0 в степени 0 почему равен 1
Перейти к содержимому

0 в степени 0 почему равен 1

  • автор:

Сколько будет: 0 в нулевой степени? 1 или 0

1. Умножьте 0 на 0 по 0 раз. То есть, ничего умножать не нужно, следовательно ноль
2. Любое число в степени 0 дает 1. И 0 — не исключение. И калькулятор это подтверждает.

Остальные ответы
Такого числа нету)
1. Любое число в 0 степени равно 1.
Насколько я помню, правило гласит, что любое число в нулевой степени дает единицу.
Любое число в нулевой степени равно 1.

Есть такая вещь которая называется «неопределенность» обозначается так же как и бесконечность, но смысл другой. Вот она и получится.

Любое число от — до + бесконечности.

формальное выражение 0^0 по определению бессмысленно т. к. аргумента x=0 не существует в области определения функции a^x при a=0

наглядно продемонстрировать неопределенность можно например так:
lim 0^(1/n), n->oo = lim 0, n->oo = 0
lim (1/n)^0, n->oo = lim 1, n->oo = 1

Источник: калькулятор может считать как вздумается. это не показатель

Самое простое — максимально развернуть формулы (объяснение для школьников/детей):
X*0^3 = 1*X * 1*0*0*0 — Один Икс умножается на Единицу, умноженную на 0 трижды
X*0^2 = 1*X * 1*0*0 — Один Икс умножается на Единицу, умноженную на 0 дважды
X*0^1 = 1*X * 1*0 — Один Икс умножается на Единицу, умноженную на 0
X*0^0 = 1*X * 1 — Один Икс умножается на Единицу
Тем самым, совершенно верно, как и
X^3 = 1*X*X*X
X^2 = 1*X*X
X^1 = 1*X
X^0 = 1

0! = 1? или почему факториал нуля равен единице

Давным давно, еще в классе 10-ом (лет 8 назад) я случайно обнаружил довольно нехитрое объяснение того, почему факториал нуля равен единице.

Я рассказывал про это многим учителям, но никого не торкнуло. Поэтому я просто выложу это знание здесь, а то вдруг кому-то пригодится или наведет на определенные мысли. Сразу скажу я не математик, наткнулся на это случайно, когда игрался с числами. Я тогда даже не знал что такое факториал 🙂

Для начала вспомним общую теорию:

Факториа́л числа n — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

image

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

На самом же деле факториал нуля вполне вычислим!
Для этого нам нужно проделать простую последовательность обычных математических операций.

Попробуем в действии на примере факториала n = 4 (4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24)

    Сначала берем последовательность из n + (1 или больше) чисел, где каждое последующее число больше предыдущего на 1.

На выходе получаем ряд чисел количество которых меньше на 1:

50 110 194
(110 — 50) (194 — 110)

60 84
(84 — 60)

Попробуем вычислить этим способом факториал 3 (3! = 1 * 2 * 3 = 6)

Берем четыре числа в степени 3 и вычисляем «пирамидальную разность» (сам придумал)

1 3 2 3 3 3 4 3
1 8 27 64
(8 — 1) (27 — 8) (64 — 27)

7 19 37
(19 — 7) (37 — 19)

12 18
(18 — 12)

Ну и для 1 попробуем (1! = 1)

Вы уже догадались? 🙂

Все очень просто и для нуля:

Берем n + 1 чисел в степени 0, тоесть достаточно и одного

Вуaля! Любое число в степени 0 равно 1. В этом, кстати, слабость моего способа, он использует определение.

Но тем не менее, я считаю, что это здорово 🙂

Спасибо за внимание!

P.S.:
Как многие подметили это не доказательство, а всего лишь забавная закономерность.

Почему число в степени 0 равно 1?

Когда число возводится в степень с натуральным показателем, то имеется в виду, что оно умножается само на себя столько раз, каков показатель степени:

4 3 = 4 × 4 × 4; 2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Когда же показатель степени равен 1, то при возведении имеется всего лишь один множитель (если тут вообще можно говорить о множителях), и поэтому результат возведения равен основанию степени:

18 1 = 18; (–3.4) 1 = –3.4

Но как в таком случае быть с нулевым показателем? Что на что умножается?

Попробуем пойти иным путем. Известно, что если у двух степеней одинаковые основания, но разные показатели, то основание можно оставить тем же самым, а показатели либо сложить друг с другом (если степени перемножаются), либо вычесть показатель делителя из показателя делимого (если степени делятся):

3 2 × 3 1 = 3 2+1 = 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4 5–3 = 4 2 = 4 × 4 = 16

А теперь рассмотрим такой пример:

8 2 ÷ 8 2 = 8 2–2 = 8 0 = ?

Что если мы не будем пользоваться свойством степеней с одинаковым основанием и произведем вычисления по порядку их следования:

8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1

Вот мы и получили заветную единицу. Таким образом нулевой показатель степени как бы говорит о том, что число не умножается само на себя, а делится само на себя.

И отсюда становится понятно, почему выражение 0 0 не имеет смысла. Ведь нельзя делить на 0.

Можно рассуждать по-другому. Если имеется, например, умножение степеней 5 2 × 5 0 = 5 2+0 = 5 2 , то отсюда следует, что 5 2 было умножено на 1. Следовательно, 5 0 = 1.

Почему x^0 = 1 наглядно

Традиционное определение для операции возведения в натуральную степень (или целую положительную) вводится примерно следующим образом:

Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя.

На первый взгляд, это определение затруднительно обобщить для целых показателей степени меньших единицы

 . x^3 = x*x*x x^2 = x*x x^1 = x x^0 = . x^-1 = . . 

Но если вспомнить, что у операции умножения есть обратная — деление, то напрашивается расширение и для отрицательных показателей степени

 . x^3 = x*x*x x^-3 = 1/(x*x*x) = 1/x/x/x . 
 . x^3 = x*x*x x^2 = x*x x^1 = x x^0 = ? x^-1 = 1/x x^-2 = 1/x/x x^-3 = 1/x/x/x . 

Но всё ещё открытым остаётся вопрос для 0 : с одной стороны, на место ? напрашивается 1 , но с другой, такое определение остаётся не вполне симметричным для положительных и отрицательных значений.

Поэтому при внимательном рассмотрении возникает вполне естественно желание слегка видоизменить и усовершенствовать исходное

 . x^3 = 1*x*x*x x^2 = 1*x*x x^1 = 1*x x^0 = 1 x^-1 = 1/x x^-2 = 1/x/x x^-3 = 1/x/x/x . 

В таком представлении определение словно обретает стройность вкупе с полнотой:

Возведение числа X в целочисленную степень N — арифметическая операция, определяемая как результат многократного [N по модулю раз] умножения либо деления единицы на число X.

Ход мыслей

Чуть более общий случай* на языке программирования C#

static double Pow(double x, int pow, double seed = 1d) < var value = seed; if (pow < 0) for (var i = 0; i >pow; i--) value /= x; else for (var i = 0; i

* в общем случае зерно [ seed ] может быть отличным от 1

В таком виде определение легко и естественно расширяется на случай 0^0 , о котором издавна ведутся жаркие споры в математическом сообществе.

Из него закономерно следует, что 0^0 = 1 .

Действительно, если мы ни разу не будем умножать единицу на ноль, то в результате останется исходная 1 , но если хоть раз умножим, то уже получим 0 .

Если хорошенько вдуматься, то строго доказать тождество X^0 = 1 невозможно, а причина в том, что мы ведь сами даём определения функциям таким образом, чтобы они обладали удобными в прикладных расчётах свойствами.

То есть при попытке доказать тождество X^0 = 1 различными методами, на самом деле мы лишь демонстрируем, что функция возведения в степень нами же определена именно таким способом, чтобы обладать теми заданными полезными свойствами, через которые и проводится само «доказательство». То есть возникает неявный замкнутый круг.

Честный ответ таков:

  • X^0 = 1 по определению!

Тут уместно спросить:

  • Но почему же выбрано именно такое определение?

На что приемлем ответ:

  • Потому что оно во многом стройное (смотреть иллюстрации выше) и обладает рядом замечательных свойств, очень уместных в практических вычислениях.

Если, скажем, определить X^0 иначе, то частично сломается свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями X^M * X^N = X^(M+N) (а именно X^0 * X^N = X^N ), что будет лишь усложнять вычисления без какой-либо смысловой ценности.

Аналогичным образом легко рассмотреть функцию целочисленного умножения через сложение и вычитание с нулевым зерном

 . x*3 = 0 + x + x + x x*2 = 0 + x + x x*1 = 0 + x x*0 = 0 x*-1 = 0 - x x*-2 = 0 - x - x x*-3 = 0 - x - x - x . 
static double Mul(double x, int scale, double seed = 0d) < var value = seed; if (pow < 0) for (var i = 0; i >scale; i--) value -= x; else for (var i = 0; i

Умножение произвольного числа X на целое число N — арифметическая операция, определяемая как результат многократного [N по модулю раз] сложения либо вычитания нуля с числом X.

Из определения органично вытекает тождество X*0 = 0 .

В самом деле, если к нулю ничего не прибавлять и ничего из нуля не вычитать, то 0 в итоге и останется!

Похожим способом можно взглянуть на функции сложения и вычитания через функции инкремента и декремента, но в качестве зерна будет выступать уже само число.

 . x + 3 = x + 1 + 1 + 1 x + 2 = x + 1 + 1 x + 1 = x + 1 x + 0 = x x +(-1) = x - 1 x +(-2) = x - 1 - 1 x +(-3) = x - 1 - 1 - 1 . 
static double Add(double x, int shift) < var value = x; if (pow < 0) for (var i = 0; i >shift; i--) value -= 1; else for (var i = 0; i
 . x - 3 = x - 1 - 1 - 1 x - 2 = x - 1 - 1 x - 1 = x - 1 x - 0 = x x -(-1) = x + 1 x -(-2) = x + 1 + 1 x -(-3) = x + 1 + 1 + 1 . 
static double Sub(double x, int shift) < var value = x; if (pow < 0) for (var i = 0; i >shift; i--) value += 1; else for (var i = 0; i

И для полноты следует вспомнить функцию факториала и доопределить её для 0 . С отрицательными аргументами становится сложнее, поскольку из общей формулы возникают бесконечные произведения, для которых традиционные методы вычислений уже во многом не определены.

n! = 1 * [(n - 0)*(n - 1)*(n - 2)*. *3*2*1]
 . 3! = 1 * (3*2*1) 2! = 1 * (2*1) 1! = 1 * (1) 0! = 1 . 

Благодарю за прочтение!

Надеюсь, что рассмотренные примеры помогут читателю подружиться с тождеством X^0 = 1 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *