Что больше среднее арифметическое или среднее геометрическое
Перейти к содержимому

Что больше среднее арифметическое или среднее геометрическое

  • автор:

Что больше среднее арифметическое или среднее геометрическое

Соотнешие между средними величинами — средним арифметическим, средним геометрическом, средним квадратическим и средним гармоническим.

Зачастую в средних класах мы пользуемся известным выражением о том, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше чем среднее геометрические их значение:

(a + b) /2 ≥ √ ab , для любых a, bZ + .

Доказывается неравенство достаточно просто. Умнажаем обе части на 2 и переносим правую честь влево:

a + b — 2 √ ab ≥ 0;

( √ a — √ b ) 2 ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Оказывается, это неравествено — это лишь частный случай т.н. соотношения между средними величинами.

Для двух положительных чисел оно имеет следующий вид (общий случай для n чисел):

Пусть a, bR, тогда иммет место неравенство:

1/a + 1/b

≤ √ abab

≤ √ a 2 + b 2

где части неравества имеют названия (по мере возрастания) — среднее гармоническое, среднее геометрическое, среднее арифметическое, среднее квадратическое.

Докажем его. Покажем, что среднее геометрическое больше, чем среднее гармоническое.

ab ≥ 2ab / (a + b);

ab (a + b) ≥ 2ab; сокращаем на √ ab , т.к. это положительное число.

a + b ≥ 2 √ ab ;

( √ a — √ b ) 2 ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим рассматривалось выше. Докажем, что среднее квадратическое больше среднего арифметического:

√ (a 2 + b 2 ) / 2 ≥ (a + b) / 2; так как справа положительное число, подносим в квадрат обе части:

(a 2 + b 2 ) / 2 ≥ (a 2 + 2ab + b 2 ) / 4; переносим все в левую часть, умножаем на 4:

a 2 — 2ab + b 2 ≥ 0;

(ab) 2 ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Неравенство имеет место для n чисел и звучит так:

Для любых n положительных чисел a1a2 ≤ . ≤ an имеет место соотношение:

na1a2. ana1 + a2 + . + an

≤ √ a1 2 + a2 2 + . + an 2

причем равенство достигается лишь тогда и только тогда, когда a1 = a2 = . = an, где

среднее геометрическое

Геометрическое среднее (geometric mean) — наиболее часто используются для того, чтобы сосчитать среднее значение темпов роста, доходности и т.п. В финансах, при помощи геометрического среднего считаются средние темпы роста прибыли, выручки, доходность фондов и т.п.

Рассчитывается как корень n-й степени произведения n элементов выборки.

геометрическое среднее формула

Геометрическое среднее формула:

считается, что ср. геометрическое лучше подходит для описания показателя прошлой доходности, а для оценки будущих доходов больше подходит среднее арифметическое. Ср. геометрическое лучше суммирует через сложный процент доходы прошлых периодов, а ср. арифметическое дает представление о доходе за 1 период без усложнения доходностей.

среднее геометрическое ниже среднего арифмитического. Разница между ними тем больше, чем больше изменчивость наблюдений от периода к периоду.

Чтобы избежать проблем с вычисленем корная из отрицательных значений, например если в выборке есть потеря -30% портфеля за квартал, то записывать все темпы изменения стоит, прибавляя 1. Например не 23%, -30%, +35%, а — 1,23; 0,7; 1, 35.

Неравенства между средними значениями

Замечание . Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда , и в случае, когда.

Следствие 1 . Для произвольного набора из n положительных чисел

справедливы следующие неравенства между его средними значениями:

Следствие 2 . Для произвольного набора из n положительных чисел

любые два из его средних значений

равны между собой тогда и только тогда, когда все числа

Итак, для n произвольных положительных чисел

справедлива следующая цепочка неравенств:

Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

утверждающее, что среднее геометрическое n положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши .

В случае, когда n = 2 , неравенство Коши имеет вид

Докажем это неравенство:

что и требовалось.

Из неравенства Коши с n = 2 , взяв

нетрудно получить очень полезное следствие .

Следствие . Для произвольного положительного числа x выполнено неравенство

Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом

В случае n переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид:

В случае, когда n = 2 , это неравенство имеет вид:

Докажем это неравенство:

math_in_school

avarage

Поскольку эти понятия используются очень часто, имеет смысл немного о них поговорить. Среднее арифметическое возникает, когда делят поровну. Тут всё понятно – как говорил Шариков – сложить и поделить. Sa =( a + b )/2 .
А что такое среднее геометрическое для a и b ? Это такой отрезок, который будет стороной квадрата, равного по площади прямоугольнику со сторонами a и b . Понятно, что он между a и b . Sg = ( ab) — корень квадратный из произведения.
Сравним Sa V Sg при одних и тех же a и b (для положительных, разумеется ) V – знак сравнения. Его можно заменить на > или < , преобразовав неравенство в такое, которое будет выглядеть очевидным. Понятно, что следует выполнять правила операций с частями неравенства – переносить , добавлять равное или умножать на положительное число.
(a+b)/2 V (ab) ; a + b2 (ab ) V 0 ; a + b2 a b V 0 ;
Левая часть неравенства – полный квадрат a + b2 a b = ( a b ) ² >= 0 Следовательно, знак V в неравенстве Sa V Sg мы имеем право заменить на >= .
Sa >= Sg Среднее арифметическое двух положительных чисел a и b всегда больше или равно их среднему геометрическому, причём равенство достигается при a = b .
Этот факт имеет очень простую и красивую геометрическую интерпретацию. Пусть a + b будут диаметром окружности. Тогда перпендикуляр к диаметру из точки соприкосновения отрезков a и b до пересечения с окружностью даст среднее геометрическое. А радиус – среднее арифметическое. Предлагаю доказать это в качестве упражнения.

А что будет, если чисел не два, а больше? Будет то же самое, но называться станет сложно и страшно – неравенством Коши-Буняковского. Докажем его как-нибудь в другой раз, после того, как разберёмся, что такое математическая индукция.

П.С. Выполняя пожелание old_greeb , рассмотрим ещё одно среднее — гармоническое Sh=2ab/(a+b) Это величина является,например, решением задачи о средней скорости, которой часто морочат головы изучающим физику — заставляя пользоваться точным определением средней скорости, а не интуитивными понятиями. Пусть первую половину пути объект двигался со скоростью а, вторую половину — со скоростью b. Какова средняя скорость? Интуитивный ответ (a+b)/2, очевидно, неверен. Правильное решение по определению скорости, как отношения пути ко времени, даёт V=S/(S/2a +S/2b) = 2ab/(a+b)

Сравним среднее гармоническое и среднее геометрическое. 2ab/(a+b) V (ab) или √( ab)/((a+b)/2) V 1 В числителе — среднее геометрическое, которое меньше среднего арифметического в знаменателе 2ab/(a+b) (ab)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *