Что такое независимые начальные условия
Перейти к содержимому

Что такое независимые начальные условия

  • автор:

№56 Начальные условия переходного процесса.

Начальными условиями называются мгновенные значения отдельных токов и напряжений, а также их первых, вторых и т.д. производных в начале переходного процесса, т.е. в момент коммутации при t=0. Начальные условия делятся на 2 вида: независимые и зависимые.

К независимым начальным условиям относятся токи в катушках iL(0) и напряжения на конденсаторах uC(0). Независимые начальные условия определяются законами коммутации, они не могут измениться скачкообразно и не зависят от вида коммутации. Их значения определяются из расчета схемы цепи в установившемся докоммутационном режиме на момент коммутации t=0.

Пример. Определить независимые начальные условия iL(0), uC(0) в схеме рис. 56.1 при заданных значениях параметров элементов: R1=50 Ом, L=100 мГн, R2=100 Ом, C=50мкФ, а)для постоянной ЭДС e(t)=E=150 В = const; б)для синусоидальной ЭДС e(t) =150sinωt, f=50 Гц.

а) При постоянной ЭДС источника e(t)=E расчет схемы производится как для цепи постоянного тока: катушка L закорачивается, ветвь с конденсатором С размыкается, учитываются только резистивные элементы R.

Независимые начальные условия: iL(0)=1 A , UС(0)=100 В.

б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Еmsinωt расчет схемы производится как для цепи переменного тока в комплексной форме для комплексных амплитуд функций.

Независимые начальные условия

К зависимым начальным условиям относятся значения всех остальных токов и напряжений, а так же значения производных от всех переменных в момент коммутации при t=0. Зависимые начальные условия могут изменяться скачкообразно, их значения зависят от вида и места коммутации.

Зависимые начальные условия определяются на момент коммутации t=0 из системы дифференциальных уравнений (уравнений Кирхгофа), составленных для схемы в состоянии после коммутации, путем подстановки в них найденных ранее независимых начальных условий.

Для рассматриваемой схемы рис. 56.1 система дифференциальных уравнений имеет вид:

а) При постоянной ЭДС источника e(t)=E=const зависимые начальные условия будут равны:

Для определения начальных условий для вторых производных исходные дифференциальные уравнения дифференцируют почленно по переменной t и подставляют в них найденные на предыдущем этапе значения зависимых начальных условий, и т.д.

б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Еmsinωt зависимые начальные условия определяются точно также, как и для цепи с источником постоянной ЭДС.

Начальные условия используются при расчете переходных процессов любым методом.

8.1.3. Начальные условия

Значения величин при (начальные условия) разделяют на зависимые и независимые. Начальные условия, вытекающие из законов коммутации, называют независимыми начальными условиями. Они получаются из расчета установившегося режима до коммутации. Все остальные начальные условия называют зависимыми. Они вычисляются по законам Кирхгофа из схем замещения, составленных для момента времени .

Правила составления схем замещения кратко можно сформулировать следующим образом. При нулевых начальных условиях в момент коммутации катушка ведет себя как разрыв, а конденсатор – как короткое замыкание (рис. 8.3). При ненулевых начальных условиях в момент коммутации катушку можно рассматривать как источник тока , а конденсатор как источник э.д.с. (рис. 8.4). Все остальные элементы цепи переносятся на схему замещения без изменения.

Далее приведем примеры вычисления зависимых и независимых начальных условий.

Построить эквивалентную схему замещения цепи для расчета зависимых начальных условий в цепи, показанной на рис. 8.5,а.

В момент согласно законам коммутации сохраняются значения тока через катушку и напряжения на конденсаторе . Поэтому в момент коммутации катушка равносильна источнику тока , а конденсатор – источнику э.д.с. .

В схеме замещения (рис. 8.5,б) ключ находится в положении после коммутации . При этом источник тока направляют вдоль тока , а источник , в соответствии с принципом компенсации, навстречу напряжению . Э.д.с. внешнего источника в схеме замещения принимает значение , соответствующее моменту времени .

Необходимо отметить, схема (рис. 8.5,б) справедлива только для момента и поэтому не содержит реактивных элементов. Для расчета схемы замещения можно воспользоваться любым из рассмотренных ранее методов (см. главу 2).

Цепь (рис. 8.6) подключена к источнику постоянного напряжения U. Определить значения токов и напряжение на емкости в момент времени , если заданы сопротивления , .

Считаем, что до коммутации был

установившийся режим, в котором конденсатору соответствует разрыв цепи (рис. 8.7,а). Таким образом, токи

Тогда напряжение на конденсаторе в установившемся режиме до коммутации

По закону коммутации для конденсатора .

Схема замещения для расчета начальных условий показана на рис. 8.7,б. Начальные условия вычисляются из системы уравнений по законам Кирхгофа:

Таким образом, значения токов в момент времени :

Значения токов и напряжений в момент времени не зависят от величин реактивных параметров.

Цепь (рис. 8.8) подключается к источнику постоянного напряжения U. определить значения токов и их первых производных в момент времени , если заданы параметры элементов R, L, C.

Независимые начальные ус-

ловия определяются из установившегося режима до коммутации: , .

Для расчета зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа для момента времени :

Решаем систему с учетом законов коммутации: ; . В результате получаем

Из уравнения (8.6) находим производную

Из дифференциального соотношения , определяем производную напряжения на емкости:

Продифференцируем уравнения (8.5) и (8.7) и запишем их для :

Из полученных соотношений находятся недостающие производные:

К цепи (рис. 8.9,а) приложено синусоидальное напряжение В. Определить начальные значения тока в катушке индуктивности, напряжения на конденсаторе и их производных в момент времени , если параметры элементов цепи: =10 Ом; =20 мГн; =100 мкФ.

1. Для расчета тока через катушку и напряжения на конденсаторе в установившемся режиме до коммутации (рис. 8.9,б) применим символический метод. Индуктивное и емкостное сопротивления:

Комплекс амплитудного значения входного напряжения В. Тогда, применяя закон Ома в комплексной форме, получаем

Временные зависимости тока в катушке и напряжения на конденсаторе имеют вид:

В момент коммутации значения этих функций:

Зависимые начальные условия определяем по схеме замещения (рис. 8.10) для момента времени . Начальные условия для напряжения на конденсаторе нулевые, поэтому конденсатору на схеме замещения соответствует закоротка и . Начальные условия для тока через катушку индуктивности ненулевые и на схеме замещения катушке соответствует источник тока А. Приложенное напряжение

Используя уравнение по второму закону Кирхгофа, получаем напряжение на катушке: . Значения производных тока через катушку и напряжения на конденсаторе легко получить из уравнений элементов:

Независимые начальные условия

Независимые начальные условия — электрические параметры, которые не изменяются скачком в момент коммутации, то есть, остаются неизменными в начале переходного процесса в электрической цепи.

Согласно законам коммутации, скачком не могут изменяться напряжения на ёмкостях и токи в индуктивностях. Поэтому значения этих величин в начале коммутации называются независимыми начальными условиями. Они не зависят от условий коммутации.

Все остальные величины — напряжения и токи на активных сопротивлениях, токи через ёмкости, напряжения на индуктивностях — в момент коммутации могут изменяться скачком (а могут и не изменяться). Значения этих величин в начале переходного процесса называются зависимыми начальными условиями.

Определение начальных независимых условий необходимо осуществить до начала расчёта переходного процесса, например, с помощью законов Ома и Кирхгофа, с помощью метода контурных токов и др.

Литература

  • Бессонов Л.А. Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях // Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник. — 11-е изд., перераб. и доп.. — М .: «Гардарики», 2007. — С. 231, 235-236. — 701 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8297-0046-8, ББК 31.21, УДК 621.3.013(078.5)
  • Электрические явления

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Независимая психиатрическая ассоциация
  • Независимый предприниматель Amway

Полезное

Смотреть что такое «Независимые начальные условия» в других словарях:

  • Классический метод расчёта переходных процессов — Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений … Википедия
  • Операторные сопротивления — Операторные сопротивления отображение реальных электрических сопротивлений с помощью методов операционного исчисления, применяемое в операторном методе расчёта переходных процессов в электрических цепях. При преобразовании электрической… … Википедия
  • Операторный метод расчёта переходных процессов — Операторный метод это метод расчёта переходных процессов в электрических цепях, основанный на переносе расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного (либо… … Википедия
  • Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… … Энциклопедия инвестора
  • Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора
  • КАРТОГРАФИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — задачи, возникающие при построении математич. основы географических и специальных карт, именно, при разработке теории картографических проекций, исследовании их свойств, преобразований, методов изысканий и др. Поверхность Земли при этом принимают … Математическая энциклопедия
  • КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… … Математическая энциклопедия
  • Дифференциальное уравнение в частных производных — (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. Содержание 1 Введение 2 История … Википедия
  • Переходные процессы в электрических цепях — … Википедия
  • Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… … Большая советская энциклопедия
  • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
  • �� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

  • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
  • Искать во всех словарях
  • Искать в переводах
  • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Независимые и зависимые начальные условия

В задачах по расчету переходных процессов в электрических цепях под начальными условиями понимают величины токов в ветвях и напряжений на участках цепи в первое мгновение после коммутации t = 0f. Реже в качестве начальных условии рассматривают значения потокосцеплении катушек индуктивности и зарядов на обкладках конденсаторов при t = 0+.

Величины, не допускающие скачкообразное изменение в момент коммутации, т.е. z’L(0+) и г/Д0+), относят к независимым начальным условиям. Они определяются непосредственно из докоммутационного режима. Все остальные токи и напряжения, которые в момент коммутации могут измениться скачком, относятся к зависимым начальным условиям. Они определяются из условия удовлетворения законам коммутации и законам Кирхгофа.

Основные этапы классического метода расчета переходного процесса в линейной цепи

Решение задачи по расчету переходного процесса сводится к нахождению функций времени (обычно i(t) или u(t)), удовлетворяющих системе уравнений Кирхгофа в переходном режиме. В общем случае для линейной цепи система уравнений Кирхгофа — это система линейных неоднородных интегро-дифференциальных уравнений.

Классический метод расчета заключается в непосредственном решении системы интегро-дифференциальных уравнений Кирхгофа, составленных для послекоммутационной цепи.

Согласно теории дифференциальных уравнений решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений можно представить в виде суммы двух составляющих:

  • • частное решение данной системы неоднородных уравнений;
  • • общее решение соответствующей системы однородных уравнений.

Обсудим каждую из названных составляющих с учетом особенностей

решаемых в инженерной практике задач по расчету переходных процессов в линейных цепях.

1. В подавляющем большинстве задач рассматриваемого класса переходный процесс соединяет два различных установившихся режима. Поэтому в качестве частного решения (первая составляющая искомой функции времени) удобно брать токи и напряжения нового установившегося режима. Такое частное решение называется принужденная составляющая и обозначается

ищу(?). Конкретная методика нахождения принужденной составляющей зависит от вида источников, действующих в послекоммутационной цепи.

Если после коммутации в цепи действуют постоянные источники, принужденный режим является стационарным. Принужденную составляющую находим методами расчета стационарных режимов.

При синусоидальной форме источников, действующих в послекоммутационной схеме, для определения принужденных токов и напряжений целесообразно воспользоваться символическим методом.

2. Второе слагаемое искомой функции времени является решением системы однородных интегро-дифференциальных уравнений. К такой системе уравнений можно прийти, приняв в послекоммутационной цепи интенсивности источников равными нулю. Поэтому данное слагаемое не зависит от вида источников. Его называют свободная составляющая и обозначают iCB(t)f ucn(t). Оно определяется только структурой послекоммутационной цепи и величинами R, L, С.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что общий вид свободной составляющей определяется количеством и видом корней характеристического уравнения, соответствующего системе дифференциальных уравнений цепи. Напомним, что общий вид функции означает присутствие в ее выражении неизвестных постоянных коэффициентов, определяемых из дополнительных условий.

Таким образом, для названного класса задач, когда переходный процесс лежит между двумя установившимися режимами, классический метод расчета переходных процессов включает в себя следующие этапы:

  • а) представление искомой функции времени, например i(t), в виде суммы двух составляющих, принужденной и свободной, т.е. i i (?) +
  • б) нахождение принужденной составляющей с использованием методики расчета установившихся режимов;
  • в) определение общего вида свободной составляющей по корням характеристического уравнения; если исключить особые случаи, токи всех ветвей и напряжения па всех участках цепи в переходном состоянии определяются единым характеристическим уравнением;
  • г) расчет неизвестных постоянных из условия удовлетворения законам коммутации и законам Кирхгофа. Для выполнения этого этапа обязательно рассмотрение (или расчет) докоммутационного режима, из которого необходимо знать токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации: iL(0 ) и ис(0 ). Они называются начальными условиями.

Применение изложенной методики показано на примерах 8.1—8.3 [1] .

Пример 8.1. Определить зависимости от времени тока в индуктивности i(t) и напряжения на индуктивности uL(t) в цепи, изображенной на рис. 8.1, после замыкания ключа в момент времени t = 0. Заданы следующие параметры цепи: /к = const = 2 А, Е = const = 200 В, R = 50 Ом, L = 0,01 Гн.

Схема к примеру 8.1

Рис. 8.1. Схема к примеру 8.1

  • 1. До коммутации (ключ разомкнут) в заданной цепи был стационарный режим. В индуктивности протекал постоянный ток, вызываемый источником тока. ПоэтомуiL(0_) = /к = 2 А.
  • 2. Новый установившийся режим (ключ замкнут), называемый принужденным, также является стационарным. Следовательно, индуктивность эквивалентна короткозамкнутой перемычке. Поэтому

3. После замыкания ключа на интервале 0+ где первое слагаемое нами найдено при расчете нового установившегося режима.

Второе слагаемое является решением однородного уравнения, полученного из уравнения (8.4), если принять интенсивность источника ЭДС Еравной нулю, т.е.

Общий вид функции iCB(t) определяется корнями характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению (8.5). Для получения характеристического уравнения проводим алгебраизацию дифференциального уравнения (8.5):

Поскольку характеристическое уравнение имеет первую степень, а следователь! iо, один корень

искомая функция ica(t) может быть представлена экспонентой вида

где Л, — неизвестная постоянная. Обращаем внимание на размерность корня характеристического уравнения — она обратна времени: [/;] = 1/с. Это относится к корням характеристических уравнений для всех задач рассматриваемого класса.

  • 4. Целью следующего расчетного этапа является определение неизвестной постоянной Л у Для этого выполняем следующие шаги:
    • а) записываем полное решение через неизвестную постоянную (т.е. в общем виде):

    б) рассматриваем записанное полное решение в первый момент времени после коммутации t = 0+:

    в) определяем начальное значение искомой функции времени из физических соображений, привлекая законы Кирхгофа и законы коммутации. В данной задаче искомый ток протекает через индуктивность, следовательно, удовлетворяет первому закону коммутации:

    К решению примера 8.1

    Рис. 8.2. К решению примера 8.1:

    а — график зависимости тока i(t) после замыкания ключа в цепи, изображенной на рис. 8.1; б — график зависимости uL(t) в цепи, изображенной на рис. 8.1, после коммутации; в — графики

    функции f(x) = Ле~ х при А > 0 и А >000 ‘(А).

    Зависимость uL(t) найдем, пользуясь соотношением uL = Ldi/dt:

    в) комплексная амплитуда принужденного тока равна

    г) соответствующая синусоидальная функция времени равна iIip (t) = = 4sin(1000r — 30°) (Л).

    В отличие от предыдущего случая, в данном примере принужденная составляющая является функцией времени.

    3. В переходном состоянии на интервале времени 0+ l>l .

    • 4. Расчет постоянной Л, ведем по той же методике, что и в предыдущем примере:
      • а) полное решение имеет вид

    б) при t = 0. из последнего уравнения получаем

    • в) искомая функция времени i(t) является индуктивным током и подчиняется первому закону коммутации, т.е. /(0+) = i(0 ) = 0;
    • г) последнее условие дает уравнение для постоянной: i(0+) = 4sin(-30°) + Ai = = i(0 ) = 0, из которого находим

    Таким образом получаем

    На рис. 8.4 построены графики зависимости от времени найденной функции i(t), а также ее составляющих, принужденной и свободной.

    К решению примера 8.2

    Рис. 8.4. К решению примера 8.2:

    графики зависимостей тока i(t), а также его принужденной и свободной составляющих в цепи, изображенной на рис. 8.3

    Пример 8.3. В цепи, изображенной на рис. 8.5, при t = 0 происходит размыкание ключа, шунтирующего [2] источник тока. Определить временные зависимости iR(t) и ic(t) данного переходного процесса. Параметры цепи следующие: /к = const = 1 А; Е = const =100 В; R = 100 Ом; С = 5 -10 () Ф. Режим до коммутации считать установившимся. Р ис — 8.5. Схема

    Решение к примеру 8.3

    1. До размыкания ключа элементы R, С> Е были включены параллельно, поэтому при выбранном на рис. 8.5 положительном направлении для напряжения на конденсаторе

    • 2. При разомкнутом ключе по окончании переходного процесса ввиду постоянства действующих в цепи источников установится стационарный режим: *спР = hnp = = 1 А.
    • 3. В переходном режиме состояние цепи, изображенной на рис. 8.5, описывается системой двух уравнений, соответвстствующих первому и второму законам Кирхгофа:

    Их совместное решение с учетом соотношения гс = С —т* приводит к уравне-

    Это линейное, неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно напряжения на конденсаторе. Решим его. Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе равна ис = iK R = 1 • 100 = 100 В. Его свободную составляющую записываем, решая соответствующее характеристическое уравнение:

    Следовательно, искомая функция имеет вид С учетом второго закона коммутации для t = 0+ имеем уравнение

    из которого находим А = -200.

    Итак, напряжение на конденсаторе в переходном процессе определяется выражением

    По известной зависимости uc(t) ток в резисторе iR(t) находим при помощи закона Ома:

    Графики функций iR(t) и ir(l) приведены на рис. 8.6.

    К решению примера 8.3

    Рис. 8.6. К решению примера 8.3: графики функций ic(t) и iK(t) в цепи, изображенной на рис. 8.5, после размыкания ключа

    • [1] Внимание: на схемах всех задач по расчету переходных процессов изображено докомму-тационное состояние ключа.
    • [2] Термин «шунтировать» в инженерной практике применяется для обозначения процессапараллельного подключения добавочного элемента к некоторому участку цепи. Параллельноподключенная короткозамкнутая перемычка называется шунтом.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *