Как посчитать погрешность периода колебаний
Перейти к содержимому

Как посчитать погрешность периода колебаний

  • автор:

Результаты измерений периода колебаний математического маятника

Результаты записать для случаев, когда измерения выполнены секундомером, имеющим погрешности: а)с; б)с.

Определение погрешности косвенных измерений

Часто встречается ситуация, когда интересующая нас величина в эксперименте непосредственно не измеряется, но может быть рассчитана с помощью функциональной зависимости от измеряемых величин. В этом случае говорят о косвенных измерениях. Точность определения этой величины зависит как от точности эксперимента, так и от конкретного вида ее зависимости от измеряемых величин.

Пусть величину можно рассчитать, измерив непосредственно некоторые физические величиныи т.д., и пусть погрешности этих величин соответственно равныи т.д. Погрешность величиныможно рассчитать, воспользовавшись формулой

(1)

Здесь — так называемые частные производные, которые вычисляются по обычным правилам в предположении, что остальные переменные (кроме той, по которой выполняется дифференцирование) зафиксированы.

Рассмотрим два примера.

Пример 1.Пусть известны и их погрешности.

Необходимо найти погрешность величины.

Решение.

Таким образом, при сложении или вычитании нескольких величин складываются их абсолютные погрешности:

Пример 2. Известны положительные величиныи их погрешности.Необходимо найти погрешность величины.

Решение.

В скобках стоит сумма относительных погрешностей величин и, а сомножитель перед скобкой равен величине. Отсюда следует

Таким образом, при умножении или делении нескольких величин складываются их относительные погрешности:

Это правило легко обобщается на произвольное число сомножителей.

Теперь рассмотрим конкретный случай. Измеряя время падения тела с некоторой высоты, можно рассчитать ускорение свободного падения по формуле

(2)

(здесь g рассматривается как функция двух переменныхHиt, определяемых экспериментально).

Пусть м,с, тогда

.

Относительная погрешность ускорения свободного падения (см. пример 2) равна

Обратите внимание на то, что перед относительной погрешностью стоит множитель 2, так как времяв формуле (2) стоит во второй степени.

Рассчитаем :

Из этого выражения следует, что абсолютная погрешность равна

.

Таким образом, окончательно получаем:

.

Эта запись означает, что истинное значение ускорения свободного падения лежит в пределах от до.

Приведем более сложный пример. Модуль сдвига материала проволоки , из которого изготовлена пружина жесткостью , можно определить по формуле

,

где — радиус пружины;— радиус проволоки;— число витков пружины. Пусть погрешности измерения величинсоответственно равны . Если использовать формулу (1) для расчета погрешности, то получим следующее выражение:

,

которым неудобно пользоваться из-за его громоздкости. Выражение же для расчета относительной погрешности более компактно:

Рассчитав и, легко определить:

.

Очевидно, что последний способ расчета абсолютной погрешности менее трудоемкий, чем первый.

В заключение приведем таблицу формул для вычисления погрешностей в некоторых частных случаях (табл.3).

Еще раз напомним: при сложении (вычитании) некоторых величин складываются абсолютные погрешности; при умножении (делении) величин складываются относительные погрешности.

Таблица 3

Примеры вычисления абсолютной и относительной погрешностей

Лабораторная работа № 2 Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Цель работы: измерение ускорения свободного падения с использованием формулы Гюйгенса для расчета периода колебаний математического маятника.

Приборы и принадлежности: математический маятник, штатив с зажимом, метровая линейка с миллиметровыми делениями, секундомер или часы с секундной стрелкой.

Расчетная формула

Порядок выполнения работы.

  1. Поставьте штатив на край стола так, чтобы зажим штатива выступал за край стола (рис. 235), и зажмите в нем свободный конец нити длиной не менее 1 м . Измерьте длину маятника не менее 5 раз. Вычислите среднее значение . Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.
  2. Отведите шарик в сторону на и отпустите его.
  3. Измерьте не 3 — 5 раз время 10 колебаний маятника и вычислите среднее значение . Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.
  4. Вычислите среднюю абсолютную погрешность измерения времени . Результаты вычислений занести в таблицу.
  5. Вычислите среднее значение ускорения свободного падения. Результаты вычислений занесите в таблицу.
  6. Определите относительную погрешность измерения ускорения свободного падения и запишите результат измерения в таблицу.

Таблица вычислений и измерений

Измерение ускорения свободного падения на различных высотах при помощи математического маятника

Победитель конкурса

Внеурочная деятельность (конкурсные работы)
Линия УМК А.В. Перышкина. Физика (7-9)
Внеурочная деятельность
Поделитесь в соц.сетях

Внимание! Администрация сайта rosuchebnik.ru не несет ответственности за содержание методических разработок, а также за соответствие разработки ФГОС.

  • Участник: Мингалеев Артур Эдуардович
  • Руководитель: Баскова Мария Аркадьевна

1. Введение

Первым человеком, изучавшим природу падения тел, был греческий ученый Аристотель. Затем Галилео Галилей обобщил и не проанализировал опыт и эксперименты нескольких поколений исследователей. Он предположил, что в среде, свободной от воздуха, все тела будут падать с одинаковой скоростью. Также Галилей предположил, что во время падения скорость тел постоянно увеличивается. Экспериментировать со свободным падением тел продолжил Исаак Ньютон. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

Цель настоящего исследования состояла в получении значения ускорения свободного падения при помощи математического маятника в условиях разного уровня высоты на уровнем моря. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

  1. Ознакомиться с историей открытия свободного падения тел;
  2. Изучить методы измерения ускорения свободного падения на поверхности Земли;
  3. Провести самостоятельные измерения ускорения свободного падения при помощи математического маятника;
  4. Провести измерения на различных высотах.

Гипотеза исследования: логично предположить, что ускорение свободного падения, полученные в разных экспериментах, должны быть близки к значению 9,8 м/с 2 и отличаться на сотые или тысячные доли на глубине станции метро Кремлевская (–34 м) и на высоте небоскреба «Лазурные небеса» (+120 м). Также результаты измерений и вычислений могут отличаться погрешностью измерений.

Методы изучения: самостоятельная, индивидуальная работа в сочетании с теоретическими исследовательскими, проектными формами работы.

Читая много различной в том числе и технической литературы, я узнал о практическом применении различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли. Я измерял g различными способами, рассчитывал погрешности измерений, опираясь на общепринятое значение g, учился грамотно проводить эксперимент. Выяснил, что свободное падение – движение равноускоренное. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Гипотезу о том, что значения ускорения свободного падения должны быть близки к значению 9,8 м/с 2 и отличаться только погрешностью измерений удалось подтвердить разными экспериментами. Наиболее точный результат ускорения свободного падения у меня получился с помощью математического маятника. Поэтому для исследования изменения значения ускорения свободного падения с высотой я выбрал именно этот способ измерения. Погрешность составила не более 10%.

В дальнейшем я хотел бы самостоятельно исследовать зависимость значения ускорения свободного падения от географического положения.

2. Основная часть

2.1. Исторические сведения об открытии свободного падения и методах его измерения

Еще тысячелетия назад люди замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы – этот вопрос первобытных людей не занимал. Тем не менее нашлись люди, которые по мере возможностей начали исследовать это явление. Сначала они проделывали опыты с двумя предметами. Например, брали два камня, и давали возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова бросали два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросали один камень в сторону, и в тот же момент выпускали из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Люди извлекли из таких опытов много сведений о природе. Из опытов с падающими телами люди установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла, и т.д. самых разных размеров. Из подобных опытов выводиться простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны. Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполненными экспериментами, вероятно, долго существовал разрыв. Две тысячи лет назад некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами. Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит и как происходит. Он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности Земли. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против теории Аристотеля и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении, объясняя эти понятия архаичным языком. Великий итальянский ученый Галилео Галилей обобщил имеющиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью.

Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая: все тела при падении движутся одинаково; начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью; движение происходит с «постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т.е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину. Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни (одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 кг). Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня. Итак, мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково. Галилей знал, что простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха. Но он мог лишь уменьшить его и не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений к постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Позже, оглядываясь назад, он смог объяснить различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха.

Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросил сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея. Опыты и рассуждения Галилея привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью. Поэтому верить в него, как в идеальный случай нельзя. Для полного изучения свободного падения тел необходимо знать, какие при падении происходят изменения температуры, давления, и др., то есть исследовать и другие стороны этого явления. Так Галилей установил признак равноускоренного движения:

Таким образом, можно предположить, что свободное падение есть равноускоренное движение. Так как для равноускоренного движения перемещение рассчитывается по формуле, то если взять три некоторые точки 1,2,3 через которые проходит тело при падении и записать: (ускорение при свободном падении для всех тел одинаково), получится, что отношение перемещений при равноускоренном движении равно:

Остается еще добавить небольшой комментарий относительно экспериментов со свободным падением тел Исаака Ньютона. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

2.2. Практическая значимость нахождения значения ускорения свободного падения

Я много читаю и, как следствие склонен фантазировать. Для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь от значения g на другой планете зависит не только сила тяжести. Люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.

2.3. Методы измерения ускорения свободного падения

На самом деле методов по измерению ускорения свободного падения достаточно много. Приведу только те, которые сам испробовал.

1) Измерение ускорения свободного падения с помощью наклонной плоскости

Понадобится следующее оборудование:деревянный брусок, трибометр, штатив с муфтой и лапкой, электронный секундомер, динамометр, измерительная лента, линейка. Рассматривая движение бруска вниз по наклонной плоскости, можно записать второй закон Ньютона в векторном виде:

Формула

Записывая второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

и учитывая, что N = mgcos α ; Fтр = μN; можно решить данную систему уравнений и получить ускорение свободного падения:

g = a
sin α – μcos α

При этом ускорение a можно вычислить из формулы

S = a t 2 ,
2

так как начальная скорость бруска при скольжении по наклонной плоскости равна 0:

a = 2S .
t 2

Видим, что для этого нужно измерить длину наклонной плоскости и время скольжения по ней бруска.

Для вычисления sinα и cosα нужно знать длину S и высоту h наклонной плоскости:

sin α = h
S

Формула

Для определения коэффициента трения скольжения положим трибометр на горизонтальную поверхность и с помощью динамометра равномерно протащим по нему брусок. В этом случае на брусок будут действовать 4 силы: сила тяжести, сила упругости пружины динамометра, сила трения, сила реакции опоры.

Рисунок

При равномерном движении бруска эти силы будут попарно равны: Fтр = Fупр, Fтяж = N, т. е. Fупр = μFтяж, тогда коэффициент трения равен

μ = Fy
Fт

Для меня в этом методе оказалось слишком много математических действий, с которыми в курсе математики я еще не знаком. Поэтому даже не буду приводить результаты проделанных измерений и вычислений.

2) Определение g благодаря давлению жидкости

Как известно давление столба жидкости обусловлено следующими факторами: плотность жидкости, непосредственно высота столба жидкости и само значение ускорения свободного падения на данной планете.

Если преобразовать формулу P = ρ gh, получится формула нахождения g. Эта формула выглядит так g = P / ρ h, где Р – давление в жидкости на глубине h, которое можно узнать с помощью манометра, ρ – плотность воды равное 1000 кг/м 3 .

При подобных измерениях нужно учитывать погрешность измерительного прибора, манометра. Достаточно точного мне найти не удалось, поэтому для своих исследований я выбрал другой метод.

3) Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Необходимое оборудование: секундомер, штатив с муфтой и лапкой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

Формула

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

T = t ,
N

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

g = 4 π 2 l N 2 .
t 2
Подготовка к проведению работы

В работе используется простейший маятник – шарик на нити. При малых размерах по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

Формула

T = t ,
N

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

g = 4 π 2 l N 2 .
t 2

Результаты измерений и вычислений представлены в разделе 2.5

2.4. Теоретические расчеты по определению ускорения свободного падения различных высотах

Теоретически значение ускорения свободного падения на поверхности планеты Земля можно приблизительно подсчитать, представив планету точечной массой M, и вычислив гравитационное ускорение на расстоянии её радиуса R:

g = G M ,
R 2

где G — гравитационная постоянная (G = 6,6743 · 10 –11 (H ·м 2 )/кг 2 ).

При вычислениях я применял такие значения:

R = 6370 · 10 3 м – радиус Земли на широте Казани;

M = 5,9722 · 10 24 кг – масса Земли.

Таким образом теоретическое значение gт = 9,823386 м/с 2 .

g = G M ,
(R ± h) 2

естественно предположить, что ускорение свободного падения на разных высотах будет немного отличаться: на глубине будет больше, а на высоте меньше вычисленного выше.

Возможно эту небольшую разницу можно объяснить погрешностью измерений. Проверим.

Результаты вычислений значения ускорения свободного падения на различных высотах представлены в таблице:

На станции метро Кремлевская

На 36-м этаже небоскреба

2.5. Экспериментальное определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Как уже говорилось ранее, оборудование для проведения измерений требовалось весьма не замысловатое: секундомер, штатив с муфтой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

Формула

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

T = t ,
N

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

g = 4 π 2 l N 2 .
t 2
Ход работы

Для начала я проделал все необходимые измерения в классе, в кабинете физики Лицея № 110. Кабинет находится на втором этаже. Учитывая высоту потолков (около 3 м), логично предположить, что вычисленные значения g должны быть близки к gт.

  1. Я установил на краю стола штатив. У его верхнего конца укрепил с помощью муфты кольцо и подвесил к нему шарик на нити. Шарик должен висеть и свободно совершать колебания.
  2. Нить я взял метровой длины для удобства вычислений.
  3. Отклонив шарик на небольшое расстояние (5-8 см), я возбудил колебания маятника.
  4. Измерил в пяти экспериментах время t 20 колебаний маятника и вычислил tср:
tср = t1 + t2 + t3 + t4 + t5
5
  1. Затем вычислил среднюю абсолютную погрешность измерения времени:
∆tср = t1tср│ + │t2tср│+ │t3tср│ + │t4tср│ + │t5tср
5
  1. Вычислил ускорение свободного падения по формуле:
g = 4 π 2 l N 2 .
t 2

Угол отклонения, период колебаний и погрешность измерения центрального момента инерции физического маятника Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК / СВЯЗЬ ПЕРИОДА И АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ / ПОЛНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕЖАНДРА ПЕРВОГО РОДА / ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ / PHYSICAL PENDULUM / CONNECTION BETWEEN VIBRATION PERIOD AND AMPLITUDE / COMPLETE ELLIPTIC INTEGRAL OF THE FIRST KIND IN LEGENDRE NORMAL FORM / MOMENT OF INERTIA MEASUREMENT ERROR

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Пилипосян С. Е.

Прецизионные измерения центрального момента инерции неоднородного твердого тела, проведенные по методу регистрации периода колебаний, требуют особого внимания к оценке погрешностей измерений. Приведена оценка влияния амплитуды на период колебаний и оценка вклада этой зависимости на погрешность измерения центрального момента инерции. Полученные результаты, позволили уточнить соответствующие формулы оценки систематических и статистических погрешностей, приводимые в литературе.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Пилипосян С. Е.

Измерение момента инерции произвольного твердого тела
Погрешности измерения момента инерции произвольного твердого тела
Учет корреляции периода колебаний t и расстояния а центра масс физического маятника от оси вращения

Новый подход к определению моментов инерции космических аппаратов на основе анализа автоколебательной системы

Параметры центрального эллипсоида инерции тела человека в различных позах
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

DEVIATION ANGLE, VIBRATION PERIOD AND MEASUREMENT ERROR OF PHYSICAL PENDULUM CENTRAL MOMENT OF INERTIA

Special attention should be paid to estimation of measurement errors during precision measurements of central moment of inertia of heterogeneous solid body performed via the method of vibration period recording. The article estimates amplitude effects on vibration period and contribution of this dependence to measurement error of central moment of inertia. The obtained results point out the incorrectness of corresponding formulas for estimation of the systematic and statistical errors given in the monograph of M.M. Gernet and V.F. Ratobylskiy [1].

Текст научной работы на тему «Угол отклонения, период колебаний и погрешность измерения центрального момента инерции физического маятника»

УГОЛ ОТКЛОНЕНИЯ, ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ И ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Прецизионные измерения центрального момента инерции неоднородного твердого тела, проведенные по методу регистрации периода колебаний, требуют особого внимания к оценке погрешностей измерений. Приведена оценка влияния амплитуды на период колебаний и оценка вклада этой зависимости на погрешность измерения центрального момента инерции. Полученные результаты, позволили уточнить соответствующие формулы оценки систематических и статистических погрешностей, приводимые в литературе.

Ключевые слова: физический маятник, связь периода и амплитуды колебаний, полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра первого рода, погрешность измерения момента инерции.

Измерение главных или центральных моментов инерции неоднородных твердых тел является актуальной технических задачей [1-3]. В этих измерениях часто используется метод гармонических колебаний испытуемого тела вокруг заданной оси, при этом измеряется период малых колебаний испытуемого тела как физического маятника. С целью уменьшения погрешности измерения периода колебаний, как правило, приходится измерять совокупное время как можно большего числа (около 100) колебаний маятника, выведенного из состояния устойчивого равновесия. Действия диссипативных сил приводят к затуханию колебаний, поэтому провести измерения при малых колебаниях физического маятника бывает невозможным. То есть когда число колебаний, после которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз, меньше ста (N <100), значение угла начального отклонения ф должен быть достаточно большим ( ф^ 1 >20°). При сухом трении в точках опоры подвеса амплитуда колебаний уменьшается по арифметической прогрессии. При некотором, ненулевом значении амплитуды, эти колебания прекращаются из-за явления застоя, присущего сухому трению. При жидком трении в точках опоры подвеса амплитуда колебаний уменьшается по геометрической прогрессии, и формально колебания длятся бесконечно [4].

имеет общее решение, которое описывает негармонические, но также периодические колебания, с амплитудным (уже немалым) значением угла 0 < ф^ 1 < п. Период этих колебаний Т

зависит от угла ф^ 1. Максимальный угол отклонения колеблющегося маятника от состояния равновесия не может быть больше п, в противном случае возникнет вращательное движение. Приведем связь Т с Т0 [5]. Напомним, что Т0 — период колебаний с амплитудным значением угла отклонения ф^ ^ 0. Так как математический маятник является частным случаем физического маятника, то общее решение приведенного дифференциального уравнения полностью удовлетворяет уравнениям движения математического маятника.

Умножая обе части этого второго порядка линейного однородного дифференциального уравнения на dф и интегрируя, получим

Связь угла отклонения и периода колебаний

Уравнение движения физического маятника

© Пилипосян С.Е., 2011.

dф = -го2 sin9d9, d

Постоянную интегрирования С найдем, записывая начальные условия для угла отклонения физического маятника. Пусть, когда t = 0, ф = ф^ dф / dt = 0. Тогда

Следовательно, (^) = 2ю|; ( шзф — cos9maxl) или ^ = roJ 2 ( шзф — cos9maxl),

откуда следует, что dt=

ГО0 V2 ( COs9 — COs9max1 ) Для интегрирования произведем замену переменных, согласно равенствам

d(sin (5))=. , ‘ ,/(sin (ф/2)), 51п(Ф»„1/ 2) sin lA«/ 2)

, ч 1 cos ( ф / 2) , ч cos (5)

(5)d5=1.s (Ф 2L ^ ^=2sin(Фтах1/2) s (d5.

2sin ( Фтах1 / 2 ) COs ( ф / 2 )

.,у2(С0$ф—C osфl 1 1

maxl ) 4^2 (1 — 2sin2 ( Ф / 2) — 1 + 2sin2 ( ф^ / 2))

^(-s1n2 (Ф / 2) + sm2 ( Фтах1 / 2))

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *