Что такое дифференциал в интеграле
Перейти к содержимому

Что такое дифференциал в интеграле

  • автор:

Что такое дифференциал в интеграле

Очень простыми. Я слишком смутно это понимаю (диф. — это кусок например
растояния, которое относится к куску например времени?). Мне бы почетче эти
вещи понять, т.к. все задачи только на них сейчас у меня построены.
Поподробнее, пожалуйста и попроще.

Miguel Mitrofanov
2006-09-12 05:00:38 UTC

Hello, Andrey! You wrote:

AT> Очень простыми. Я слишком смутно это понимаю (диф. — это кусок
AT> например растояния, которое относится к куску например времени?).
AT> Мне бы почетче эти вещи понять, т.к. все задачи только на них
AT> сейчас у меня построены.

Ты б ещё «Капитал» попросил в двух словах пересказать. ТАК информация
сжимается оччень редко — пожалуй, только в мексиканских сериалах.


Miguel ***@yandex.ru
LJ migmit http://miguel-0.narod.ru
Ivan Koznacheev
2006-09-13 06:36:37 UTC

Post by Andrey Tuliev
Очень простыми. Я слишком смутно это понимаю (диф. — это кусок например
растояния, которое относится к куску например времени?). Мне бы почетче эти
вещи понять, т.к. все задачи только на них сейчас у меня построены.
Поподробнее, пожалуйста и попроще.

Почитай у Толстого в «Войне и Мире», Том Третий, Часть Третья (я не шучу).


Иван Козначеев.

Кто знает, тот поймёт.

Отправлено через сервер Форумы@mail.ru — http://talk.mail.ru

Andrey Tuliev
2006-09-13 18:34:28 UTC

Post by Andrey Tuliev
Очень простыми. Я слишком смутно это понимаю (диф. — это кусок например
растояния, которое относится к куску например времени?). Мне бы почетче эти
вещи понять, т.к. все задачи только на них сейчас у меня построены.
Поподробнее, пожалуйста и попроще.

Почитай у Толстого в «Войне и Мире», Том Третий, Часть Третья (я не шучу).

— хватит издеваться. Если лень пояснять, дали бы линк в Инете, где можно
прочитать. «Войну и Мир» лет 10 — 15 назад читал, про интегралы ничего не
помню. Не думаю, что могу изучать математику по Толстому. Вопрос для меня
серьезный, если не можете помочь — лучше мимо пройдите.

Miguel Mitrofanov
2006-09-14 06:31:17 UTC
Post by Ivan Koznacheev
Почитай у Толстого в «Войне и Мире», Том Третий, Часть Третья (я
не шучу).

AT> — хватит издеваться. Если лень пояснять, дали бы линк в Инете,
AT> где можно прочитать. «Войну и Мир» лет 10 — 15 назад читал, про
AT> интегралы ничего не помню. Не думаю, что могу изучать математику
AT> по Толстому.

Не можешь. Более того — по ЛЮБОМУ изложению «парой слов» ТОЖЕ не
можешь. Бери учебник и читай. Царских путей в геометрии до сих пор не
протоптали.


Miguel ***@yandex.ru
LJ migmit http://miguel-0.narod.ru
Ivan Koznacheev
2006-09-14 06:50:59 UTC
— хватит издеваться. . Не думаю, что могу изучать математику по Толстому.

Эх зря вы так про классика. Я, когда 10-15 лет назад читал, был поражён
как тонко Толстой описал основы классического дифференциального
исчисления, цитату на страницу даже в отдельный цитатник себе выписал.
Только не могу этот цитатник найти, а бумажной «Войны и мира» под рукой нет.

Конечно, формулы писать Толстой Вас не научил бы, но общее представление
о понятиях, что видимо Вы и хотели, дал бы. Ну раз Вы не хотите
по-хорошему, будет по-плохому. Лучше Толстого я ведь не смогу написать.

Дифференциал — бесконечно малое изменение (приращение). То что раньше
обозначалось символом «дельта» перед символом переменной начинает
стремиться к нулю и переходит в дифференциал. Переменная под знаком
дифференциала может быть как независимой, так и зависимой от
независимой. Соответственно в первом случае говорят о дифференциале
независимой переменной (аргумента), во втором случае о дифференциале
зависимой переменной (функции).

Пример: для функции y(x) дифференциал аргумента dx, дифференциал функции dy.

Для дифференцируемой функции одной переменной дифференциал функции равен
произведению производной и дифференциала аргумента.

Пример: для y(x)=x^2, dy=2x*dx.

Если есть несколько независимых переменных, то под полным дифференциалом
подразумевают выражение имеющее вид суммы произведений частных
производных некоторой функции и дифференциалов соответствующих
независимых переменных.

Пример: для z(x,y)=x^2*y, dz=2x*y*dx+x^2*dy.

Соответственно, выражения представляющие собой сумму произведений
некоторых функций на дифференциалы независимых переменных не
удовлетворяющие этому условию называются неполными дифференциалами.

Неопределённым интегралом функции одной переменной (есть конечно куча
определений интеграла по Лебегу, . но я напишу как проще и как я
лучше знаю и понимаю) называется выражение, дифференциалом которого
является подынтегральное выражение (первообразная).

Пример: Int(2x*dx)=x^2+C, ведь d(x^2+C)=2x*dx.

Для функций нескольких переменных это понятие обобщается в интеграл по
контуру, в поверхностный и объёмный интегралы.

Если есть вопросы и есть возможность писать e-mail, можете писать мне
прямо на ivkozn at narod.ru Могу пересказать хоть всё, что в моей голове
имеется, было бы время и желание. А сюда всё это постить будет лишним.


Иван Козначеев.

Кто знает, тот поймёт.

Свойства неопределенного интеграла

Теорема 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Доказательство. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x), тогда

ò f ( x ) dx = F ( x ) + c .

Найдем производную и дифференциал от обеих частей равенства.

( ò f(x)dx ) = (F(x) + c)= f(x),

d ( ò f(x)dx ) = ( ò f(x)dx ) ‘ dx = f(x)dx.

Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство. ò d f(x) = ò f'(x)dx = f(x) + C .

Из теорем 1 и 2 следует, что операции дифференцирования и интегрирования являются взаимнообратными.

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Доказательство. Пусть функция f(x) имеет первообразную F ( x ).

ò f ( x ) dx = F ( x ) + C .

Умножим обе части на k .

k ò f(x)dx = k F(x) + C1, где C1 = k C .

Найдем производную функции kF(x).

( k F ( x )) ‘ = k f ( x ).

Функция k F(x) является первообразной функции k f(x). Следовательно,

ò k f(x)dx = k F(x) + C,

ò k f(x)dx = k ò f(x)dx .

Теорема 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Интегрирование внесением под дифференциал

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Тогда, если $\int f(x) d x=F(x)+C$ и $u=\phi(x)$, то имеет место следующее равенство:

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала полезны следующие равенства для дифференциалов:

Примеры решения интегралов данным методом

Задание. Найти интеграл $\int \sin ^ x \cos x d x$

Решение. Сначала внесем косинус под знак дифференциала

$\int \sin ^ x \cos x d x=\int \sin ^ x d(\sin x)$

Так как $\int t^ d t=\frac>+C$, то

$\int \sin ^ x \cos x d x=\int \sin ^ x d(\sin x)=\frac x>+C$

Ответ. $\int \sin ^ x \cos x d x=\frac x>+C$

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int \operatorname x d x$

Решение. Разложим тангенс, как отношение синуса и косинуса, затем внесем синус под знак дифференциала

$\int \operatorname x d x=\int \frac d x=\int \frac<-d(\cos x)>=-\ln |\cos x|+C$

Ответ. $\int \operatorname x d x=-\ln |\cos x|+C$

1.5. А если подвести функцию под знак дифференциала?

Как вы помните, это ускоренная реализация тех же действий – своеобразная «замена без замены». И если мы подводим функцию под знак дифференциала, то менять пределы интегрирования не нужно! Почему? Потому что в этом случае нет фактического перехода к новой переменной. Недавний пациент:
, то есть, вместо академичной замены с росписью новых пределов интегрирования, мы сразу взяли интеграл. Но здесь на первом шаге нужно проанализировать, что и добавить минус перед интегралом, чтобы в результате раскрытия дифференциала получился исходный интеграл. И ещё могут возникнуть непонятки с интегрированием – в этом случае удобно МЫСЛЕННО обозначить буквой «тэ». И, конечно, выполнить проверку первообразной функции дифференцированием: .

Таким образом, если определённый интеграл не очень сложен,
то всегда старайтесь подвести функцию под знак дифференциала!

Это быстрее, это компактнее в оформлении, и на самом деле – это обыденность, в чём вы убедитесь десятки раз. И раза так два-три прямо сейчас 🙂

Пример 7
Вычислить определенные интегралы
а) , б) , в)

Не пропускаем задания!! ;), и обязательно сверяемся в конце книги.

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

© mathprofi.ru / com, 2010-2024, Высшая математика – просто и доступно!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *