Что означают прямые скобки в математике
Перейти к содержимому

Что означают прямые скобки в математике

  • автор:

Урок 40 Получить доступ за 75 баллов Раскрытие скобок

Ученые, открывая все новые математические законы и правила, вместе с тем, придумывали различные обозначения, символы и знаки.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Математические знаки и символы — это условные обозначения, которые используют для записи математических предложений, понятий, терминов и т.п.

Система математических знаков и символов представляет собой математический язык, который упрощает и сокращает процесс изложения информации, позволяет точнее выразить мысль и избежать неверной трактовки и ошибок.

Кроме букв алфавитов и цифр математический язык содержит огромное множество различных символов и знаков.

Одним из наиболее часто используемых символов являются скобки.

На этом уроке рассмотрим, какие основные виды скобок существуют в математике, их обозначение и применение.

Выясним, что обозначает понятие «раскрыть скобки», познакомимся с правилами раскрытия скобок и разберем примеры применения данных правил.

Скобки в математике и их предназначение

Скобки являются парными знаками (за исключением некоторых математических обозначений): обычно первая в паре скобка- открывающая, вторая- закрывающая.

Парные скобки ограничивают часть некоторого математического выражения, т.е. заключают в себе некоторую часть целой математической записи.

В математике применяют несколько видов скобок.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Чаще всего используют три вида скобок: круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ] и фигурные скобки <>

Круглые скобки используют:

  • для обозначения выражения, с которым проводится математические действия, например, возведение в степень (a+b) 2 и т.п.
  • для указания координаты точки
  • для указания периода в записи десятичной дроби
  • для заключения отрицательного числа в выражениях (т.е. разделение математической операции и знака числа)

Круглые скобки используют часто в математических выражениях для указания последовательности и приоритета математических действий и логических операций или изменения принятого порядка этих действий.

Квадратные скобки в математике, например, используют для обозначения целой части числа, для определения приоритета операции (аналогично круглым скобкам), в качестве скобок «второго уровня» и др.

Фигурные скобки применяют, например, для обозначения множеств. Одинарная фигурная скобка обозначает объединение неравенств или уравнений в систему.

Используется двойная фигурная скобка, подобно круглым и квадратным скобкам, для разграничения приоритета действий в математических выражениях, в качестве скобок «третьего уровня» и др.

Вспомним порядок выполнения действий в выражениях со скобками.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

По правилу, в выражении, содержащем скобки, первыми выполняются действия, стоящие в скобках, далее по порядку умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

На примере рассмотрим использование скобок для указания порядка действий или изменении этого порядка.

Пример:

Дано выражение \(\mathbf\)

Найдем значение этого выражения, используя правило, которое определяет порядок выполнения действий в математических выражениях.

Так как скобок в данном примере нет, то первым действием выполняется операция умножения, затем — сложения, получаем

Ответ: 18

Если выражение будет содержать все те же числа и математические операции, но будет записано в виде: \(\mathbf<(8 + 5)\cdot 2>\), то в первую очередь выполняется действие в скобках, а затем умножение, получим

Ответ: 26

Мы можем заметить, что при изменении порядка действий с помощью скобок изменилось значение выражения.

Существуют выражения, которые содержат несколько пар скобок. В этом случае действия выполняют, начиная с первой скобки, и далее по порядку слева направо в следующих скобках, затем все действия согласно известным правилам, определяющим порядок выполнения математических операций в выражениях.

Пример:

Дано выражение \(\mathbf<(16 - 4) + 2 \cdot (6 - 5)>\), определим порядок действий в нем.

Первым делом выполняются действия в скобках, затем умножение, далее сложение.

Решение будет выглядеть так:

Иногда встречаются выражения, где применяются сложные сочетания скобок (вложенные скобки).

Выполнять действия следует с внутренних скобок, затем математические операции проводят, продвигаясь ко внешним скобкам.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Пример:

Определим порядок действий в выражение \(\mathbf<(3 \cdot (4 + 6) -7) \cdot 2>\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Решение будет выглядеть так:

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Ответ: 46

Для того, чтобы проще было различить одну пару скобок от другой, скобки обозначают разными размерами, либо дополнительно применяют квадратные и фигурные скобки, либо скобки изображают попарно разным цветом.

1. Скобки обозначены разных размеров:

2. Дополнительно применены квадратные и фигурные скобки:

3. Скобки изображены попарно разным цветом:

( ( ( 4 + 2 ) ∙ 5 — 0,5 ) — 6 ∙ 1,5 ) ÷ 2 — 1

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Раскрытие скобок

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Как вам уже известно, скобки в математических выражениях часто используют для разграничения рядом стоящих знаков или для объединения и перегруппировки чисел, с которыми будут выполнятся определенные математические действия.

Но иногда при решении математических выражений удобно раскрыть скобки, нежели высчитывать их значение.

Раскрыть скобки- это значит освободить выражение от скобок, избавить выражение от лишних знаков, тем самым упростить его для вычисления.

Значение выражение со скобками и значение выражения, полученное после раскрытия скобок, равны, их записывают в виде равенства.

При преобразовании громоздких выражений, в которых содержится большое количество скобок, возникает потребность записывать промежуточные результаты вычислений. В таких случаях решение записывается в виде цепочки равенств.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Разберем случаи, когда перед скобками стоит знак плюс «+».

1. Выражение вида а + (-b) можно записать, опустив скобки.

Так как вычитание обратное действие сложению (т.е. прибавить число (-b) -это тоже самое, что вычесть положительное число b), получаем равенство

а + (-b) = а — b

2. Выражение вида а + (b+ c) можно записать без скобок.

Согласно сочетательному свойству сложения, если к числу прибавить сумму двух чисел, то нужно сначала к этому числу прибавить первое слагаемое, а затем второе слагаемое.

а + (b + c) = а + b + c

3. Рассмотрим еще одно выражение а + (b c), и преобразуем это выражение в выражение без скобок.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его знак определяется как знак плюс «+».

Известно, что вычитание можно заменить сложением, следовательно:

а + (b c) = а + (b+ (-c))

Применив сочетательное свойство, упростим выражение а + (b+ (-c)), в результате получим:

а + (b c) = а + b c

Рассуждая подобным образом, попробуем преобразовать еще два выражения со скобками.

4. Преобразуем выражение вида а + (-b+ c) в выражение без скобок.

Зная, что вычитание можно заменить сложением и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

а + (-b+ c) = а + ((-b) + c) = а — b+ c, т.е. получаем равенство

а + (-b + c) = а — b + c

5. Преобразуем выражение вида а + (-b c) в выражение без скобок.

Зная, что вычитание можно заменить сложением, и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

а + (-b c) = а + ((-b) + (-c)) = а — b c, т.е. получаем равенство

а + (-b c) = а — b c

Заметим, что в левой части каждого из равенств перед скобкой стоит знак «+», а слагаемые, стоящие в скобке, после преобразования сохраняют свои знаки:

а + (-b) = а — b

Пример: 15 + (-5) = 15 — 5 = 10

а + (b + c) = а + b+ c

Пример: 15 + (5 + 2) = 15 + 5 + 2 = 22

а + (b c) = а + b c

Пример: 15 + (5 — 2) = 15 + 5 — 2 = 18

а + (-b + c) = а — b + c

Пример: 15 + (-5 + 2) = 15 — 5 + 2 = 12

а + (-b c) = а — b c

Пример: 15 + (-5 — 2) = 15 — 5 — 2 = 8

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс:

Если перед скобками стоит знак плюс или не стоит никакого знака, то этот знак «+» и скобки необходимо опустить, сохранив знаки слагаемых, которые стояли в скобках.

Пример:

Найдите значения выражения -4 + (3 — 1 + 4).

Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+».

Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

-4 + (3 — 1 + 4) = -4 + 3 — 1 + 4 = 4 — 4 + 3 — 1= 0 + 3 — 1 = 3 — 1 = 2

Ответ: 2

Рассмотрим случаи, когда перед раскрываемыми скобками стоит знак минус «-».

Вспомним, какие числа называют противоположными: два числа называют противоположными, если они отличны друг от друга только знаками, модули их равны.

Число а противоположно числу (-а).

-(-а) противоположно числу (-а).

Тогда верно утверждение, что -(-а) = а

Найдем значение выражения: -(-8 + 4)

Определим значение данного выражения двумя способами:

1. Найдем значение суммы в скобках, затем полученную сумму запишем со знаком минус «-».

-(-8 + 4) = -(-4) = 4

2. Раскроем скобки.

Чтобы найти сумму противоположную сумме нескольких слагаемых, действуем по аналогии с утверждением -(-а) = а — необходимо изменить знаки слагаемых на противоположные.

-(-8 + 4) = 8 — 4 = 4

В первом и во втором случае получили одинаковый результат, он равен четырем.

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус.

Если перед скобками стоит знак минус, то этот знак «-» и скобки необходимо опустить, изменив знаки слагаемых, которые стояли в скобках на противоположные (знак минус меняется на плюс, знак плюс на минус).

Рассмотрим несколько равенств и раскроем скобки в них согласно данному правилу.

а — (-b) = а + b

Пример: 10 — (-5) = 10 + 5 = 15

а — (b + c) = а — b c

Пример: 20 — (5 + 3) = 20 — 5 — 3 = 15 — 3 = 12

а — (b c) = а — b + c

Пример: 20 — (5 — 3) = 20 — 5 + 3 = 15 + 3 = 18

а — (-b + c) = а + b c

Пример: 20 — (-5 + 3) = 20 + 5 — 3 = 25 — 3 = 22

а — (-b c) = а + b+ c

Пример: 20 — (-5 — 3) = 20 + 5 + 3 = 25 + 3 = 28

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Пример:

Вычислите значение выражения 15 — (4 + 15 — 3).

Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-».

Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

15 — (4 + 15 — 3) = 15 — 4 — 15 + 3 = 15 — 15 — 4 + 3 = 0 — 4 + 3 = -4 + 3 = -1

Ответ: -1

Разберем правило раскрытия скобок при умножении числа на сумму (суммы на число).

Правило раскрытия скобок для данного случая звучит так:

Для раскрытия скобок в выражениях, содержащих умножение суммы на число или числа на сумму, используется распределительное свойство умножения относительно сложения.

Если число с положительное, то знаки слагаемых a и b не изменяются.

Если число с отрицательное, то знаки слагаемых a и b меняются на противоположные.

Пример:

Найдите значение выражения \(\mathbf<(7,2 - 5,3) \cdot 2>\)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

Ответ: 3,8

Пример:

Найдите значение выражения \(\mathbf<(7,2 - 5,3) \cdot (-2)>\)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

Ответ: -3,8

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Скобки в математике их виды и предназначение

Справочник

Открывая математические правила и законы, ученые одновременно с этим разрабатывают знаки, обозначения и символику. Знаки и символы в математике, в том числе, действия в скобках, — условные обозначения, которые применяют при записи специальных понятий, терминов и выражений. Это своеобразный язык, позволяющий максимально упростить и сократить подачу информации, выразить мысль предельно точно, избежать ошибок, двусмысленных трактовок. Скобки — одни из символов, применяемых особенно часто.

Данная статья посвящена применению скобок при решении задач в математике, действия с ними, область их использования, основные разновидности. Приведены основные термины и методы их применения для различных задач. Имеются примеры с разъяснениями.

Математика: действия со скобками различных видов

Скобки — парные (за небольшим исключением) знаки. Первая называется открывающей, вторая — закрывающей. Они отграничивают определенную часть математического выражения, помогая определиться с порядком выполнения действий.

При решении математических задач применяют 3 разновидности скобок: (), <>, []. Используют, но несколько реже, обратные скобки, которые выглядят так:] и [, а также < и >(уголки). Применение этих знаков всегда является парным, то есть математическое выражение включает открывающуюся и закрывающуюся скобки. Только в этом случае выражение имеет смысл. Назначение этих знаков — разграничение действий и определение последовательности их выполнения.

Область применения круглых скобок:

  • обозначение выражений, с которыми выполняются те или иные математические действия. Пример — возведение многочлена в степень: \[(c+d)^\] и т. д.;
  • указание координат точек в одно- и многомерных системах;
  • компактная запись периодических десятичных дробей;
  • запись отрицательного числа в математическом выражении с целью разделения знаков математического действия и самого числа.

Круглые скобки помогают определиться с последовательностью и приоритетом логических операций и математических действий (как вариант, для изменения существующего алгоритма).

Квадратные знаки применяют для:

  • указания целой части числа;
  • взятия модуля числа;
  • определения порядка действий, аналогично круглым;
  • операций с векторами;
  • указания скобок второго уровня;
  • записи координат, массивов чисел.

Помимо математики, квадратные скобки применяют при записи физических, химических формул, в программировании.

Принципы раскрытия, примеры по математике со скобками

Рассмотрим порядок выполнения действий с примерами со скобками в математике, правила их использования.

Правило 1. Если перед скобками поставлен плюс, — знаки чисел, заключенных внутри, остаются
неизменными. Пример: \[4+(5-1-2+3)=4+5-1-2+3\]

Правило 2. Если перед скобками поставлен минус, то знаки чисел, находящихся внутри, при
раскрытии меняются на противоположные.
Пример: \[a-(b+c-k)=a-b-c+k\]

Правило 3. Если перед скобками или после них находится знак «умножение», — получаемый
результат зависит от выполняемых действий.
Примеры:

Примеры с умножением: \[3 \cdot(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 9)=3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 9 ;(3 \cdot 2
\cdot 9) \cdot 4=3 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 4\]

Примеры с делением: \[3 \cdot(15: 5)=(3-15): 5=(3: 5) \cdot 15 ;(10: 2) \cdot 3=(3 \cdot 10): 2=(3: 2) \cdot
10\]

Правило 4. если перед скобками либо после них поставлен знак «деление», то результат зависит
от того, какие действия выполняют внутри них.

Порядок выполнения действий со скобками в математике

Самое частое использование скобок — указание алгоритма выполнения действий. С этой целью используют круглые символы, одну или несколько пар. Порядок решения — следующий:

  • действие в скобках;
  • умножение, деление;
  • сложение, вычитание.

Пример №1. Если задано выражение 7 + 3 — 1, то действия выполняют последовательно. Порядок действий меняется, если задействовать скобки. Например, в выражении (7 + 3) — 1 вначале выполняют сложение, заключенное в скобки. Результат останется тем же: 9. Если записать выражение, обособив при этом вычитание 7 + (3 — 1), вначале выполняют вычитание в скобках, а затем сложение с числом 7. В данном примере окончательный результат остается тем же.

Пример №2. Рассмотрим, когда от расположения скобок в математическом выражении зависит результат. В выражении \[7+3 \cdot 4\] очевидно, что вначале следует выполнить умножение. Получаем результат 19. Если выражение будет выглядеть как \[(7+3) \cdot 4\], то сначала выполняют сложение в скобках. Конечный результат — 40.

Пример №3. В выражении \[(5 \cdot(8-4)+6): 2\] вначале отнимают 4 от 8. Полученный результат умножают на 5. К произведению прибавляем 6. Последним действием будет деление на 2.

Нередко можно встретить символы различного размера. Делают это из соображений удобства, чтобы упростить порядок действий и переход от одного вычисления к другому. Внутренние скобки всегда меньше внешних. Например, \[\left(\left((7-2): 2+\frac\right)+4-\frac \cdot 5\right) \cdot 3-5\]. Можно также воспользоваться квадратными знаками: \[[4+7 \cdot(4-3)] \cdot 5\]. Или оформить пример символами фигурными: \[<6+[6-12(7-4): 3]+8-4>:[4+7+5:(6-4-1)]\]. Чтобы получить правильный результат, нужно вначале определиться с порядком действий и парами скобок. Чтобы упростить задачу, можно воспользоваться различными их типами или выделять каждую пару «своим» цветом. Последний вариант используется нечасто, так как занимает много времени и попросту неудобен. Использование сочетаний круглых, фигурных и квадратных знаков удобнее.

Скобки в математике и отрицательные числа

Для отображения отрицательных чисел пользуются круглыми символами. Примеры:

Если отрицательное число находится в начале выражения, его не заключают в скобки. Пример: \[-3 \cdot 4+(-8): 2\]. Отрицательное число -3 в начале выражения можно записывать без скобок. Еще один пример: \[\frac\]. Число -2,3 в знаменателе находится в самом начале, поэтому подобное обособление не является обязательным. Впрочем, можно записать эти же выражения и со скобками. Примеры: \[(-3) \cdot 4+(-8): 2\] или \[\frac\]. Такая запись является более строгой, исключающей любые разночтения с алгоритмом выполнения действий.

Со знаком минус могут записываться не только числа, но и степени, корни, функции, дроби. Примеры:

\[6 \cdot(-\sqrt)+8^:\left(-\sqrt[3]-1>\right) ;\]
\[5 \frac<3>-\frac;\]
\[3 \cdot(-(4+3 \cdot 2)) ;\]
\[5 \cdot\left(-\log _ <3>9\right)-3^+9> ;\]
\[\sin x \cdot(-\operatorname 3 x)+2.\]

Скобки, используемые для выражений, с которыми выполняют действия

Круглые скобки применяют при записи действий с возведением в степень, функций, производных. Это позволяет определиться с алгоритмом действий и, таким образом, упростить решение задачи. Рассмотрим эти примеры более подробно, по каждому из пунктов.

Скобки в математике и выражения со степенями

Поскольку степень расположена над строкой, скобки при записи используют не всегда. Например, в выражении \[3^\] они будут явно лишними, поскольку и так понятно, что выражение \[x+2\] является показателем степени. Скобками придется воспользоваться, если степень записывают с применением знака ^. То же самое выражение будет выглядеть так: \[3 \wedge(x+2)\]. Если пренебречь обособлением, то получатся совершенно иные выражения: \[3^+2\], или \[ 3^+2\].

Основание степени может быть как в скобках, так и без. Примеры, когда в них нет необходимости: \[2^ ; 3^+9> ; y^\]. Если основанием степени является дробь, то можно воспользоваться круглыми символами: \[(0,95)^ ;\left(2 \frac\right)^ ;(5 \cdot x+3 y)^ ;\left(\log _ x-5\right)^<-\frac x>-3\]. Если основание степени не заключить в скобки, то получится совершенно иной результат.

Например, если основанием степени является выражение \[x^+2 y\], а показателем — -2, то степень будет записана таким образом: \[\left(x^+2 y\right)^\]. Если обособления нет, то выражение примет вид \[\left(x^+2 y\right)^\], то есть станет совершенно иным.

Если в качестве основания степени используется тригонометрическая функция или логарифм, выражение можно записать как с применением скобок, так и без них. Например, степени \[\sin ^ x \text < и >(\sin x)^\] равноценны. Аналогично, тождественны и такие выражения, как \[(\lg x)^ \text < и >\lg ^ x\].

Выражения, содержащие корни, и скобки

Применять знаки в подкоренном выражении не обязательно. На решение они никак не повлияют. Пример: \[\sqrt \text < и >\sqrt\] — равнозначные выражения.

Выражения с тригонометрическими функциями и скобки

Применение круглых скобок целесообразно, если под знаком тригонометрической функции находится отрицательное число или многочлен. Символы определяют принадлежность выражения к данной функции. Примеры: \[\operatorname(-3), \sin (x+5), \operatorname\left(\frac-5 \frac\right)\].

Нет смысла в применении ограничений, если под знаком тригонометрической функции присутствует выражение с корнем или степенью. Примеры: \[\sin \sqrt+1>, \operatorname 2^\].

Скобки не используют при наличии в выражении кратных углов. Например, \[\sin 2 \alpha, \operatorname 5 x\]. Иногда они бывают нужны обязательно, чтобы избежать двусмысленности в записи. Например, \[\cos (3 \cdot x): 2, \text < a нe >\cos 3 \cdot x: 2\].

Примеры по математике со скобками в выражениях, содержащих логарифмы

Как правило, выражения, находящиеся под знаком логарифма, заключают в скобки.

Примеры: \[\lg \left(\mathrm^-\mathrm\right), \log _-\left(x^+2 x^+1\right), \lg ((x-3) \cdot(x+5))\].

Пренебречь их использованием возможно, когда принадлежность выражения к логарифму понятна однозначно. Это касается дробей или корней: \[\log _ x^, \lg \sqrt, \ln \frac-1>\]

Скобки и выражения с пределами

Если выражение, относящееся к пределу, представлено в виде суммы, разности, частного или произведения, то его заключают в скобки.

Примеры:

\[\lim \left(\frac+x+5\right), \lim \left((x+1) \frac<(\sqrt-1)(\sqrt-2)>\right)\]

Без обособления можно обойтись, если под знаком предела находится простая дробь или, как вариант, однозначно понятно, к какому выражению относится предел.

Скобки и производные

Если под знаком производной находится сложное выражение, то следует воспользоваться круглыми скобками. Пример: \[(x+5)^<\prime>,\left(\frac-\sqrt\right)^<\prime>\].

Запись подынтегральных выражений

Подынтегральные выражения записывают с использованием круглых скобок.

Примеры: \[\int\left(x^+5 x\right) \mathrm x, \int_^(\cos 3 x-\sqrt) \mathrm x, \iiint(5 x y+2 z) \mathrm x \mathrm y \mathrm z\].

Отделение аргумента функции скобками

Записывая функцию, как правило, пользуются круглыми скобками. Если функция обозначена литерой f, а аргумент — x, то общий вид функции — \[f(x)\]. При наличии нескольких аргументов функция имеет вид \[F(x, t, z)\].

Особенности написания периодических дробей

Скобки применяют при записи периодических дробей — в них заключают период. Например, если дробь имеет вид 0,54545454…, то ее можно записать в более компактном виде, характерном для периодических дробей: 0,(54). Еще один пример рациональной записи периодической дроби: 0,46(27). В обычном виде она выглядит следующим образом: 0,4627272727….

Нет времени решать самому?

Скобки в математике: их виды и предназначение

В данной статье рассказывается о скобках в математике, делается своеобразный их анализ, объясняется, зачем они нужны, рассматриваются виды и применения, термины и методы использования при решении или для описания материала. В заключение будем решать подобные математические примеры с подробными комментариями.

Основные виды скобок, обозначения, терминология

Для решения задач или заданий в математике (алгебре и геометрии) и дискретной математике используются три вида скобок: ( ) , [ ] , < >. И это, на самом деле, немало. Реже встречаются скобки такого вида ] и [ , называемые обратными, или < и >, то бывают в виде уголка или треугольные, угловые скобки (первая пара обозначает, в какую сторону пишется знак меньше). Что означает такой знак в математике и в чем их разница? Их применение всегда парное (двойное), то есть имеется открывающаяся и закрывающаяся скобка в любом выражении, тогда оно имеет смысл. Скобки позволяют разграничить и определить последовательность действий.

Скобки для указания порядка выполнения действий

Что означает скобка в принципе? Основное предназначение скобок – указание порядка, в котором нужно сделать действия. Тогда выражение может иметь одну или несколько пар круглых скобок. По правилу всегда выполняется первым действие в скобках, после чего умножение и деление, а позже сложение и вычитание.

Рассмотрим на примере заданное выражение. Если дан пример вида 5 + 3 — 2 , тогда очевидно, что действия выполняются последовательно. Когда это же выражение необходимо записать со скобками, тогда их последовательность меняется. То есть при ( 5 + 3 ) — 2 первое действие выполняется в скобках. В данном случае изменений не будет. Если выражение будет записано в виде 5 + ( 3 — 2 ) , тогда в начале производятся вычисления в скобках (их нужно раскрывать), после такого раскрытия пример должен решаться математиком путем сложения с числом 5 . На исходное значение в этом случае оно не повлияет.

Рассмотрим пример, который покажет, как при изменении положения скобок может перевертываться результат. Если дано выражение 5 + 2 · 4 , видно, что вначале выполняется умножение, после чего сложение. Когда выражение будет иметь вид ( 5 + 2 ) · 4 , то вначале выполнится действие в скобках, после чего произведется умножение. Результаты выражений будут отличаться.

Выражения могут содержать несколько пар скобок, тогда выполнения мат-х действий начинаются с первой. В выражении вида ( 4 + 5 · 2 ) − 0 , 5 : ( 7 − 2 ) : ( 2 + 1 + 12 ) видно, что первым делом выполняются действия в скобках, после чего деления, а в конце вычитание.

Существуют примеры, где имеются вложенные сложные скобки вида 4 · 6 — 3 + 8 : 2 и 5 · ( 1 + ( 8 — 2 · 3 + 5 ) — 2 ) ) — 4 . Тогда начинается выполнение действий с внутренних скобок. Далее производится продвижение к внешним.

Если имеется выражение 4 · 6 — 3 + 8 : 2 , тогда очевидно, что в первую очередь выполняются действия в скобках. Значит, следует отнять 3 от 6 , умножить на 4 и прибавить 8 . В конце следует разделить на 2 . Только так можно получить верный ответ.

На письме могут быть использованы скобки разных размеров, а не только разновидностей. Это делается для удобства и возможности различия или отличия одной пары от другой. Внешние скобки всегда большего размера, чем внутренние. То есть получаем выражение вида 5 — 1 : 2 + 1 2 + 3 — 1 3 · 2 · 3 — 4 . Редко встречается применение выделенных скобок ( 2 + 2 · ( 2 + ( 5 · 4 − 4 ) ) ) · ( 6 : 2 − 3 · 7 ) · ( 5 − 3 ) или применяют квадратные скобки, например, [ 3 + 5 · ( 3 − 1 ) ] · 7 или фигурные скобки < 5 + [ 7 − 12 : ( 8 − 5 ) : 3 ] + 7 − 2 >: [ 3 + 5 + 6 : ( 5 − 2 − 1 ) ] .

Перед тем, как приступить к решению, важно правильно определить порядок действий и разобрать все необходимые пары скобок. Для этого следует добавлять разные виды скобок или менять их цвет. Пометка скобки другим цветом удобна для решения, но занимает много времени, поэтому на практике чаще всего применяют круглые скобки, фигурные и квадратные скобки.

Отрицательные числа в скобках

Если необходимо изобразить отрицательные числа, тогда применяют круглые скобки в выражении. Такая запись, как 5 + ( − 3 ) + ( − 2 ) · ( − 1 ) , 5 + — 2 3 , 2 5 7 — 5 + — 6 7 3 · ( — 2 ) · — 3 , 5 предназначена для того, чтобы упорядочить отрицательные числа в выражении.

Скобки или кавычки не ставятся для отрицательного числа того, когда оно располагается в начале любого выражения или дроби. Если имеем пример вида − 5 · 4 + ( − 4 ) : 2 , то очевидно, что символ минуса перед 5 можно не заключать в скобки, а при 3 — 0 , 4 — 2 , 2 · 3 + 7 + 3 — 1 : 2 число 2 , 2 записано вначале, значит скобки являются нужными. Со скобками может писаться выражение ( − 5 ) · 4 + ( − 4 ) : 2 или 3 — 0 , 4 — 2 , 2 · 3 + 7 + 3 — 1 : 2 . Запись, где имеются скобки, считается более строгой.

Знак минуса может находиться не только перед числом, но и перед переменными, степенями, корнями, дробями, функциями, тогда их следует заключить в скобки. Это такие записи, как 5 · ( − x ) , 12 : ( − 22 ) , 5 · — 3 + 7 — 1 + 7 : — x 2 + 1 3 , 4 3 4 — — x + 2 x — 1 , 2 · ( — ( 3 + 2 · 4 ) , 5 · ( — log 3 2 ) — ( — 2 x 2 + 4 ) , sin x · ( — cos 2 x ) + 1

Скобки для выражений, с которыми выполняются действия

Использование круглых скобок с высокой вероятностью связано с указанием в выражении действий, где имеется возведение в степень, взятие производной, функции. Они позволяют упорядочивать выражения для удобства дальнейшего решения.

Скобки в выражениях со степенями

Выражение со степенью не всегда следует заключать в скобки, так как степень располагается надстрочно. Если имеется запись вида 2 x + 3 , то очевидно, что х + 3 – это показатель степени. Когда степень записывается в виде знака ^, тогда остальное выражение следует записывать с добавлением скобок, то есть 2 ^ ( x + 3 ) . Если записать это же выражение без скобок, то получится совсем другое выражение. При 2 ^ x + 3 на выходе получим 2 x + 3 .

Основание степени не нуждается в скобках. Поэтому запись принимает вид 0 3 , 5 x 2 + 5 , y 0 , 5 . Если в основании имеется дробное число, тогда будут использоваться круглые скобки. Получаем выражения вида ( 0 , 75 ) 2 , 2 2 3 32 + 1 , ( 3 · x + 2 · y ) — 3 , log 2 x — 2 — 1 2 x — 1 .

Если выражение основания степени не взять в скобки, тогда показатель может относиться ко всему выражению, что повлечет за собой неправильное решение. Когда имеется выражение вида x 2 + y , а — 2 – это его степень, то запись примет вид ( x 2 + y ) — 2 . При отсутствии скобок выражение приняло бы вид x 2 + y — 2 , что является совершенно другим выражением.

Если основанием степени является логарифм или тригонометрическая функция с целым показателем, тогда запись приобретает вид sin , cos , t g , c t g , a r c sin , a r c cos , a r c t g , a r c c t g , log , ln или l g . При записи выражения вида sin 2 x , a r c cos 3 y , ln 5 e и log 5 2 x видим, что скобки перед функциями не меняют значения всего выражения, то есть они равноценны. Получаем записи вида ( sin x ) 2 , ( a r c cos y ) 3 , ( ln e ) 5 и log 5 x 2 . Допустимо опущение скобок.

Скобки в выражениях с корнями

Использование скобок в подкоренном выражении бессмысленно, так как выражение вида x + 1 и x + 1 являются равнозначными. Скобки не дадут изменений при решении.

Скобки в выражениях с тригонометрическими функциями

Если имеются отрицательные выражения у функций типа синус, косинус, тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, тогда необходимо использовать круглые скобки. Это позволит правильно определить принадлежность выражения к имеющейся функции. То есть получим записи вида sin ( − 5 ) , cos ( x + 2 ) , a r c t g 1 x — 2 2 3 .

При записи sin , cos , t g , c t g , a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g при имеющемся числе скобки не используют. Когда в записи присутствует выражение, тогда имеет смысл их поставлять. То есть sin π 3 , t g x + π 2 , a r c sin x 2 , a r c t g 3 3 с корнями и степенями, cos x 2 — 1 , a r c t g 3 2 , c t g x + 1 — 3 и подобные выражения.

Если в выражении содержатся кратные углы типа х , 2 х , 3 х и так далее, скобки опускаются. Разрешено записывать в виде sin 2 x , c t g 7 x , cos 3 α . Во избежание двусмысленности скобки можно добавить в выражение. Тогда получаем запись вида sin ( 2 · x ) : 2 вместо sin 2 · x : 2 .

Скобки в выражениях с логарифмами

Чаще всего все выражения логарифмической функции заключаются в скобки для дальнейшего правильного решения. То есть получаем ln ( e − 1 + e 1 ) , log 3 ( x 2 + 3 · x + 7 ) , l g ( ( x + 1 ) · ( x − 2 ) ) . Опущение скобок разрешено в том случае, когда однозначно понятно, к какому выражению относится сам логарифм. Если есть дробь, корень или функция можно записывать выражения в виде log 2 x 5 , l g x — 5 , ln 5 · x — 5 3 — 5 .

Скобки в пределах

При имеющихся пределах стоит использовать скобки для представления выражения самого предела. То есть при суммах, произведениях, частных или разностях принято записывать выражения в скобках. Получаем, что lim n → 5 1 n + n — 2 и lim x → 0 x + 5 · x — 3 x — 1 x + x + 1 : x + 2 x 2 + 3 . Опущение скобок предполагается, когда имеется простая дробь или очевидно, к какому выражению относится знак. Например, lim x → ∞ 1 x или lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x .

Скобки и производная

При нахождении производной часто можно встретить применение круглых скобок. Если имеется сложное выражение, тогда вся запись берется в скобки. Например, ( x + 1 ) ‘ или sin x x — x + 1 .

Подынтегральные выражения в скобках

Если необходимо проинтегрировать выражение, то следует записать его в круглых скобках. Тогда пример примет вид ∫ ( x 2 + 3 x ) d x , ∫ — 1 1 ( sin 2 x — 3 ) d x , ∭ V ( 3 x y + z ) d x d y d z .

Скобки, отделяющие аргумент функции

При наличии функции чаще всего применяются круглые скобки для их обозначения. Когда дана функция f с переменной х , тогда запись принимает вид f ( x ) . Если имеются несколько аргументов функций, то такая функция получит вид F ( x , y , z , t ) .

Скобки в периодических десятичных дробях

Использование периода обусловлено применением скобок при записи. Сам период десятичной дроби заключается в скобки. Если дана десятинная дробь вида 0 , 232323 … тогда очевидно, что 2 и 3 мы заключаем в круглые скобки. Запись приобретает вид 0 , ( 23 ) . Это характерно для любой записи периодической дроби.

Скобки для обозначения числовых промежутков

Для того чтобы изобразить числовые промежутки применяют скобки четырех видов: ( ) , ( ] , [ ) и [ ] . В скобках прописываются промежутки, в каких функция существует, то есть имеет решение. Круглая скобка означает, что число не входит в область определения. Что означает квадратная скобка в математике в таком случае? Что число входит в область определения. При наличии бесконечности принято изображать круглую скобку.

То есть при изображении промежутков получим, что ( 0 , 5 ) , [ − 0 , 5 , 12 ) , — 10 1 2 , — 5 2 3 , [ 5 , 700 ] , ( − ∞ , − 4 ] , ( − 3 , + ∞ ) , ( − ∞ , + ∞ ) . Не вся литература одинаково использует скобки. Есть случаи, когда можно увидеть запись такого вида ] 0 , 1 [ , что означает ( 0 , 1 ) или [ 0 , 1 [ , что значит [ 0 , 1 ) , причем смысл выражения не меняется.

Обозначения систем и совокупностей уравнений и неравенств

Системы уравнений, неравенств принято записывать при помощи фигурной скобки вида < . Это означает, что все неравенства или уравнения объединены этой скобкой. Рассмотрим на примере использования скобки. Система уравнений вида x 2 - 1 = 0 x 2 + x - 2 = 0 или неравенства с двумя переменными x 2 - y >0 3 x + 2 y ≤ 3 , cos x 1 2 x + π 3 = 0 2 x 2 — 4 ≥ 5 -система, состоящая из двух уравнений и одного неравенства.

Использование фигурных скобок относится к изображению пересечения множеств. При решении системы с фигурной скобкой фактически приходим к пересечению заданных уравнений. Квадратная скобка служит для объединения.

Уравнения и неравенства обозначаются [ скобкой в том случае, если необходимо изобразить совокупность. Тогда получаем примеры вида ( x — 1 ) ( x + 7 ) = 0 x — 2 = 12 + x 2 — x + 3 и x > 2 x — 5 y = 7 2 x + 3 y ≥ 1

Можно встретить выражения, где имеются и система, и совокупность:

Фигурная скобка для обозначения кусочной функции

Кусочная функция изображается при помощи одиночной фигурной скобки, где имеются формулы, определяющие функцию, содержащие необходимые промежутки. Посмотрим на примере формулы с содержанием промежутков типа x = x , x ≥ 0 — x , x < 0 , где имеется кусочная функция.

Скобки для указания координат точки

Для того, чтобы изобразить координатные точки в виде промежутков, используют круглые скобки. Они могут быть расположены как на координатной прямой, так и в прямоугольной системе координат или n-мерном пространстве.

Когда координата записывается как А ( 1 ) , то означает, что точка А имеет координату со значением 1 , тогда Q ( x , y , z ) говорит о том, что точка Q содержит координаты x , y , z .

Скобки для перечисления элементов множества

Множества задаются при помощи перечисления элементов, входящих в его область. Это выполняется при помощи фигурных скобок, где сами элементы прописываются через запятую. Запись выглядит таким образом А = < 1 , 2 , 3 , 4 >. Видно, что множество состоит из значений, перечисленных в скобках.

Скобки и координаты векторов

При рассмотрении векторов в системе координат используется понятие координат вектора. То есть при обозначении используют координаты, которые записаны в виде перечисления в скобках.

Учебники предлагают два вида обозначения: a → 0 ; — 3 или a → 0 ; — 3 . Обе записи равнозначны и имеют значение координат 0 , — 3 . При изображении в трехмерном пространстве добавляется еще одна координата. Тогда запись выглядит так: A B → 0 , — 3 , 2 3 или A B → 0 , — 3 , 2 3 .

Обозначение координат может быть как со значком вектора на самом векторе, так и без. Но запись координат производится через запятую в виде перечисления. Запись принимает вид a = ( 2 , 4 , − 2 , 6 , 1 2 ) , где вектор обозначается в пятимерном пространстве. Реже можно увидеть обозначение двумерного пространства в виде a = 3 — 7

Скобки для указания элементов матриц

Частое применение скобок предусмотрено в матрицах. Все элементы фиксируются при помощи круглых скобок вида A = 4 2 3 — 3 0 0 12 .

Реже можно увидеть использование квадратных скобок в математике в таких примерах.
Тогда матрица приобретает вид A = 4 2 3 — 3 0 0 12 .

Что означают прямые скобки в математике?

Например, |5 — 7| как понять что такое прямые скобки и какой будет ответ?

Голосование за лучший ответ

Модуль. Ответ 2.

Lera LeraУченик (27) 5 лет назад

А какой ответ? -2 или модуль всегда положительный и будет +2?

Лешка Лешкин Искусственный Интеллект (133280) Добавил в ответ только что. Модуль всегда положительная скалярная величина.

Это означает модуль или абсолютная величина. В твоём случае это 2.
Абсолю́тная величина́, или мо́дуль числа (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа. Обозначается |x|. Если число положительное, то модуль равен этому числу, а если отрицательное, то знак «минус» отбрасывается.

Не забывайте про учебник, там все написано!

(. ), <. >, [. ] — вот это скобки
|-7| — это не в скобках. это модуль. А модуль |-7| = 7

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *