Как понять что последовательность ограничена
Перейти к содержимому

Как понять что последовательность ограничена

  • автор:

Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

Ограниченные последовательности

Предел последовательности

Предел функции

Приближенные вычисления

Непрерывность функций

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число U, что для любых номеров n. При этом число U называется верхней границей последовательности.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число L, что для любых номеров n. Число L называется нижней границей последовательности.

Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа L и U, что для всех n = 1,2,3,…

Теорема 1. Любая ограниченная сверху последовательность имеет наименьшую верхнюю границу.
Теорема 2. Любая ограниченная снизу последовательность имеет наибольшую нижнюю границу.

Рис. 3. Наименьшая верхняя и наибольшая нижняя границы последовательности показаны горизонтальными линиями, расположенными вверху и внизу соответственно.

Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

Ограниченные последовательности (примеры)

Последовательности: Примеры

Предел функции: Примеры

Приближенные вычисления: Примеры

Непрерывность функций: Примеры

является ограниченной, поскольку для всех

Последовательность

является ограниченной снизу, поскольку для всех выполняется неравенство

Последовательность

Ограниченные последовательности

Последовательность $\left\\right\>$ называется ограниченной , если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число $M \geq 0$ , что для любого номера $n$ , $\left|x_\right| \leq M$

Последовательность $\left\\right\>$ называется неограниченной, если существует такое число $M \geq 0$ , что существует такой номер $n$ , что $\left|x_\right| \geq M$

Примеры исследования последовательности на ограниченность

Задание. Исследовать последовательность $\left\\right\>=\left\\right\>, n \in N$ на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера $n$ выполняются неравенства:

$$0 \lt \frac \leq 1, \forall n \in N$$

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ. Последовательность ограничена — снизу нулем, а сверху единицей.

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Исследовать последовательность $\left\\right\>=\left\+1>>\right\>, n \in N$ на ограниченность.

Решение. Рассмотрим $|x_|$ и попробуем его оценить сверху:

Так как модуль суммы меньше либо равен сумме модулей: $|a+b| \leq |a|+|b|$ , то получаем, что

Выражение $\frac+1>>$ принимает свое максимальное значение, когда знаменатель является наименьшим. Знаменатель будет минимальным при наименьшем значении $n$ , то есть для $m=1$ . А тогда

А таким образом, существует такое число $M=1+\frac>>0$ , что для любого номера $n$ , $|x_ \leq M|$ . Значит, по определению последовательность $$ ограничена.

Ответ. Последовательность $\left\\right\>=\left\+1>>\right\>, n \in N$ ограничена

Числовые последовательности

Число x1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности, число x2 — членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число xn называют членом последовательности с номером n .

Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы.

Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

с помощью формулы, выражающей зависимость члена xn от его номера n .

ПРИМЕР 1 . Числовая последовательность

задана с помощью формулы общего члена

Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности xn через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы.

ПРИМЕР 2 (Числа Фибоначчи). Числовая последовательность

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

может быть задана с помощью рекуррентной формулы

с начальными условиями

Возрастающие и убывающие последовательности

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

ПРИМЕР 3 . Последовательность натуральных чисел

является возрастающей последовательностью.

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

ПРИМЕР 4 . Последовательность

является убывающей последовательностью.

ПРИМЕР 5 . Числовая последовательность

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями.

Ограниченные и неограниченные последовательности

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.

ПРИМЕР 6 . Числовая последовательность

ограничена снизу, например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху.

ПРИМЕР 7 . Последовательность

является ограниченной последовательностью, поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Близкие по тематике разделы сайта

С последовательностями и их пределами можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Справочник по математике для школьников

  • Арифметика
  • Алгебра
  • Тригонометрия
  • Геометрия (планиметрия)
  • Геометрия (стереометрия)
  • Элементы математического анализа
  • Вероятность и статистика

Элементы математического анализа

  • Числовые последовательности
    • Числовые последовательности
    • Пределы числовых последовательностей
    • Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции
    • Свойства функций. График функции
    • Пределы функций
    • Асимптоты графиков функций
    • Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной
    • Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений. Непрерывность функции
    • Правила вычисления производных. Производная сложной функции. Таблица производных
    • Примеры вычисления производных
    • Исследование поведения функций с помощью производной
    • Исследование функции на выпуклость вверх и выпуклость вниз с помощью второй производной
    • Построение графиков функций
    • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
    • Первообразная. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Примеры решения задач
    • Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
    • Геометрические приложения определенного интеграла

    Учебные пособия для школьников

    • Задачи на проценты
    • Квадратный трехчлен
    • Метод координат на плоскости
    • Прогрессии
    • Решение алгебраических уравнений
    • Решение иррациональных неравенств
    • Решение логарифмических неравенств
    • Решение логарифмических уравнений
    • Решение показательных неравенств
    • Решение показательных уравнений
    • Решение рациональных неравенств
    • Решение тригонометрических уравнений
    • Степень с рациональным показателем
    • Системы уравнений
    • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
    • Уравнения и неравенства с модулями
    • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

    Демоверсии ЕГЭ

    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
    • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

    Учебные пособия для студентов (базовый уровень)

    • Аналитическая геометрия
    • Динамическое программирование
    • Дифференциальное исчисление функций одной переменной
    • Дифференциальные уравнения
    • Интегральное исчисление функций одной переменной
    • Линейная алгебра
    • Линейное программирование
    • Математическая статистика
    • Матрицы и действия над ними
    • Определители и их применения
    • Страховая математика
    • Теория вероятностей
    • Транспортная задача
    • Финансовая математика
    • Функции нескольких переменных. Нелинейное программирование
    • Числовые и степенные ряды
    • Экономико-математические модели
    • Элементы теории массового обслуживания
    • Элементы теории игр
    • На главную страницу
    • Наши партнеры
    • Карта сайта
    Опечатка на сайте?

    Если Вы заметили опечатку на сайте, просим сообщить нам об этом.

    Резольвента учебные материалы по математике для школьников и студентов

    © «Резольвента — учебные материалы», 2009-2024

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *