Пи делить на 12 где на окружности
Перейти к содержимому

Пи делить на 12 где на окружности

  • автор:

Калейдоскоп формул для π

«…я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. Возьмите, например, формулу длины окружности — там есть “геометрическое” число $\pi$. Или, скажем, синус — он определяется чисто геометрически.

Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой.»

— из интервью И. М. Гельфанда

«Калейдоскоп» ниже состоит из нескольких «алгебраических» формул для $\pi$ с краткими комментариями. Он также опубликован (с сокращениями) в журнале «Квант» (№5 за 2020 год).

1. Формула Виета

Одна из первых алгебраических формул для $\pi$ — это открытое в XVI веке Виетом бесконечное произведение $$ \frac\pi2=\frac2\cdot\frac2>\cdot\frac2>>\cdot\ldots $$ Это равенство не очень сложно доказать. Идея состоит в следующем. Применяя несколько раз формулу $\sin t=2\sin\frac t2\cos\frac t2$, получаем, что $\sin x=2^n\sin\frac x\cdot(\cos\frac x2\cdot\cos\frac x4\cdot\ldots\cdot\cos\frac x)$. Но при малых $t$ имеет место приближенное равенство $\sin t\approx t$ (говоря точнее, отношение $\sin t/t$ стремится к 1). Поэтому $2^n\sin(x/2^n)\approx x$ (при $n\to\infty$) и, устремляя $n$ к бесконечности, мы получаем разложение синуса в бесконечное произведение $$ \fracx=\cos\frac x2\cdot\cos\frac x4\cdot\cos\frac x8\cdot\ldots $$ Чтобы получить формулу Виета, остается подставить $x=\pi/2$ (и найти косинусы в правой части, пользуясь формулой половинного угла).

Геометрически формула Виета связана с приближением окружности правильными .

2. Формула Лейбница

Во второй половине XVII века Лейбниц нашел замечательно простое представление $\pi$ в виде (бесконечной) суммы рациональных слагаемых, $$ \frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots $$ Для современного студента эта формула, вероятно, самая понятная из собранных здесь: она получается, если подставить $x=1$ в разложение арктангенса в степенной ряд $$ \operatorname x=x-\frac3+\frac5-\frac7+\ldots $$ (отметим, впрочем, что при $|x|>1$ ряд в правой части расходится и доказательство того, что равенство верно не только при $|x|

А в начале XX века Рамануджан нашел ряд формул, обобщения которых сходятся настолько быстро, что позволяют вычислить на достаточно мощном персональном компьютере триллионы знаков $\pi$. Вот одна из таких формул: $$ \frac1\pi = 12\sum_k(-1)^k\fracc_k, $$ где $$ c_k=\frac<640320^<3(k+1/2)>>. $$ Скажем про нее только, что если предыдущие формулы были связаны с тригонометрическими функциями, то эта — с модулярными формами, а $163$ и $640320^3$ — те же числа, что возникают в удивительном (погрешность менее $10^$!) равенстве $$ e^<\pi\sqrt<163>>\approx 640320^3+744. $$

Как на числовой окружности найти числа пи/7 или пи/12 ?

LFP

Дуга пи радиан—это дуга, равная половине окружности. если нужна дуга пи/7 радиан, то нужно пол-окружности разделить на семь равных частей и взять одну такую часть.
если нужна дуга пи/12 радиан, то нужно пол-окружности разделить на 12 равных частей (знаменатель дроби всегда показывает на сколько частей нужно разделить целое) и взять одну двенадцатую часть полукруга.

Новые вопросы в Алгебра

ПОМОГИТЕ ПЖ ДАЮ 40 БАЛЛОВ.

Спростіть вираз: 1-sin²y× (1 + ctg²y)​

надо срочно(((((((((((

[tex]\sqrt <25>=5[/tex] и [tex]\sqrt =-6[/tex] Какое тут правильное и какое не правильное.

Функцію f задано в такий спосіб: [tex]\ \textless \ br /\ \textgreater \ f(x) = \begin\ \textless \ br /\ \textgreater \ 2x+3, \: якщо \: x … ≤-1 \\\ \textless \ br /\ \textgreater \ x², \: якщо \: -1<x<2 \\\ \textless \ br /\ \textgreater \ 4, \: якщо \: x≥2\ \textless \ br /\ \textgreater \ \end\ \textless \ br /\ \textgreater \ [/tex]1) Знайдіть f (-3), f(- 2), f(- 1), f(1), f(3), f (0,5)2) Побудуйте графік даної функції.​

7п/12 на числовой окружности

это вторая четверть при построении угла от положительного направления ОХ против часовой стрелки

Остальные ответы
Там же где и 105 градусов.

левый нижний квадрат

найди тригонометрический круг

Тимур АндреевичМастер (1480) 6 лет назад
Левый ВЕРХНИЙ квадрат!
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Деление круга на равные части

Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала — традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним — нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.

Деление круга на равные по площади части радиусами

Радиус круга
Число частей
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Угол сектора
Длина дуги
Длина хорды
Ссылка Сохранить Виджет

Деление круга на равные по площади части параллельными хордами

Радиус круга
Число частей
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Загрузить
Ссылка Сохранить Виджет

Деление круга на равные части радиусами

Традиционный и очень простой метод деления круга — по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:

  1. Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.
  1. Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах
  1. Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.

Собственно и всё — мы получили все характеристики для N равных секторов

Деление круга на равные части параллельными хордами

Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.

Деление круга на три равные части двумя хордами

Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.

Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x — это координата вдоль оси абсцисс, а y — это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.

y=f(x)

По теореме Пифагора получаем следующую функцию

Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:

Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем

Итак, полное выражение

Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)

Таким образом мы можем приравнять

Что дает нам такое финальное уравнение

Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.

Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.

Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *