Как перейти к базису и не
Перейти к содержимому

Как перейти к базису и не

  • автор:

Приведение к базису ИЛИ-НЕ

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток, ребят!
Помогите, пожалуйста.
У меня есть несколько функций.
Их надо привести к базису ИЛИ-НЕ.
Хотя бы одну с пояснениями помогите сделать, пожалуйста..

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Приведение ФАЛ к заданному базису элементов
Здравствуйте! У меня есть функция алгебры логики, мне нужно ее привести к базису логических.

Переход к базису или-не
f1=x1 f2=x2 f3=x2*неx1*x3+x4 f4=неx2*x3+x2*x1*x3+x4

Переход к базису ИЛИ-НЕ
Проверьте пожалуйста, правильно ли я перешел к базису ИЛИ-НЕ?

Проверьте приведение формулы к базису «и» «не»
ГДЕ МОЖНО НАЙТИ ИНФОРМАЦИЮ НОРМАЛЬНУЮ о этом представлении, что читал одни рассказы про философов и.

476 / 279 / 90
Регистрация: 15.11.2013
Сообщений: 530

Лучший ответ

Сообщение было отмечено AleisterCrowley как решение

Решение

Вот у вас есть функция F = A*B + C*D+ E*G*H
Каждое слагаемое дважды инвертируете и преобразуете по закону Де Моргана
F = ~(~A+~B)+ ~(~C+~D)+ ~(~E+~G+~H)

Каждое слагаемое теперь записано в базисе ИЛИ-НЕ, но вся сумма в целом требует операции ИЛИ без инверсии.

Чтобы в базисе ИЛИ-НЕ получить операцию ИЛИ, нужно взять ИЛИ-НЕ и результат инвертировать. Инвертировать с помощью элемента ИЛИ-НЕ можно так: НЕ(X) = ИЛИ-НЕ(Х,Х).

Но вообще-то классический метод перевода функции в базис ИЛИ-НЕ — это преобразование СКНФ (СКНФ дважды инвертируется и преобразуется по законам Де Моргана). Но в данном случае, во-первых, преобразование СДНФ в СКНФ достаточно трудоёмкое; во вторых, СКНФ при шести-то переменных получится огромная, поэтому рекомендую описанный выше метод.

8. Приведение логической функции к заданному базису

Ранее рассмотренные методы позволяют получить ЛФ, содержащую набор операций НЕ, И, ИЛИ. Говорят, что мы строим ЛФ в базисе НЕ, И, ИЛИ. Очевидно, что этот набор является функционально полным, то есть с его помощью можно реализовать любую логическую функцию, и даже имеет некоторую избыточность. Так, свойство функциональной полноты сохраняется, если исключить одну из функций И или ИЛИ. Свойствами функциональной полноты обладают также наборы: 1) И-НЕ; 2) ИЛИ-НЕ и другие.

При проектировании цифровых схем наличие элементной базы или другие причины могут потребовать реализации заданной ЛФ в определенном базисе.

8.1 Приведение логической функции к базису и-не.

Для приведения ЛФ из базиса И, ИЛИ, НЕ в базис И-НЕ используют закон двойного отрицания.

Сначала выполняются операции И-НЕ на минтермах C 1 iF(Ai), а затем операция И-НЕ над результатами.

Пример приведения ЛФ к базису И-НЕ.

Функция представлена в виде карты Карно.

Результат минимизации в базисе И, ИЛИ, НЕ и перевод в базис И-НЕ:

; ;.

Рис.29. Схема в базисе И, ИЛИ, НЕ. Рис.30. Схема в базисе И-НЕ.

8.2. Преобразование лф к базису или-не

За основу следует взять СКНФ ЛФ и использовать закон двойного отрицания.

Сначала выполняют операцию ИЛИ-НЕ на макстермах [CiF(Ai)], а затем операция ИЛИ-НЕ над результатом.

Как и СДНФ, СКНФ сначала следует минимизировать. Практическая последовательность получения минимальной КНФ может быть следующей: __

а) сначала находим инверсную МДНФ F с помощью карт Карно, но контуры проводим вокруг 0-клеток. Правила записи суммы минтермов те же. Для дополнительной минимизации можно в контуры включать безразличные (неопределенные) значения логической функции;

б) инвертируя выражение функции и применяя правило де Моргана, получаем минимальную КНФ.

Рис.31. Пример логической

(для сравнения функция та же,

что и для преобразования в базис И-НЕ).

а) F = X1X3 + X2X3 + X2X3X4;

б) приводим к конъюктивной нормальной форме:

Минимальную КНФ можно получить сразу из карты Карно. Проводим контуры вокруг 0-клеток. Каждому контуру соответствует макстерм (сумма, дизъюнкция) переменных, не изменяющих форму вхождения внутри контура. Если переменная на контуре имеет значение 0, то в макстерм она записывается в прямой форме, если равна 1, то в инверсной форме.

Подвергая МКНФ двойной инверсии и используя правило де Моргана, приводим ЛФ к базису ИЛИ-НЕ. Для рассмотренного примера МКНФ в базисе ИЛИ-НЕ:

Рис.32. Схема в базисе И, ИЛИ, НЕ. Рис.33. Схема в базисе ИЛИ-НЕ.

В результате мы получили четыре варианта реализации логической функции: а) конъюктивная форма в базисе И, ИЛИ, НЕ (рис.29); б) дизъюнктивная форма в базисе И, ИЛИ, НЕ (рис.32); в) в базисе И-НЕ (рис.30); г) в базисе ИЛИ-НЕ (рис.33).

9. Минимизация логических функций с несколькими выходами

При синтезе логических устройств с n входами и m выходами минимизация может проводиться независимо для каждого выхода. Однако, в целом такое устройство может оказаться не минимальным. Дополнительная минимизация может быть проведена путем использования общих элементов, общих минтермов, импликант для формирования различных выходных сигналов. Из этих соображений приведение каждой из выходных функций к минимальной форме не является условием получения минимального в целом устройства. При минимизации устройства в целом некоторые функции и импликанты лучше оставить в неминимальной форме, если они будут общими для нескольких выходов. Если функции имеют общие члены, то можно провести их совместную оптимизацию, выражая одну функцию через другую или вводя промежуточные функции, которые могут быть реализованы один раз и использованы при построении нескольких функций.

В качестве примера минимизации ЛФ с несколькими функциями рассмотрим синтез преобразователя кода 8421 в код 2421.

Обозначим входные переменные, соответствующие отдельным разрядам кода 8421,- Х4,Х3,Х2,Х1, а выходные переменные кода 2421 — Y4,Y3,Y2,Y1.

34. Логический базис и-не. Синтез логических схем по логическому выражению в базисе и-не.

Булевый базис не является единственной функционально полной системой логических функций. Среди других наибольшее распространение получили базис И–НЕ и базис ИЛИ–НЕ.

Чтобы доказать логическую полноту любого базиса, достаточно показать, что в этом базисе можно реализовать базовые функции И, ИЛИ, НЕ.

Для базиса И-НЕ в качестве базового элемента используется элемент приведенный на рисунке рис. 2.5,а.

Реализация с помощью функции И-НЕ базовых функций алгебры Буля осуществляется следующим образом.

Реализация с помощью логической функции ИЛИ-НЕ базовых функций алгебры Буля осуществляется следующим образом.

При синтезе логических схем в заданном базисе логических элементов (например, в базисах И–НЕ, или ИЛИ–НЕ) целесообразно предварительно исходное выражение привести к форме, в которой в выражении будут использованы только логические операции, соответствующие используемым логическим элементам в заданном базисе.

Вопрос 35.Логический базис или-не.Синтез логических схем по логическому выражению в базисе или-не.

Реализация с помощью логической функции ИЛИ-НЕ базовых

функций алгебры Буля осуществляется следующим образом.

ИЛИ: x1 + x2 =

Функция НЕ реализуется с помощью схемы ИЛИ-НЕ с одним

На рис. 2.8. приведена схемная реализация операций И, ИЛИ, НЕ

При синтезе логических схем в заданном базисе логических элементов (например, в базисах И–НЕ, или ИЛИ–НЕ) целесообразно предварительно исходное выражение привести к форме, в которой в выражении будут использованы только логические операции, соответствующие используемым логическим элементам в заданном базисе.

Синтезировать логическую схему в базисе ИЛИ-НЕ, соответствующую выражению:

Используя правило де Моргана, преобразуем исходное выражение таким образом, чтобы последней операцией было отрицание и в выражение были бы только операции ИЛИ.

Полученное выражение, представленное в виде вложенных операций ИЛИ-НЕ, позволяет легко синтезировать соответствующую логическую схему в заданном базисе, которая приведена на рисунке рис. 2.10.

36.Логические элементы. Реализация простейших логических элементов с помощью резистивно-диодной логики. Большинство современных цвм состоят из двух и более архитектурных уровней (до шести).

Элементы ЭВМ, являющиеся представителями низшего иерархического уровня архитектуры компьютера – цифрового логического уровня (схемотехнического), реализованные на радиотехнических деталях, представляют собой мельчайшие компоненты, на основе которых строятся более крупные составляющие вычислительной машины.

— Можно выделить три основные разновидности элементов – логические элементы, запоминающие, специальные.

Логические элементы, так же как и элементы алгебры логики, реализуют логические функции, но эти функции, оставаясь сравнительно простыми, все же сложней, чем базовые функции в алгебре логики. В одном логическом элементе может быть реализовано несколько простых функций. Кроме того, логические элементы характеризуются дополнительными параметрами, такими, как количество входов, нагрузочная способность (количество входов других элементов, к которым можно подключать выход данного элемента).

На рис. 1.1. приведены примеры некоторых логических элементов.

Рис. 1.1. Примеры логических элементов:

а – ИЛИ-И-НЕ; б – И-ИЛИ-НЕ

На выходах элементов указаны логические выражения для выходных сигналов в соответствии с приведенными входными сигналами. На рис. 1, б приведен логический элемент с инверсными входами (в логическом выражении сигнал по такому входу используется в обратном значении).

Примеры реализации простейших логических элементов с помощью диоднорезисторной схемы приведены на рис. 1.2.

На рис.1.2,а приведена реализация логических элементов И. Реализация элемента ИЛИ приведена на рис.1.2,б. Схемы логических элементов построены с условием, что логическая «1» соответствует высокому уровню («+»), а логический ноль – низкому уровню напряжения, близкому «земле». Это соответствие используется и в других реализациях. На рис. 1.2,а соотношение сопротивления резисторов R1 и R2 при заданном напряжении «+U» выбирается таким образом, что без учета шунтирующего действия диодных цепочек напряжение на выходе имеет значение высокого уровня (уровня, соответствующего логической «1»). Источники входных сигналов Uвх1 и Uвх2 имеют малое внутреннее сопротивления. Поэтому, если один или оба источника подают низкий уровень (логический «0»), то из-за шунтирующего воздействия диодных цепочек на резистора R2 на выходе будет иметь место низкий уровень напряжения, соответствующий логическому нулю. Высокий уровень на выходе (логическая «1») будет иметь место только тогда, когда на оба входа подаются единицы, так как соответствующие им высокие уровни напряжения закрывают оба диода. Таким образом, единица на выходе будет иметь место только тогда, когда и x1, и x2 имеют единичные значения. Это означает, что рассматриваемая схема реализует логику И.

Для схемы на рис. 1.2,б соотношение сопротивления резисторов R1 и R2 при заданном напряжении «+U» выбирается таким образом, что без учета воздействия диодных цепочек напряжение на выходе имеет значение низкого уровня (уровня, соответствующего логическому «0»). Если хотя бы один или оба источника входных сигналов подают высокий уровень (логическая «1»), то этот высокий уровень проходит через открытый диод и появляется на выходе. Низкий уровень, т.е. логический «0», будет иметь место только тогда, когда оба входных сигнала имеют низкий уровень. Это означает, что рассматриваемая схема реализует логику ИЛИ.

На рис.1.3 приведены примеры реализации логических функций НЕ (рис. 1.3,а) и ИЛИ-НЕ (рис. 1.3,b) на транзисторах. Транзисторы обозначены символом «Т».

На рис. 1.3,а транзистор открыт, следовательно, на его коллекторе напряжение, близкое к нулевому уровню, тогда, когда на его базе высокий уровень логической единицы, и, наоборот, транзистор закрыт, а следовательно на его коллекторе высокий уровень тогда, когда входной сигнал соответствует низкому уровню нуля. Выходом схемы является коллектор транзистора, поэтому выходной сигнал реализует функцию НЕ.

На рис. 1.3,б на выходе схемы «y» будет низкий уровень (логический нуль) тогда, когда открыт хотя бы один транзистор T1 , T2 , T3 , т.е. тогда, когда хотя бы одна из входных переменныхx1,x2,x3, имеет значение логической единицы. Это означает, что выходной сигнал «y» зависит от входных сигналов по логике ИЛИ- НЕ.

На рис. 1.4 приведены примеры реализации логических функции И-НЕ и функции И на транзисторах.

На рис. 1.4,а на выходе схемы «y» будет низкий уровень (логический нуль) только тогда, когда открыты оба транзистора T1 , T2 , т.е. тогда, когда обе входные переменныеx1,x2 имеют значение логической единицы. Это означает, что выходной сигнал «y» зависит от входных сигналов по логике И-НЕ.

На рис.1.4,б приведена схема, использующая многоэмиттерный транзистор T3 .Транзистор такого типа пропускает ток только тогда, когда имеет место высокий уровень на его базе и низкий уровень хотя бы на одном из его эмиттеров. В приведенной схеме на базу T3 подается постоянный высокий уровень (логическая константа, равная «1»). В этом случае на выходе схемы «y» будет низкий уровень (логический нуль) тогда, когда есть условия протекания тока хотя бы по одному из его эмиттеров, т.е. хотя бы одна из входных переменных x1, x2 , x3 имеет значение логического нуля. Если на все эмиттеры подается логическая единица, то T3 закрыт, а на выходе схеме имеет место высокий уровень, т.е. логическая единица.Это означает, что выходной сигнал «y» зависит от входных сигналов по логике И.

Переход к новому базису и к новой системе координат

Эта небольшая статья появилась на свет значительно позже большинства моих уроков по аналитической геометрии, и предназначена она для более или менее подготовленных читателей, которые знакомы с векторами, матрицами и обладают навыками решения основных тематических задач. Впрочем, что означает «более или менее подготовленных»? …Если Вы понимаете, чем отличается базис от системы координат – тогда смело читайте дальше! Потому что будет очень интересно – сегодня мы станем очевидцами самой настоящей революции в мире векторов! Такие эпохальные события происходят не каждый день, и поэтому нет ничего удивительного в том, что задачи перехода к новому базису и перехода к новой системе координат заметно реже встречаются на практике. Однако, это как раз та тема, которая вызывает наибольшую путаницу и недопонимание у студентов. Дело осложняется ещё и тем, что в различных источниках информации используются разные схемы подачи материала и разные обозначения

Но сейчас пришло время окончательно вас запутать «расставить все точки над i» и расстановка этих точек начинается с «плоского» случая. Кстати, и буква нужная сразу вспомнилась. Рассмотрим привычный ортонормированный базис и два подопытных вектора:

Как вы прекрасно знаете, любой другой вектор плоскости тоже можно разложить по базисным векторам: (причём единственным образом) и записать коэффициенты этого разложения (координаты) в скобках:

И всё бы было тихо-спокойно, но мирную жизнь векторов нарушает появление другого базиса…. Почему он появляется? Так нужно в ряде задач высшей математики. И не только математики.

В качестве демонстрационного базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов, но для удобства объяснений я рассмотрю следующий ортогональный базис :

Переход к новому базису

Обратите внимание, что новый базис не является ортонормированным – длины его векторов отличны от единицы:

Наверное, все понимают происходящие события – когда меняется власть, то все подстраиваются под эту власть. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы найти разложения тех же самых векторов по НОВОМУ базису.

На иллюстрации хорошо видно готовые результаты:
, то есть – это координаты вектора «а» в базисе ;
и – есть координаты вектора «бэ» в новом базисе.

Примечание: заметьте, что «условные единицы» нового базиса в и раз больше единицы исходного базиса.

Но всё хорошо видно лишь потому, что я подобрал простые базисы и удобные векторы, и поэтому нам нужно изучить аналитический метод перехода от одного базиса к другому. Очевидно, что для осуществления такого перехода необходимо как-то связать векторы старого и нового базиса. Первое, что приходит в голову – это разложить векторы «пришлой власти» по базису :

…если вам не понятно, откуда берутся все эти разложения – срочно изучать/повторять «школьные» действия с векторами!

Коэффициенты разложений напрашивается записать в матрицу: . Или так: . …В верном направлении движемся, товарищи! И ту, и другую матрицу называют матрицей перехода от базиса к базису . По техническим причинам чаще встречается 2-й вариант – когда коэффициенты «укладывают» в столбцы.

Но от красивой записи толку мало, и сейчас нам предстоит разобраться, как связаны между собой координаты произвольного вектора в старом базисе с его соответствующими координатами в новом базисе .

! Штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным!

Для решения нашей задачи подставим разложения во 2-е равенство, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Таким образом, с одной стороны, в нашем распоряжении есть старое разложение , но с другой стороны мы получили . Поскольку разложение вектора по базису единственно, то справедливы следующие равенства:

С помощью полученных соотношений можно найти СТАРЫЕ координаты, если известны новые.

Запишем формулы в виде простейшего матричного уравнения:

и выполним проверку, тестируя наши подопытные векторы «а» и «бэ»:

Что и требовалось проверить. Надеюсь, ни у кого не возникло проблем с матричным умножением. Хотя, в случае аварийных недоразумений всегда можно подставить новые координаты в равенства и получить те же самые результаты.

Всё хорошо, всё правильно, но нам-то нужно наоборот – из старых координат получить новые. Давайте присмотримся к нашему матричному уравнению …. В его середине находится матрица с координатами векторов , которые записаны в столбцы. И, обозначив , перепишем уравнение в компактном виде:

Для того чтобы выразить новые координаты через старые, умножим обе части на слева:

В результате ситуация разрешилась самым благоприятным образом:

Теперь нужно найти обратную матрицу. Так как векторы базиса линейно независимы, то определитель и обратная матрица заведомо существует. Я не буду подробно расписывать процесс её нахождения (с которым можно ознакомиться по ссылке) и сразу приведу готовый результат:
– тот редкий случай, когда дробь целесообразно затолкать в матрицу.

Пользуясь уравнением , вычислим координаты векторов в базисе :
, то есть ;
, то есть .
Желающие могут протестировать другие «сподручные» векторы и свериться с чертежом.

Нетрудно догадаться, что в столбцах полученной матрицы находятся коэффициенты разложения векторов старого базиса по векторам нового базиса:

(убедитесь по чертежу в справедливости этих разложений)

и матрица называется (именно так!) матрицей перехода от базиса к базису .

Из статьи о линейных преобразованиях вы узнаете (или уже знаете), что любой квадратной матрице «два на два» соответствует определённое преобразование (грубо говоря, искажение) плоскости, и, как видите, невырожденная матрица «два на два» может иметь и другой геометрический смысл. Любопытные читатели непременно проанализируют, какие линейные преобразования задают рассмотренные матрицы.

Систематизируем алгоритм решения данной задачи: итак, заданы два произвольных базиса плоскости , при этом векторы 2-го базиса выражены через векторы 1-го:

! Обозначения: в данном контексте двойные подстрочные индексы имеют следующий смысл: 1-я цифра обозначает номер координаты, 2-я цифра – номер вектора:
– 1-я координата 1-го вектора (вектора ), – 2-я координата 1-го вектора;
– 1-я координата 2-го вектора (вектора ), – 2-я координата 2-го вектора.
Следует отметить, что в других источниках информации обозначения могут быть другими, я выбрал вариант, который мне показался наиболее понятным.

В базисе дан вектор . Требуется найти его координаты в базисе .

На первом шаге составляем матричное уравнение, при этом коэффициенты разложений «укладываем» в столбцы матрицы: (векторы следует «перебирать» строго по порядку!):

или, если компактнее:

Уравнение, кстати, легко преобразовать в формулы, выражающие старые координаты через новые. Выполняем матричное умножение:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы:

Читателям, углубленно изучающим математику, рекомендую вывести эти формулы самостоятельно (по аналогии конкретных рассуждений в разобранном примере).

Но возвращаемся к нашей задаче. Она элементарна! Находим обратную матрицу и, вычисляя произведение , получаем координаты вектора в базисе :

Простота простотой, но в действительности эта задача вызывает серьёзные затруднения у многих студентов. Связано это, видимо, с не наглядностью изложения материала. Как правило, в типовом источнике можно увидеть два «косых» базиса (если чертёж есть вообще), и вкупе со всеми этими штрихами (популярный стиль), непонятными индексами возникает только одно желание – захлопнуть книгу/закрыть окно. И в демонстрационном примере я специально рассмотрел два «хороших» базиса – чтобы не наглядный материал превратить в ненаглядный =)

…так чувствуется, вам уже не терпится что-нибудь порешать! Пространственный случай для самостоятельного изучения:

1) В трехмерном пространстве заданы базисы , причём:

Записать два матричных уравнения, которые связывают координаты вектора в базисе с его координатами в базисе .

2) .
Найти разложение вектора по базису

Краткое решение и ответы в конце урока.

Следует отметить, что формулировка этой задачи вовсе не подразумевает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Это могут быть векторы и другой природы. Я очень надеюсь, что на данный момент вы всё-таки почитали мои статьи по высшей алгебре и добрались до статьи о линейных преобразованиях, где я обобщил понятие вектора. Однако сейчас у нас на повестке дня аналитическая геометрия, и поэтому я перехожу к рассмотрению второго вопроса:

Переход к новой системе координат

Это не то же самое, что переход к новому базису! Хотя задача родственная.

Наверняка первый чертёж урока вызвал у вас мысль, что «чего-то здесь не хватает». И действительно, коль скоро, речь шла о базисах, то нам было вполне достаточно векторов. А вектор – это птица свободная, и на иллюстрации их вообще можно было расположить как угодно. Но во многих случаях существует потребность учесть преобразование координат точек, и по этой причине возникает необходимость «застолбить» начальную точку отсчёта (начало координат), которая в тандеме с базисными векторами порождает аффинную систему координат.

Рассмотрим две аффинные системы координат плоскости: . Первую систему по нестарой памяти назовём старой, вторую – новой, и, как водится, запишем традиционное разложение:

Не углубляясь в книжные рассуждения, я сразу приведу готовые формулы, позволяющие узнать старые координаты произвольной точки плоскости, если известны её новые координаты :
, где – координаты точки в старой системе координат.

Данные равенства называются формулами преобразования аффинной системы координат, и в них легко просматривается знакомая матрица .

Переход к новой системе координат

Вернёмся к нашим ненаглядным базисам =), на основе которых построим две системы координат: . В качестве начала новой системы координат я выберу точку :

Теперь «укладываем» коэффициенты разложений в «столбцы» формул :

Подопытные точки опять же – синие и пушистые =) Пожалуйста, наклоните голову на 45 градусов влево и убедитесь, что в «оранжевой» системе координат точка имеет координаты , а точка – координаты (коричневые пунктирные линии). Вычислим координаты данных точек в исходном базисе :

В чём и требовалось убедиться.

Однако здесь опять всё «задом наперёд» – ведь в подавляющем большинстве случаев новые-то координаты нам как раз не известны. На очереди знакомая схема действий. Запишем формулы в виде матричного уравнения:

или, если компактнее:

И с помощью стандартных преобразований выражаем столбец новых координат:
, где – координаты точки в новом базисе. Данный столбец рассчитывается по формуле .

В нашем примере обратная матрица уже найдена в предыдущем параграфе и осталось как раз узнать этот столбец:

Пожалуйста, снова наклоните голову влево на и убедитесь, что в новой («оранжевой») системе координат точка обладает именно координатами .

Запишем рабочее матричное уравнение и рассчитаем координаты точек в новой системе координат:

Рассмотренные формулы работают для произвольных аффинных систем плоскости, однако в практических задачах особую важность имеет переход от прямоугольной декартовой системы координат к другой декартовой системе . Но перед тем, как приступить к изучению этого частного случая, я расскажу вам о том, о чём многие слышали, но стеснялись спросить:))

Ориентация плоскости

У плоскости может быть две ориентации. Левая. И правая. Первая ориентация задаётся левоориентированным базисом и, как следствие, левой системой координат, вторая – соответственно, правоориентированным базисом и правой системой.

По сложившейся традиции разбираться будем на пальцах: разверните ладони вверх и прижмите к ним все пальцы, кроме указательных и больших. Теперь совместите указательные пальцы. Большие пальцы при этом расположатся по разные стороны. Наоборот: совместите большие пальцы – тогда по разные от них стороны окажутся пальцы указательные. Это признак того, что символические базисы и порождаемые ими системы координат имеют разную ориентацию.

Если большой палец символизирует 1-й вектор базиса, а указательный палец2-й вектор базиса (ладони развёрнуты вверх),то базис правой руки принято считать правоориентированным, а базис левой руки – левоориентированным.

Так, например, наша «школьная» система координат является правой. Как в этом убедиться? Совместите большой палец правой руки с вектором (первым вектором базиса). Тогда указательный палец будет смотреть в сторону вектора , и это признак того, что базис правоориентирован.

Зеркальная симметрия меняет ориентацию плоскости

Вообще, рассматриваемое понятие весьма удачно характеризует осевая (зеркальная) симметрия, которая меняет ориентацию плоскости. Изобразим в прямоугольной системе брата нашего меньшего и отобразим его симметрично относительно оси ординат:

Совершенно понятно, что как ни перемещай, как ни крути изображения – совместить их не удастся. Это и есть эффект разной ориентации. Обратите внимание, что 1-й координатный вектор тоже подвергся отражению, и левая система задала левую ориентацию плоскости – координатная ось «развернулась» в противоположную сторону и положительные значения стали отсчитываться справа налево. И, кстати, ничто не мешает вести отсчёт именно так! Но тут нас вряд ли поймут – не зря же ориентацию назвали левой =) Хотя чисто «технически» она ничем не хуже.

Если Тузика отобразить симметрично относительно оси , то получим другую левую систему , в которой единичный вектор смотрит вниз.

Взаимную ориентацию двух базисов (а значит и взаимную ориентацию порожденных ими систем координат) можно установить аналитически: если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому больше нуля, то базисы ориентированы одинаково (оба левые или оба правые), в противном случае они имеют разную ориентацию. Так, в демонстрационном примере нашего урока , значит, базисы ориентированы одинаково. И поскольку «школьный» базис считается правым, то – тоже правый (впрочем, это и так очевидно). В Задаче 1 (пункт 2) определитель матрицы перехода отрицателен: , следовательно, базисы задают разную ориентацию трёхмерного пространства. С этим понятием можно ознакомиться в статье о векторном произведении векторов, ну а сейчас пришло время вернуться в основное русло урока:

Преобразование прямоугольных систем координат

На практике наиболее часто приходится осуществлять переход от одной правой декартовой системы координат к другой правой декартовой системе , и в этом случае общие формулы преобразования координат принимают следующий вид:

, где – угол между первыми координатными векторами (не важно, положительный или отрицательный).

Данные формулы, в частности используются в ходе приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду. И, несмотря на то, что они выражают старые координаты точки через новые , равенства называют формулами перехода от старой системы координат к новой. Объяснение просто: если в какое-либо уравнение вместо «икса» и «игрека» подставить правые части этих равенств, то, собственно, именно такой переход и будет осуществлён.

В том случае если новая система координат построена на тех же базисных векторах: , то речь идёт лишь о параллельном переносе начала координат, и формулы донельзя упрощаются:

Параллельный перенос начала координат

Пусть, например, – новое начало:

Тогда старые координаты точки легко получить из новых: ,
а новые – из старых:

Поворот координатных осей

Второй частный случай – это поворот осей с сохранением начала координат:

Так как новое начало координат совпадает со старым, то в формулах преобразования координат исчезают свободные члены:

Для самостоятельного решения:

Прямоугольная декартова система координат получена из системы поворотом на угол .

1) С помощью матричного исчисления вывести формулы, выражающие новые координаты точки через её старые координаты .

2) Найти новые координаты точки , если известно, что угол поворота .

На чертеже выше изображен именно этот легендарный угол, с синуса и косинуса которого начиналось наше знакомство с тригонометрией. Впрочем, если что – тригонометрические таблицы рядом.

Краткое решение и ответ в конце урока.

В общем случае правая прямоугольная система координат получается из системы в два шага:

1) поворотом координатных осей;
2) параллельным переносом начала координат.

Ну, или в другом порядке.

Следует отметить, что для двух левых декартовых систем работают те же самые формулы

Но вот если одна из прямоугольных систем левая, а другая правая, то в двух местах следует поменять знаки:

Кстати, здесь уже нельзя рассуждать о «чистом повороте» координатных осей, поскольку с помощью него невозможно «совместить двух Тузиков». И как раз одна система координат получается из другой в том числе с помощью зеркальной симметрии.

Аналогичные формулы преобразования аффинных систем координат имеют место быть в трёхмерном пространстве:
, где:

где – координаты точки в аффинной системе ;
– её координаты в системе ;
– координаты начала в системе .

Грубо говоря, здесь прибавилась одна координата и принципиальная схема рассуждений не изменилась. Но разнообразия (тех же поворотов), стало, безусловно, больше.

И, разумеется, рассмотренный математический аппарат работает для векторов произвольной природы, в том числе векторов бОльшей размерности.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Задача 1 Решение:
1) Матричное уравнение , где позволяет найти координаты вектора в базисе , если известны его координаты в базисе . Матричное уравнение соотносит координаты в другом порядке

2) Запишем матрицу . Координаты вектора в базисе найдём с помощью матричного уравнения .
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом:

В результате:

Ответ:

Примечание: на самом деле такую задачу мы уже решали на уроке о линейной независимости и базисах (см. Примеры 8,9), но недостаток тех решений состоит в том, что метод Крамера позволяет найти новые координаты лишь отдельно взятого вектора.

Задача 2 Решение:
1) Запишем формулы в матричной форме:

Выразим новые координаты через старые: .
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом:

Осуществляя матричное умножение, получаем искомые формулы:

2) Поскольку угол поворота составляет , то формулы принимают вид:

Вычислим координаты точки в новой системе координат:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *