Параллельные прямые это прямые которые не пересекаются
Перейти к содержимому

Параллельные прямые это прямые которые не пересекаются

  • автор:

1. Определение и доказательства признаков параллельности прямых в плоскости

shutterstock_1723074382.jpg

Две прямые в плоскости, либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек).

На плоскости две прямые \(a\) и \(b\), которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a ∥ b .

Обрати внимание!

Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Cube.png

Рис. \(2\). Выделенные малиновым цветом отрезки не параллельны.
Рассмотрим один из признаков параллельности прямых на плоскости.
1 признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Lenku_veidi_perp.png

Рис. \(3\). Один из признаков параллельности прямых на плоскости.

Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости из любой точки можно провести только один перпендикуляр.

Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.

Lenku_veidi_perp1.png

Рис. \(4\). Доказательство признака параллельности прямых на плоскости.

Получается противоречие — из одной точки \(H\) к прямой \(c\) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:
1) вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые.

Lenku_veidi_teor2.png

Рис. \(5\). Углы, образованные двумя пересекающимися прямыми.
Вертикальные углы равны: ∠ 1 = ∠ 3 ; ∠ 2 = ∠ 4 .

Сумма смежных углов 180 ° : ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ 3 + ∠ 4 = ∠ 4 + ∠ 1 = 180 ° .

Lenku_veidi_teor1.png

2) Вспомним названия углов при пересечении двух прямых третьей прямой (секущей).

Рис. \(6\). Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
Накрест лежащие углы: ∠ 3 и ∠ 5 ; ∠ 2 и ∠ 8 ;
соответственные углы: ∠ 1 и ∠ 5 ; ∠ 4 и ∠ 8 ; ∠ 2 и ∠ 6 ; ∠ 3 и ∠ 7 ;
односторонние углы: ∠ 3 и ∠ 8 ; ∠ 2 и ∠ 5 .
Эти углы помогут определить параллельность прямых \(a\) и \(b\).
2 признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна \(180°\) — то прямые параллельны.

Lenku_veidi_paral1.png

Рис. \(7\). Признаки параллельности прямых на плоскости.
Приведём доказательство.

Сначала докажем: если прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\), и накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

Например, если ∠ 3 = ∠ 5 , то a ∥ b .

Lenku_veidi_paral11.png

Рис. \(8\). Признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.

Lenku_veidi_paral11_atb.png

Рис. \(9\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.

1) Отметим точки \(C\) и \(D\), в которых прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\). Через серединную точку \(K\) этого отрезка проведём перпендикуляр \(AB\) к прямой \(a\).

2) ∠ CKA \(=\) ∠ DKB как вертикальные углы, ∠ 3 \(=\) ∠ 5 \(=\) α , \(CK = KD\) — значит, Δ CKA \(=\) Δ DKB по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.

3) Очевидно, если Δ CKA прямоугольный, то и Δ DKB прямоугольный, и \(AB\) перпендикулярен к прямой \(b\).

4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны, и доказываем, как в пунктах 1) — 4).

Lenku_veidi_paral13.png

Рис. \(10\). Признак параллельности прямых по равенству соответственных углов.

Lenku_veidi_paral13_atb.png

Рис. \(11\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству соответственных углов.

Lenku_veidi_paral12.png

6) В случае, когда сумма односторонних углов равна 180° , имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна \(180°\), и используем в доказательстве пункты 1) — 4).

1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Taisnes_paral1.png

1. так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α .

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) — точку \(A\).

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (\(2\) аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Taisnes_paral2.png

Доказательство:
1. через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость α .

2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости α через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Taisnes_paral3.png

Taisnes_paral4.png

Доказательство:

рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость α в точке \(M\) (1 рис.).

Из \(1\)-й теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость β .

Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости β (2 рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (\(4\) аксиома).

Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости β .

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).

Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).

Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости α .

Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Taisnes_paral5.png

Дано: a ∥ c и b ∥ c .
Доказать: a ∥ b .
Доказательство:
выберем точку \(M\) на прямой \(b\).

Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:
1) прямая \(b\) пересекает плоскость α ; или 2) прямая \(b\) находится в плоскости α .
Пусть прямая \(b\) пересекает плоскость α .

Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость α . Так как a ∥ c , то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α . Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость α , является неверным.

Значит, прямая \(b\) находится в плоскости α .
Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).

Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.

Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости α , и у них нет общих точек, то они параллельны.

Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых .

Выводы:
1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.

2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: если a ∥ b и b ∥ c , то a ∥ c .

одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Plakne_paralelograms.png

Допустим, что у параллелограмма \(ABCD\) сторона \(AD\) пересекает плоскость α в точке \(K\).

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону \(BC\), тоже пересекает плоскость α .

2. Параллельность прямой и плоскости
Существуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
1) прямая лежит (находится) в плоскости;
2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);
3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Taisnes_paral6.png

Taisnes_paral7.png

Доказательство:
доказательство проведём от противного. Пусть \(a\) не параллельна плоскости α , тогда прямая \(a\) пересекает плоскость в некоторой точке \(A\). Причём \(A\) не находится на \(b\), так как a ∥ b . Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a ∥ b , они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая \(a\) должна быть параллельна плоскости α .

Обрати внимание!
Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.

Теорема 6.
Если плоскость
β проходит через данную прямую \(a\), параллельную плоскости α , и пересекает эту плоскость по прямой \(b\), то b ∥ a .

Параллельные прямые

Параллельные прямые

Паралле́льные прямы́е, прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В евклидовой геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна такая прямая. Это утверждение равносильно Пятому постулату Евклида (о параллельных).

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C C C (рис.) вне данной прямой A B AB A B проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих A B AB A B . Из них параллельными к A B AB A B называются только две. Прямая C E CE CE называется параллельной к прямой A B AB A B в направлении от A A A к B B B , если: 1) точки B B B и E E E лежат по одну сторону от прямой A C AC A C ; 2) прямая C E CE CE не пересекает прямую A B AB A B ; всякий луч, проходящий внутри угла A C E ACE A CE , пересекает луч A B AB A B . Аналогично определяется прямая C F CF CF , параллельная к A B AB A B в направлении от B B B к A A A .

Редакция математических наук

Опубликовано 24 августа 2022 г. в 12:05 (GMT+3). Последнее обновление 24 августа 2022 г. в 12:05 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Параллельные прямые

Области знаний: Планиметрия

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
    выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Параллельные прямые

Параллельными (иногда — равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается.

Свойства

  1. Параллельность — бинарноеотношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  2. Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых минимум две)
  3. 2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости.
  4. При пересечении 2 параллельных прямых третьей, называемой секущей:
    1. Секущая обязательно пересекает обе прямые.
    2. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
      1. Накрест лежащие углы равны.
      2. Соответственные углы равны.
      3. Односторонние углы в сумме составляют 180°.

      В геометрии Лобачевского

      Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые параллельны синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

      В геометрии Лобачевского в плоскости через точку Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): C вне данной прямой AB

      проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB. Из них параллельными к AB называются только две.

      Прямая CE называется равнобежной (параллельной) прямой AB в направлении от A к B , если:

      1. точки B и E лежат по одну сторону от прямой AC ;
      2. прямая CE не пересекает прямую AB , но всякий луч, проходящий внутри угла ACE , пересекает луч AB .

      Аналогично определяется прямая, равнобежная AB в направлении от B к A .

      Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися.

      См. также

      • Скрещивающиеся прямые
      • Перпендикулярность
      • Ортогональность

      Wikimedia Foundation . 2010 .

      • Скрещивающиеся прямые
      • Нестерихин, Юрий Ефремович

      Полезное

      Смотреть что такое «Параллельные прямые» в других словарях:

      • ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Современная энциклопедия
      • ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Большой Энциклопедический словарь
      • Параллельные прямые — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
      • Параллельные прямые — в евклидовой геометрии, прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии (См. Абсолютная геометрия) через точку, не лежащую на данной прямой, проходит хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В… … Большая советская энциклопедия
      • параллельные прямые — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. * * * ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Энциклопедический словарь
      • ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — в евклидовой геометрии прямые, к рые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В евклидовой геометрии существует только одна… … Математическая энциклопедия
      • ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Естествознание. Энциклопедический словарь
      • Параллельные миры в фантастике — Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. У это … Википедия
      • Параллельные миры — Параллельный мир (в фантастике) реальность, существующая каким то образом одновременно с нашей, но независимо от неё. Эта автономная реальность может иметь различные размеры: от небольшой географической области до целой вселенной. В параллельном … Википедия
      • Параллельные — линии Прямые линии называются П., если ни они, ни ихпродолжения взаимно не пересекаются. Весточки одной из таких прямыхнаходятся на одинаковом расстоянии от другой. Однако, принято говорить: две П. прямые пересекаются в бесконечности . Такой… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
      • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
      • �� Путешествия

      Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
      WordPress, MODx.

      • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
      • Искать во всех словарях
      • Искать в переводах
      • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *