Пенсионный фонд владеет ценными бумагами которые стоят
Перейти к содержимому

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами которые стоят

  • автор:

Пенсионный фонд и ценные бумаги: расчёт наиболее выгодного срока для продажи

Просто переходите по ссылке, бот сам вас добавит в notcoin squad «Элитный трейдер». Увеличили количество бустов, видимо хотят чтобы быстрее набралось 21 трлн общих очков и раздать дроп Получи подарок 100K немонет или 1 лям если у вас премиум Реклама Продолжаем цикл статей, посвящённых решению экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задача на тему продажи ценных бумаг наиболее выгодным способом при имеющихся условиях была впервые предложена на ЕГЭ по математике профильного уровня 2017 года. Разберём две задачи, связанные с пенсионным фондом и ценными бумагами.

Задачи для разбора взяты из реальных вариантов ЕГЭ прошлых лет, которые размещены на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ.

Задача 1. Рассчитать процент r, при котором ценные бумаги можно будет продать в конце определённого года для получения наибольшей прибыли.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. руб. в конце года t (t = l, 2, . ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце 25-го года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце 21-го года. При каких положительных значениях r это возможно?

I способ. В конце года стоимость ценных бумаг растёт по заданному правилу. Будем считать, что одно и то же количество бумаг стоит в конце 1-го, 2-го, . 25-го годов соответственно (тыс. руб.):

12, 22, . 202, 212, 222, 232, 242, 252

Рассчитаем доход при продаже ценных бумаг в конце любого года, кроме последнего, и размещении этих денежных средств в банке под r процентов годовых. Размещённая сумма до 25-го года будет увеличиваться в 1 + r раз ежегодно и составит соответственно:

1-й год: 12 * (1 + r)24

2-й год: 22 * (1 + r)23

20-й год: 202 * (1 + r)5

21-й год: 212 * (1 + r)4

22-й год: 222 * (1 + r)3

23-й год: 232 * (1 + r)2

24-й год: 242 * (1 + r)

По условию задачи сумма в конце 25-го года будет наибольшей, если продажа состоялась в 21-м году, то есть наибольшая сумма равна 212 * (1 + r)4. Сравним эту сумму с соседними членами последовательности, получим два неравенства:

Пенсионный фонд и ценные бумаги: расчёт наиболее выгодного срока для продажи

Внимание! Из того, что доход при продаже бумаг в конце 21-го года больше, чем доход при их продаже в конце 20-го и 22-го годов, не следует, что этот доход больше, чем при продаже в любой другой год, а именно это оговорено в условии. Поэтому решение следует дополнить.

Определим, во сколько раз увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с их стоимостью в предыдущий год, если фонд не продаёт ценные бумаги, а хранит их:

Полученное отношение убывает с ростом k, поэтому если фонд хранит ценные бумаги, не продавая их, с течением лет прирост дохода падает, приближаясь к единице. В силу этого, если момент продажи наступил в конце 21-го года, то он не мог наступить ни раньше, ни позже.

II способ. В случае продажи пенсионным фондом ценных бумаг в конце года k в конце 25-го года на его счёте будет:

По условию задачи продавать бумаги следует в конце 21-го года. Следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21-го года, больше, чем при их продаже в конце 20-го и 22-го года.

Согласно монотонности функции, S(k): S(21) > S(20) и S(21) < S(22), что гарантирует выполнение условия S(21) >S(k) для всех k, отличных от 21.

Необходимо и достаточно решить систему неравенств:

Задача 2. Рассчитать, в конце какого года надо продать акции, чтобы прибыль была максимальной

Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (то есть к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и так далее), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

I способ. Пусть акции проданы в конце года t-го за t2 тыс. руб. Вырученная при этом сумма положена в банк на оставшиеся (20 − t) лет под 25% годовых.

Точка максимума лежит в интервале (8; 10).

ЕГЭ Профиль №16. Экономические задачи на оптимизацию. Задача 27

27. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t 2 тыс. рублей в конце года \(t\;\;\left( \right)\) . В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \(1 + r\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Определим прибыль в процентах по сравнению с предыдущим годом, когда деньги были вложены в акции. Так как к концу года t стоимость акций составляет \(\) тыс. руб., а к концу \(\left( \right)\) года – \( <\left( \right)^2>\) тыс. руб., то прибыль в процентах составит: \(y = \frac <<<<\left( \right)>^2> \cdot 100\% >><<>>-100\% = \frac <<<<\left( \right)>^2>->><<>> \cdot 100\% = \frac><<>> \cdot 100\% = \left( + \frac<<>>> \right) \cdot 100\% .\)

Полученная функция является убывающей при \(t > 0.\) Следовательно, прибыль в процентах в ценных бумагах с каждым годом становится меньше.

В конце 20-ого года цена акций 400 тыс. руб., а в конце 21-ого года – 441 тыс. руб. Так как ценные бумаги нужно продать строго в конце 21-ого года, то:

Задачи на оптимизацию. Задание №17 из ЕГЭ

Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t² тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

Решение

Пусть \(y\) — количество лет хранения акций, \(x \) — количество лет держания вырученных от продажи акций средств в банке.

Имеем \(x +y=20\) , откуда \(x=20-y\) .
Запишем уравнение (целевую функцию) прибыли \(y^2+y^2*x*0,25\) , подставим выражение для \(x\) ,
имеем \(y^2+y^2*(20-y)*0,25=y^2+5y^2-0,25y^3\) .
Возьмем производную от полученного выражения, имеем \(12y+0,75y^2\) или \(y=12:0,75=16\) .
Таким образом, держать средства для получения максимальной прибыли следует 16 лет.
Ответ: 16.
Задача №2
Условие:

Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t 3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 3 часов в неделю, они производят t приборов. За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение

Пусть \(x \) — количество приборов, выпущенных на первом заводе, \(y \) — количество приборов, выпущенных на втором заводе. Тогда \(x+y=20\) или выразим \(y\) имеем \(y=20-x\) .

Запишем целевую функцию \(4x^3+у3= 4x^3+(20-x)^3=4x^3+8000-1200x+60x-x^3=3x^3-1140x+8000\) .
Возьмем произодную от полученного выражения имеем \(9x^2-1140=0\) .
Решим полученное уравнение \(x^2=126\) .

Получаем, что на первом заводе следует выпустить 11 приборов. Соответственно, на втором заводе надо выпустить 9 приборов. Посчитаем наименьшую сумму, которую придется заплатить рабочим за неделю.

Имеем \(1000*4*11^3+1000*9^3=1331000*4+729000=5324000+729000=6053000\) .
Ответ: 6053000.
Задача №3
Условие:

Зависимость количества Q (в шт., 0 ≤ Q ≤ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=20000-P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Решение
Запишем целевую функцию, прибыль фирмы, она равна PQ-6000Q- 4000000-tQ.
Подставим в нее значение Q=20000-P.

Имеем P(20000-P)-6000(20000-P)-4000000-t(20000-P)=20000P-P 2 -120000000-6000P-4000000-20000t+tP=-P 2 +14000P+tP-20000t-124000000=-P 2 +P(14000+t)-(20000t+124000000).

По условию задачи эта функция достигает максимума, найдем точку максимума, для этого возьмем производную, приравняем нулю и решим полученное уравнение.

Имеем -2Р+14000+t=0, откуда получаем значение P=7000+t/2.

Подставим полученное значение в целевую функцию, имеем -(7000+t/2) 2 +(7000+t/2)(14000+t)- 20000t+124000000) = 49000000 + 7000t + t 2 /4+98000000+7000t+7000t+t 2 /2=3t 2 /4+21000t+147000000.

Найдем точку максимума, т. е. возьмем производную, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение.
Имеем 1,5t+21000=0 или t=14000.

При этом значении сумма налогов полученных государством будет максимальна. Но у по условию задачи оно должно быть меньше 10000. Поэтому положим t=10000.

Ответ:10000.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Задачи на оптимизацию: пенсионный фонд

Пример 1. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t² тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

Пример 2. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; . ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 24%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Пример 3. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; 3; . ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *