Как найти угол между вектором и плоскостью
Перейти к содержимому

Как найти угол между вектором и плоскостью

  • автор:

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ = | q · s |
| s | · | q |

Так как φ = 90° — ψ , то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ .

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Найти угол между прямой

x — 4 = y + 2 = — z — 6
2 6 3

и плоскостью x — 2 y + 3 z + 4 = 0.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

sin φ = | 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 | =
√ 2 2 + 6 2 + (-3) 2 · √ 1 2 + (-2) 2 + 3 2

= | 2 — 12 — 9 | √ 4 + 36 + 9 · √ 1 + 4 + 9 = |-19| √ 49 · √ 14 = 19 7√ 14

Ответ: sin φ = 19 7√ 14 .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Онлайн калькулятор. Угол между прямой и плоскостью.

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между прямой и плоскостью и закрепить пройденный материал.

Найти угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью

Выберите в какой форме задано уравнение прямой:

Ввод данных в калькулятор для вычисления угла между прямой и плоскостью

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления угла между прямой и плоскостью

  • Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

и уравнение плоскости

A x + B y + C z + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ = | A · l + B · m + C · n | √ A 2 + B 2 + C 2 · √ l 2 + m 2 + n 2

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Как найти угол между вектором и плоскостью

Нахождение координат и длин вектора.
Вычисление угла между векторами.
Составление уравнение плоскости по трем точкам.

Решение задач с доказательством.

Для того, чтобы успешно решать задачи методом координат, полезно помнить:

Чтобы задать вектор, проходящий черерз 2 точки, нужно из координат второй точки вычесть координаты первой точки.

Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат.

Задача. Найти координаты и длины векторов AB, BC, AC, если точки имееют координаты А = (5; 8; 3), B = (1; 0; −3), C = (−2; 5; −1).

AB = (1−5; 0-8; −3−3) = (−4; −8; −6)

AC = (−2−5; 5−8; −1−3) = (−7; −3; −4)

BC = (1−(−2); 0−5; −1−3) = (3; −5; −4)

Для нахождения угла между двумя векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

Задача. Найдите площадь треугольника, ограниченную точками A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

  1. Находим координаты векторов.
  2. Вычисляем косинус угла между векторами.
  3. Через основное тригометрическое тождество получаем синус.
  4. Подставляем в формулу площади.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)

AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2)

Задача. Задайте уравнение плоскости, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6).

  1. Находим координаты векторов.
  2. Задаем матрицу плоскости.
  3. Вычисляем ее определитель, это и есть уравнение плоскости.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)

Первая строчка заполняется переменными x, y, z, и из них вычитаются координаты любой точки плоскости. В данном случае вычитается точка С = ( − 1; 0; 6). Тогда получится такая строка: (x−(−1); y − 0; z−6).

Вторая строчка — координаты первого вектора.

Третья строчка — координаты второго вектора (нет разницы какой из векторов задавать во второй строчке, а какой в третьей).

Четвертая заполняется аналогично первой.

Пятая — аналогично второй.

Теперь перемножаем все значения на одном синем отрезке и складываем с другими значениями на других отрезках:

Аналогично делаем с зелеными отрезками:

Осталось из значений синих отрезков вычесть значения зеленых отрезков:

= −22х −26y − 19z + 92

−22х −26y −19z + 92 — искомое уравнение плоскости, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

P.s. Если вам кажется, что это сложно, то огорчу вас. Одна из первых тем (самых простых), которые вы будите проходить на первом курсе любого университета — это матрицы, так что можно немного облегчить себе жизнь и разобраться заранее.

Задача. Найдите угол между плоскостью, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6), и плоскостью, заданную уравнением

14x + 6y − 27z + 51 = 0.

  1. Задаем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки ( нашли в предыдущей задаче).
  2. Находим косинус угла между плоскостями ( формула аналогична косинусу угла между прямыми).

header

ЕГЭ2022 (математика профиль) в ВК —> Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Написать нам

Курс в записи по интегралам
Уроки и Статьи
Подготовка к ЕГЭ
Занимательная математика
Школьникам
Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Давайте повторим определение угла между прямой и плоскостью. Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть даны плоскость γ и прямая a, которая пересекает эту плоскость и не перпендикулярна к ней. Построим угол между прямой a и плоскостью γ:

ugolpryamoyaiploskostyu1

  1. Из любой удобной для нас точки прямой a опустим перпендикуляр к плоскости γ;
  2. Через точки оснований наклонной и перпендикуляра проведем прямую b . Прямая b — проекция прямой a на плоскость γ;
  3. Острый угол между прямыми a и b – это угол между прямой a и плоскостью γ, т.е. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , где ∠(a;b) — угол между прямыми а и b; ∠(a;γ) — угол между прямой а и плоскостью γ.

Для решения задач с помощью метода координат нам необходимо вспомнить следующее:

ugolpryamoyaiploskostyu1

  1. Направляющим вектором прямойa называется ненулевой вектор , который лежит либо на прямой a, либо на прямой , параллельной a;
  2. Вектор нормали – это ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости γ. Прямая s, на которой лежит вектор нормали, перпендикулярна плоскости γ;

3. Если известны координаты направляющего вектора < a1; b1; c1> и вектора нормали
, то угол между прямой а и плоскостью γ вычисляется по формуле, которую сейчас выведем.

Нам известна формула нахождения угла между прямыми:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a;b), тогда cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
Из (1) и (2) => ; (3)
, где – угол между векторами m и n; (4)
Подставляем (4) в (3) и т.к. ∠(a;b)= ∠(a;γ), то получаем:

4. Если координаты вектора нормали неизвестны, то нам необходимо знать уравнение плоскости.

Любая плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнением

ax + by + cz + d = 0,

где хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от нуля. Эти коэффициенты и будут координатами вектора нормали, т.е. .

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью с помощью метода координат:

  1. Делаем рисунок, на котором отмечаем прямую и плоскость;
  2. Вводим прямоугольную систему координат ;
  3. Находим координаты направляющего вектора по координатам его начала и конца ;
  4. Находим координаты вектора нормали к плоскости;
  5. Подставляем полученные данные в формулу синуса угла между прямой и плоскостью;
  6. Находим значение самого угла.

Рассмотрим задачу:
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AC1 и плоскостью BDD1 .
Решение:

ugolpryamoyiploskostyu3

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке D.
2. Найдем координаты направляющего вектора АС1. Для этого сначала определим координаты точек А и С1:
А(0; 1; 0);
С1(1; 0; 1).
.
3. Найдем координаты вектора нормали к плоскости BB1D1. Для этого найдем координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, и составим уравнение плоскости:
D(0; 0; 0);
D1(0; 0; 1);
В(1; 1; 0);
Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0. Подставим в это уравнение координаты точек:
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D1: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.
Получили систему из трех уравнений:

Подставим в уравнение: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:a
x-y = 0.
Т.о., вектор нормали к плоскости BDD1 имеет координаты:
.
4. Найдем синус между прямой АС1 и плоскостью BDD1:

5. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем косинус угла между прямой АС1 и плоскостью BDD1:

6. Найдем тангенс угла между прямой АС1 и плоскостью BDD1:

Ответ: .

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

risunok

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке B.
2. Найдем координаты направляющего вектора BD . Для этого сначала определим координаты точек B и D:

3. Найдем координаты вектора нормали к плоскости SBC. Для этого найдем координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, и составим уравнение плоскости SBC:

2

Как получили координаты точки S ?

Из точки S опустили перпендикуляр к плоскости основания ABC. Точку пересечения обозначили О. Точка О — проекция точки S на плоскость ABC. Ее координаты по осям х и у будут первыми двумя координатами точки S.

9

Узнав значение высоты пирамиды, мы нашли третью координату точки S (по оси z)

Треугольник SOB — прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора:

10

Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0. Подставим в это уравнение координаты точек:

3

Получили систему из трех уравнений:

4

Подставим в уравнение:

5

Т.о., вектор нормали к плоскости SBD имеет координаты:

.
4. Найдем синус между прямой BD и плоскостью SBD:

7

Ответ: .

  1. отправить денежный перевод с карты на карту мгновенно и без комиссий по ссылке . Ссылка на перевод . В поле «Добавьте комментарий» необходимо указать «в дар» или «подарок».
  2. оставить комментарий ниже.

Автор: Аникина Марина

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *