из точки A видны части по крайней мере двух сторон. Следовательно, существуют лучи, выходящие из точки A , на которых происходит смена (частей) сторон, видимых из точки A (на рис. изображены все такие лучи). Каждый из этих лучей задает диагональ, целиком лежащую внутри многоугольника.
б) Из рис. видно, как построить n -угольник, у которого ровно n — 3 диагонали лежат внутри его. Остается доказать, что у любого n -угольника есть по крайней мере n — 3 диагонали. При n = 3 это утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для всех k -угольников, где k < n , и докажем его для n -угольника. Согласно задаче а) n -угольник можно разрезать диагональю на два многоугольника: ( k + 1)-угольник и ( n - k + 1)-угольник, причем k + 1 < n и n - k + 1 < n . У них имеется соответственно по крайней мере ( k + 1) - 3 и ( n - k + 1) - 3 диагоналей, лежащих внутри. Поэтому у n -угольника имеется по крайней мере 1 + ( k - 2) + ( n - k - 2) = n - 3 диагоналей, лежащих внутри.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 6
Название Невыпуклые многоугольники
Тема Невыпуклые многоугольники
задача
Номер 22.020
журнал
Название «Квант»
год
Год 1975
выпуск
Номер 12
Задача
Номер М358

Как решить: В выпуклом 794‐угольнике проведено несколько диагоналей (см)?

В выпуклом 794‐угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется хорошей, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

комментировать
в избранное
Winik­ iRu [183K]
8 месяцев назад

Стороны многоугольников отличаются от их же диагоналей тем, что первые соединяют соседние вершины, а вторые могут соединять любые вершины, кроме соседних. То есть в любом N-угольнике из каждой вершины мы можем провести столько диагоналей, сколько у него вершин за вычетом двух — по одной слева и справа. Подчеркну — из каждой! Только у нас сегодня задача особенная, потому что у каждой диагонали должно оказаться не больше одного пересечения с любой другой. Да ещё и фигура не простенькая — 794-угольник. Хотя, чтобы понять логику, я бы попробовал для начала разобраться с тем же десятиугольником, а потом перейти к более сложным вычислениям. Сами же диагонали я провел следующим образом:

Диагонали в десятиугольнике

Всего получилось шесть штук. И что-то подсказывало, что это далеко не самый лучший вариант. Пока ломал голову, в гости зашёл соседский пацан Серёжка. У них сегодня был «последний звонок» в школе, поэтому он был весь из себя нарядный. Новые кроссовки ослепляли своей чистотой. Симпатично смотрелась и необычная шнуровка.

И тут меня осенило! А что, если провести диагонали так же, как у него расположены шнурки? Мы с Серёгой вместе прильнули к экрану и через пару минут был получен новый метод проведения диагоналей, который добавил к предыдущим шести ещё парочку:

Восемь диагоналей в десятиугольнике

После мы представили себе 12-угольник и поняли, что количество диагоналей будет больше — оно увеличится на две. Таким образом их число равно числу вершин за вычетом двух. Для десяти — 8, для двенадцати — 10 и так далее. Можно даже формулу написать:

  • N диагоналей = N вершин — 2

Пока я писал эти строки, Сергей достал из кармана коробку со спичками и виртуозно сложил на моей тетрадке в клеточку другую фигуру — одиннадцатиугольник. Сам убежал по делам, но мне сказал, что вариант с нечётным количеством вершин и углов следует обязательно проверить. Сказано — сделано:

Одиннадцатиугольник и спички

Только, как я ни старался, а в итоге не смог провести ни одной дополнительной диагонали. При одиннадцати вершинах число диагоналей оставалось равным восьми, как и в десятиугольнике. Что получается? При чётном количестве вершин мы вычитаем две, а при нечётном все три потребуется вычесть.

  • N диагоналей = N вершин — 2 (для чётного числа вершин)
  • N диагоналей = N вершин — 3 (для нечётного числа вершин)

В таком случае для 794-угольника нам подходит первая версия и правильным ответом станет следующий:

Как найти число диагоналей в многоугольнике

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 189 860.

В этой статье:

Нахождение числа диагоналей является важнейшим навыком, который пригодится при решении геометрических задач. Это не так сложно, как кажется – просто нужно запомнить формулу. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника. [1] X Источник информации Многоугольник – это любая фигура с как минимум тремя сторонами. При помощи несложной формулы можно найти количество диагоналей в любом многоугольнике, например, с 4 сторонами или с 4000 сторон.

Метод 1 из 2:

Рисование диагоналей

Step 1 Запомните названия многоугольников.

  • Четырехугольник: 4 стороны
  • Пятиугольник: 5 сторон
  • Шестиугольник: 6 сторон
  • Семиугольник: 7 сторон
  • Восьмиугольник: 8 сторон
  • Девятиугольник: 9 сторон
  • Десятиугольник: 10 сторон
  • Обратите внимание, что у треугольника диагоналей нет. [3] X Источник информации

Step 2 Нарисуйте многоугольник.

  • Чтобы нарисовать многоугольник, воспользуйтесь линейкой; нарисуйте замкнутую фигуру со сторонами одинаковой длины.
  • Если вы не знаете, как выглядит многоугольник, поищите картинки в интернете. Например, знак «Стоп» – это восьмиугольник.

Step 3 Нарисуйте диагонали.

  • В квадрате проведите одну диагональ из нижнего левого угла в правый верхний угол, а вторую – из нижнего правого угла в левый верхний угол.
  • Нарисуйте диагонали разных цветов, чтобы быстрее посчитать их. [6] X Источник информации
  • Обратите внимание, что применять этот метод к многоугольникам, у которых больше 10 сторон, довольно сложно.

Step 4 Посчитайте диагонали.

  • У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины. [7] X Источник информации
  • У шестиугольника 9 диагоналей: по три диагонали на каждые три вершины.
  • У семиугольника 14 диагоналей. Если у многоугольника больше семи сторон, посчитать диагонали довольно сложно, потому что их слишком много.

Step 5 Каждую диагональ считайте только один раз.

  • Например, у пятиугольника (5 сторон) только 5 диагоналей. Из каждой вершины выходит 2 диагонали; если умножить число вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины, получите 10. Это неверный ответ, как если бы вы посчитали каждую диагональ дважды.

Step 6 Попрактикуйтесь в определении.

  • У шестиугольника 9 диагоналей.
  • У семиугольника 14 диагоналей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *