Число у которого ровно 3 делителя
Перейти к содержимому

Число у которого ровно 3 делителя

  • автор:

скажите. числа которые имеют только три делителя

где p 1, p 2 …. рr — различные простые множители числа n, причем число p 1 входит α 1 раз, p 2 входит α 2 раз и т. д.

Если мы знаем вид (3.2.1) для числа, то мы сможем тотчас же ответить на некоторые вопросы об этом числе.

Например, если мы захотим, то можем узнать, какие числа делят число n . Возьмем для примера рассмотренное выше число 3600. Предположим, что число d является одним из его делителей, т. е.

Приведенное разложение на простые множители показывает, что единственными числами среди множителей числа d будут лишь 2, 3, 5. Кроме того, число 2 может содержаться не более 4 раз, а числа 3 и 5 не более, чем по 2 раза каждое. Итак, мы видим, что возможными делителями числа 3600 будут числа вида

d = 2δ1 • 3δ2 • 5δ3,

при этом показатели степени могут принимать значения:

Так как эти значения могут сочетаться всеми возможными способами, то число делителей равно

(4 + 1)•(2 + 1)•(2 + 1) = 5 • 3 • 3 = 45.

Для любого числа n, разложение которого на простые множители дается формулой (3.2.1), положение точно такое же. Если число d является делителем числа n, т. е.

то единственными простыми числами, на которые может делиться число d, будут только те, которые делят число n
, а именно: p 1…, рr . Таким образом, мы можем записать разложение числа d на простые множители в виде

d = p
1δ1 • p 2δ 2 • …. • рrαr , (3.2.2)

Простое число p 1 может содержаться не более α 1 раз, как и в самом числе n ; аналогично — для p 2 и других простых чисел. Это значение для числа δ1 мы можем выбрать α 1 + 1 способом:

аналогично и для других простых чисел. Так как каждое из α 1 + 1 значений, которые может принимать число δ1, может сочетаться с любым из α 2 + 1 возможных значений числа δ2 и т. д. , то мы видим, что общее число делителей числа n задается формулой

τ(n ) = (α 1 + 1) (α
2 + 1)… (α r + 1). (3.2.3)

Система задач 3.2.

1.
Сколько делителей имеет простое число? Сколько делителей имеет степень простого числа рα ?

2.
Найдите количество делителей у следующих чисел: 60, 366, 1970, вашего почтового индекса.

3.
Какое натуральное число (или числа) , не превосходящее 100, имеет наибольшее количество делителей

Найти число, у которого ровно три чётных делителя

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку
[101 000 000; 102 000 000], у которых ровно три различных чётных делителя.
В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания,
написан код на с++

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
int numberOfDividers(int a) { int count = 0; int i = 2; while (i  a) { if (!(a % i)) count++; i += 2; } return count; } int main() { std::vectorint> a; for (int i = 1; i  50; ++i) if (numberOfDividers(i) == 3) a.push_back(i); for (const auto& i : a) std::cout   <" "; }

и на паскале

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
function numberOfDividers(a:integer): integer; var count:integer; begin count := 0; for i : integer := 1 to a do if (((a mod i) = 0) and ((i mod 2) = 0)) then count := count + 1; numberOfDividers := count; end; begin for i: integer := 101000000 to 102000000 do if (numberOfDividers(i) = 3) then write(i, ' '); end.

И там и там, код очень долго запускается и никаких чисел не выводится, как переписать код(желательно на паскале), чтобы он работал быстрее?

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Дан файл целых чисел. Записать в другой файл те элементы исходного файла, у которых ровно три четных делителя
Помогите найти ошибку, пожалуйста. Если ввести числа 2,4 и 8, выводит 4. А если ввести 8 и 18, то.

Найти число с минимальной суммой делителей, имеющее ровно четыре делителя
Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку число с.

У скольких чисел от 1 до 2016 включительно ровно четыре натуральных делителя? (Включая 1 и само число)
У скольких чисел от 1 до 2016 включительно ровно четыре натуральных делителя? (Включая 1 и само.

Найти числа имеющие ровно два различных натуральных делителя
Здравствуйте! Готовлюсь к КЕГЭ 2021 и пишу в основном на с++.Т.к все разборы задач на паскале или.

Эксперт C

27698 / 17315 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

Само число является делителем?
ТОГда все такие числа, кажется, имеют вид 2p 2 , где p — простое число.
Если не является, то, кажется, таких чисел вообще нет.

Эксперт C

27698 / 17315 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

ЦитатаСообщение от повар1 Посмотреть сообщение

признак делимости на 8 (делители 2, 4, 8)
При чем здесь это?
8:2 4 8
50:2 10 50
98: 2 14 98
и так далее.
Регистрация: 20.09.2020
Сообщений: 16

да, делимость на 8 тут не при чем, к сожалению, это не проверять псевдокод, не получится, потому что на учёбе сказали решить эту задачу(

Добавлено через 55 секунд
и да, само число может являться делителем

806 / 611 / 319
Регистрация: 24.02.2017
Сообщений: 2,166

Пост удален из-за условия «ровно». Делители точно четные? Так как в делитель любого числа входит единица, а она нечетная.

Добавлено через 1 минуту
Три делителя имеют квадраты простых чисел.

2696 / 2163 / 677
Регистрация: 29.06.2020
Сообщений: 7,988

Лучший ответ

Сообщение было отмечено Сиба как решение

Решение

по теории Байт,

ЦитатаСообщение от Байт Посмотреть сообщение

ТОГда все такие числа, кажется, имеют вид 2p2, где p — простое число.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
#include #include bool isPrime(int num) { if(num  2) { return false; } if(num == 2) { return true; } if(num % 2 == 0) { return false; } for(int i = 3; i  sqrt(num); i += 2) { if(num % i == 0) { return false; } } return true; } int main() { const int from = 101000000; const int to = 102000000; // short test // const int from = 8; // const int to = 100; int sqr_v; for(int i = from; ito; i+=2) { sqr_v = sqrt(i/2); if ( sqr_v*sqr_v == i/2 ) if ( isPrime(sqr_v) ) std::cout::endl; } return 0; }

Эксперт C

27698 / 17315 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979
SmallEvil, Имхо, лучше генерировать удвоенные квадраты
2696 / 2163 / 677
Регистрация: 29.06.2020
Сообщений: 7,988

ЦитатаСообщение от Байт Посмотреть сообщение

SmallEvil, Имхо, лучше генерировать удвоенные квадраты
Регистрация: 20.09.2020
Сообщений: 16

Эксперт C

27698 / 17315 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

ЦитатаСообщение от Байт Посмотреть сообщение

Если не является, то, кажется, таких чисел вообще нет.

Тут я был не прав.Такие числа (с ровно тремя собственными четными делителями, конечно, есть. Например 16 30. Просто вид у них будет немножко другой.
2p 3 или 2pq

Регистрация: 20.09.2020
Сообщений: 16

странно, с 2р2 числа вывелись правильные и всё совпало с ответом, там выводились именно числа с тремя чётными делителями

Эксперт C

27698 / 17315 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

ЦитатаСообщение от Сиба Посмотреть сообщение

НИЧЕГО СТРАННОГО, я просто рассмотрел 2 разные постановки задачи — с учетом самого числа или без оного. Все коды этого топика рассматривают задачу — с учетом самого числа. Что и правильно

ЦитатаСообщение от Сиба Посмотреть сообщение

и да, само число может являться делителем

А мое соображение в посте 2 оказалось ошибочным. О чем я и известил почтенную публику
ЗЫ. А код уважаемого SmallEvil в посте 6 можно здорово улучшить в смысле эффективности. Но это уже дело вкуса и заинтересованности в улучшениях.

7435 / 5027 / 2892
Регистрация: 18.12.2017
Сообщений: 15,692

ЦитатаСообщение от Байт Посмотреть сообщение

При чем здесь это?
8:2 4 8
разве 2 4 8 это не чётные делители числа 8 ?
806 / 611 / 319
Регистрация: 24.02.2017
Сообщений: 2,166

Yetty, условия задачи для телепатов. Т.е. среди всех делителей числа (четных и нечетных) только три должны быть четными, а остальные нечетные.

7435 / 5027 / 2892
Регистрация: 18.12.2017
Сообщений: 15,692

ЦитатаСообщение от повар1 Посмотреть сообщение

Т.е. среди всех делителей числа (четных и нечетных) только три должны быть четными, а остальные нечетные.

именно так. естественно n — это число чётное, его чётными делителями является число 2, само число n и ещё одно чётное число

Эксперт C

27698 / 17315 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

ЦитатаСообщение от Yetty Посмотреть сообщение

разве 2 4 8 это не чётные делители числа 8 ?

Еще раз повторю. Есть 2 задами.
1. В число делителей входит само число. Такие числа имеют вид 2p 2 . 8 = 2*4 — одно из них
2. Само число в делители не входит (рассматриваются только собственные делители) Такие числа имеют вид 2p 3 или 2pq
Какие еще вопросы?

Регистрация: 24.02.2021
Сообщений: 5

Сиба, Если нужно решение на Python:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
def kolvo_del(x): d = 2 kd = 1 while d * d  x: if x % d == 0: if d % 2 == 0: kd += 1 if x // d % 2 == 0: kd += 1 if kd > 3: return kd d += 1 if d * d == x: kd += 1 return kd for i in range (101000000, 102000000 + 1, 2): if kolvo_del(i) == 3: print(i)

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Найти число, сумма четных цифр которого наибольшая
Ввести с клавиатуры n чисел. Найти среди них число, сумма четных цифр которого наибольшая.

Найти число, сумма делителей которого в три раза больше самого числа
Найти число, сумма делителей которого в три раза больше самого числа (Само число к делителям не.

Дано натуральное число n (n < 9999). Выяснить, верно ли, что это число содержит ровно три одинаковые цифры
Дано натуральное число n (n < 9999). Выяснить, верно ли, что это число содержит ровно три.

Верно ли, что число содержит ровно три одинаковые цифры?
Верно ли, что это число содержит ровно три одинаковые цифры, как, например, числа 6676, 4544, 0006.

Верно ли что число содержит ровно три одинаковые цифры
Пусть x четырехзначное число, верно ли что оно содержит ровно три одинаковые цифры.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Интересные задачи по математике для 5–6 класса

Это квадраты простых чисел. Они делятся на себя, на это простое число и на 1 — ровно три делителя.

Пять делителей

Придумайте два числа, имеющие ровно пять делителей. Сколько таких чисел, меньших 1000? Как можно записать (или описать словами) общий вид таких чисел?

16 делится на 1, 2, 4, 8, 16. Возьмем любое простое число p. Тогда p⁴ делится на 1, p, p², p³, p⁴. Будет ровно 5 делителей.

Сколько таких чисел меньших 1000?

Семь в четвертой степени уже больше тысячи. Меньше тысячи — три таких числа.

Контрольный вопрос на понимание: число имеет ровно пять делителей. Может ли оно делиться на 25? На 27? На 29? На 33?

625 делится на 25. 81 делится на 27. 29 — простое число, его четвертая степень имеет ровно 5 делителей, и делится на 29.

А на 33? Это тяжелый вопрос. 33=3·11 У числа 33 = 3·11 делителей четыре: 1, 3, 11, 33. Само число 33 нам не годится, попробуем его на что-нибудь домножить. Домножим на 3 или на 11, чтобы не очень много новых делителей получилось.

99 делится на 1, 3, 9, 11, 33, 99. Увы, стало 6 делителей. Можно доказать аккуратно, но если вы беседуете и 5–6-классниками, то достаточно и такого объяснения: мы видим, что если мы на что-нибудь домножим, то число делителей вырастет больше, чем на один. Значит, число с пятью делителями на 33 делиться не может.

Четыре делителя

Найдите все натуральные числа меньшие 20, которые имеют ровно 4 делителя. Как можно записать (или описать словами) общий вид таких чисел?

Я не буду приводить все числа, меньшие 20, у которых ровно 4 делителя. Найдите их сами, их пять. Число 33 из прошлого раздела нам подсказывает, как устроены такие числа. Давайте все же начнем с примера:

6 = 2·3 делится на 1, 2, 3, 6. Общий вид p·q, где p и q — простые числа. p·q делится на 1, p, q, p·q.

А еще есть число 8, оно другого вида, но тоже нам подходит. 8 делится на 1, 2, 4, 8. Это число вида p³, где p — простое. p³ делится на 1, p, p², p³.

Понятно, что других видов чисел нет. p² дает 3 делителя, большие степени — больше делителей. А если мы еще на что-то домножим p², p³ или p·q, уже будет больше делителей.

Разумеется, когда мы решаем эту задачу со школьниками, мы идем медленнее, составляем таблицы, у каких чисел сколько делителей, ищем закономерности

Сколько существует чисел кратных 5 и меньших 200, имеющих ровно 4 делителя?

Всю подготовительную работу мы провели. Это либо число 5³, либо 5·p. Перебираем все простые числа от 2 до 37 (потому что 5·40=200), кроме самого числа 5: 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. При умножении на 5 эти простые числа дадут нам удовлетворяющие условию.

Выводы

Последняя задача — уже серьезная задача с олимпиады — вытекает из того, что обычно делают на уроках в 5–6 классе. Только на уроках обычно идут дальше: НОД, НОК и переходим к дробям. Можно не торопиться и покопаться в делителях.

Читайте также:

  • мой телеграм-канал о том, как я учу математике своих сыновей
  • мой телеграм-канал о геометрии
  • мой Дзен

Иллюстрация обложки: Полина Хамитова

Число у которого ровно 3 делителя

Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

Подсказка

Заметьте, обычно всякому делителю m соответствует «парный делитель» – M / m .

Решение

У любого числа M всегда есть делители 1 и M . Если у M есть делитель m , то есть и делитель M /m. Значит, чтобы число M имело три различных делителя, необходимо выполнение условий: m = M /m (то есть M = m ²) и m – простое число. Отсюда следует, что ровно по три различных делителя имеют квадраты простых чисел.

Ответ

Квадраты простых чисел.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Козлова Е.Г.
Название Сказки и подсказки
задача
Номер 160
кружок
Место проведения МЦНМО
класс
Класс 5
год
Год 2004/2005
занятие
Номер 13
задача
Номер 13.4

Проект осуществляется при поддержке и .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *