Сколько семерок в числе 21
Перейти к содержимому

Сколько семерок в числе 21

  • автор:

Сколько семерок в числе 21

Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.

а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2 1 = 2, 2 4 =4, 2 3 =8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6·2 = 12 → 2, 2 6 → 2· 2 = 4, 2 7 → 4· 2 = 8, 2 8 → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6. При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.

б) Последняя цифра числа 549 49 совпадает с последней цифрой числа 9 49 . Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1. То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9 49 , и исходное число 549 49 оканчиваются на 9.

в) Последняя цифра числа 2013 2013 совпадает с последней цифрой числа 3 2013 . Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013 2013 равна 3.

2. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021 337 − 1). Не опечатка ли это?

Решение. Число 23021 337 оканчивается единицей (это проверяется аналогично решению задачи 1). Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.

3. В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

Ответ. Семь десятилитровых и восемь семнадцатилитровых.

Решение. Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8 (проверьте, что это правда и что другие варианты не подходят). То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.

4. Делится ли число 47 30 +39 50 на 10?

Решение. Число 47 30 оканчивается цифрой 9, а число 39 50 — цифрой 1 (это проверяется аналогично решению задачи 1). Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.

5. Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

Решение. Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.

6. Сколькими нулями оканчивается число 2013! = 1·2·3·. ·2011·2012·2013 ?

Если мы разложим число 2013! на простые множители, то количество нулей на конце этого числа будет равно степени, в которой в это разложение входит пятёрка. (В самом деле, 10 = 2·5, а двойка заведомо войдёт в разложение в большей степени, чем пятёрка.)

2013 = 5·402 + 3. Поэтому среди чисел от 1 до 2013 ровно 402 числа делятся на 5. Аналогичным образом выясним, что из этих чисел ещё 80 делятся на 25, то есть на 5 2 , ещё 16 делятся на 125, то есть на 5 3 , и ещё 3 числа делятся на 625, то есть на 5 4 . Итого 402+80+16+3 = 501, то есть в разложение числа 2013! пятёрка входит в степени 501. Поэтому 2013! оканчивается 501 нулём.

7. Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

Решение. Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (проверяем для чисел от 1 до 10, дальше последние цифры повторяются в той же последовательности). Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.

8. Найдите последнюю цифру числа 7 7 7 . Степени считаются сверху вниз: 7 7 7 =7 (7 7 ) .

Решение. Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3.

9. На доске было написано число из нескольких семёрок: 777. 77. Влад стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию, и так далее. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7.

Решение. При каждой операции из числа 10 х + у получается число 3 х + у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10 x + y − (3 x + y ) = 7 х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.

  • ЗАДАЧИ
  • 6 класс
  • Письменная работа
  • Задачи для знакомства
  • Ацнок с зиланА
  • Чётность
  • Делимость
  • В триодиннадцатом королевстве
  • Алгоритмы
  • Математические игры
  • Движение и работа
  • Геометрия
  • Комбинаторика
  • Комбинаторика — 2
  • Задачи на повторение
  • Математическая абака
  • География и путешествия
  • Признаки делимости
  • Последовательности
  • От противного
  • Графы
  • Шахматы
  • Раскраски
  • Последняя цифра
  • Оценка плюс пример
  • Лингвистика
  • История математики
  • ЗАДАЧИ ДОП. НАБОРОВ
  • Доп. набор 1
  • Доп. набор 2

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!


У скольких целых чисел, лежащих в диапазоне от 1 до 1000, есть цифра 3?

Обложка поста У скольких целых чисел, лежащих в диапазоне от 1 до 1000, есть цифра 3?

Некоторые числа (например, 333) содержат больше одной 3. Вам не следует такие числа считать дважды, а то и трижды . Вопрос заключается в том, как много разных чисел имеет по крайней мере одну 3.

Каждое число от 300 до 399 содержит по крайней мере одну 3. В целом эта группа сразу дает сотню чисел.

Также имеется и сотня чисел, где тройка занимает место десяток: от 30 до 39; от 130 до 139; и так до чисел от 930 до 939. Десяток таких чисел мы уже учли раньше, а именно числа от 330 до 339. Поэтому десять этих чисел надо убрать, чтобы не было двойного счета. В совокупности мы пока отобрали 100 + 90 = 190 чисел.

И наконец, имеется сотня чисел, оканчивающихся на 3 в диапазоне от 2 до 993. Не включайте в их число 10 чисел, которые начинаются с 3 (303, 313, 323,…, 393), потому что мы их уже включили раньше. Получается еще 90 чисел. У одной десятой из этих 90 чисел на месте десяток стоит 3 (33, 133, 233,…, 933). Уберем эти 9 чисел, остается 81 число. Теперь можно определить общее число интересующих нас чисел.

Оно равно 100 + 90 + 81 = 271.

А можно проще?

Сначала узнаем, сколько чисел не имеют 3 в своей записи. Для этого на каждое место ставим 9 цифр, не включающие 3 т.е. 9 * 9 * 9 = 729. Если всего чисел 1000, то ответ 1000 – 729 = 271.

Разбор по книге «Are You Smart Enough to Work at Google?».

Сколько раз встречается цифра 7 от 1 до 1000?

ровно 300 раз
проверяйте
1_7
2_17
3_27
4_37
5_47
6_57
7_67
8_70
9_71
10_72
11_73
12_74
13_75
14_76
15_77
16_77
17_78
18_79
19_87
20_97
21_107
22_117
23_127
24_137
25_147
26_157
27_167
28_170
29_171
30_172
31_173
32_174
33_175
34_176
35_177
36_177
37_178
38_179
39_187
40_197
41_207
42_217
43_227
44_237
45_247
46_257
47_267
48_270
49_271
50_272
51_273
52_274
53_275
54_276
55_277
56_277
57_278
58_279
59_287
60_297
61_307
62_317
63_327
64_337
65_347
66_357
67_367
68_370
69_371
70_372
71_373
72_374
73_375
74_376
75_377
76_377
77_378
78_379
79_387
80_397
81_407
82_417
83_427
84_437
85_447
86_457
87_467
88_470
89_471
90_472
91_473
92_474
93_475
94_476
95_477
96_477
97_478
98_479
99_487
100_497
101_507
102_517
103_527
104_537
105_547
106_557
107_567
108_570
109_571
110_572
111_573
112_574
113_575
114_576
115_577
116_577
117_578
118_579
119_587
120_597
121_607
122_617
123_627
124_637
125_647
126_657
127_667
128_670
129_671
130_672
131_673
132_674
133_675
134_676
135_677
136_677
137_678
138_679
139_687
140_697
141_700
142_701
143_702
144_703
145_704
146_705
147_706
148_707
149_707
150_708
151_709
152_710
153_711
154_712
155_713
156_714
157_715
158_716
159_717
160_717
161_718
162_719
163_720
164_721
165_722
166_723
167_724
168_725
169_726
170_727
171_727
172_728
173_729
174_730
175_731
176_732
177_733
178_734
179_735
180_736
181_737
182_737
183_738
184_739
185_740
186_741
187_742
188_743
189_744
190_745
191_746
192_747
193_747
194_748
195_749
196_750
197_751
198_752
199_753
200_754
201_755
202_756
203_757
204_757
205_758
206_759
207_760
208_761
209_762
210_763
211_764
212_765
213_766
214_767
215_767
216_768
217_769
218_770
219_770
220_771
221_771
222_772
223_772
224_773
225_773
226_774
227_774
228_775
229_775
230_776
231_776
232_777
233_777
234_777
235_778
236_778
237_779
238_779
239_780
240_781
241_782
242_783
243_784
244_785
245_786
246_787
247_787
248_788
249_789
250_790
251_791
252_792
253_793
254_794
255_795
256_796
257_797
258_797
259_798
260_799
261_807
262_817
263_827
264_837
265_847
266_857
267_867
268_870
269_871
270_872
271_873
272_874
273_875
274_876
275_877
276_877
277_878
278_879
279_887
280_897
281_907
282_917
283_927
284_937
285_947
286_957
287_967
288_970
289_971
290_972
291_973
292_974
293_975
294_976
295_977
296_977
297_978
298_979
299_987
300_997

Остальные ответы
(10+1)*10+1=111 врде так получатся.

от 1 до 100 будет 10 раз плюс на 7-м десятке 11 раз, итого на сотню выйдет 21 раз, на тысячу — 210раз.
Это еще не все) На 7-мой сотне она встретится 121 раз
Итого 321 раз)
Вроде так

Оратор ниже через одного, то бишь Анрдей, ошибки на 15, 16 значениях, и начиная с 770 тоже недосчитываешь по 1 семерке, а 777 это 3 семерки, так что неправильно
Но за труды +! Это ж надо столько клаву долбить чтоб семерки посчитать)))))))))

271
так получилось ((

не согласен с оратором ниже. у него есть задвоения
первые на 15 и 16 значениях и т. д.

так что — 271 и никак иначе!

Источник: Excel

300 раз
от 1 до 100 -20раз
101-200- 20 раз
201-300 -20 раз
301-400 -20 раз
401-500 — 20 раз
501-600 — 20 раз
601-699 — 20 раз
801-900 — 20 раз
901-1000 — 20 раз
700-799 — 120 раз
Итого: 9*20+120 = 300

вы неправильно говорите кто вам это сказал что будет300 или 100 или 20 правильный ответ 7 умн на9 пл 100

Сколько раз встречается цифра 7 от 1 до 1000?

ровно 300 раз
проверяйте
1_7
2_17
3_27
4_37
5_47
6_57
7_67
8_70
9_71
10_72
11_73
12_74
13_75
14_76
15_77
16_77
17_78
18_79
19_87
20_97
21_107
22_117
23_127
24_137
25_147
26_157
27_167
28_170
29_171
30_172
31_173
32_174
33_175
34_176
35_177
36_177
37_178
38_179
39_187
40_197
41_207
42_217
43_227
44_237
45_247
46_257
47_267
48_270
49_271
50_272
51_273
52_274
53_275
54_276
55_277
56_277
57_278
58_279
59_287
60_297
61_307
62_317
63_327
64_337
65_347
66_357
67_367
68_370
69_371
70_372
71_373
72_374
73_375
74_376
75_377
76_377
77_378
78_379
79_387
80_397
81_407
82_417
83_427
84_437
85_447
86_457
87_467
88_470
89_471
90_472
91_473
92_474
93_475
94_476
95_477
96_477
97_478
98_479
99_487
100_497
101_507
102_517
103_527
104_537
105_547
106_557
107_567
108_570
109_571
110_572
111_573
112_574
113_575
114_576
115_577
116_577
117_578
118_579
119_587
120_597
121_607
122_617
123_627
124_637
125_647
126_657
127_667
128_670
129_671
130_672
131_673
132_674
133_675
134_676
135_677
136_677
137_678
138_679
139_687
140_697
141_700
142_701
143_702
144_703
145_704
146_705
147_706
148_707
149_707
150_708
151_709
152_710
153_711
154_712
155_713
156_714
157_715
158_716
159_717
160_717
161_718
162_719
163_720
164_721
165_722
166_723
167_724
168_725
169_726
170_727
171_727
172_728
173_729
174_730
175_731
176_732
177_733
178_734
179_735
180_736
181_737
182_737
183_738
184_739
185_740
186_741
187_742
188_743
189_744
190_745
191_746
192_747
193_747
194_748
195_749
196_750
197_751
198_752
199_753
200_754
201_755
202_756
203_757
204_757
205_758
206_759
207_760
208_761
209_762
210_763
211_764
212_765
213_766
214_767
215_767
216_768
217_769
218_770
219_770
220_771
221_771
222_772
223_772
224_773
225_773
226_774
227_774
228_775
229_775
230_776
231_776
232_777
233_777
234_777
235_778
236_778
237_779
238_779
239_780
240_781
241_782
242_783
243_784
244_785
245_786
246_787
247_787
248_788
249_789
250_790
251_791
252_792
253_793
254_794
255_795
256_796
257_797
258_797
259_798
260_799
261_807
262_817
263_827
264_837
265_847
266_857
267_867
268_870
269_871
270_872
271_873
272_874
273_875
274_876
275_877
276_877
277_878
278_879
279_887
280_897
281_907
282_917
283_927
284_937
285_947
286_957
287_967
288_970
289_971
290_972
291_973
292_974
293_975
294_976
295_977
296_977
297_978
298_979
299_987
300_997

300 раз
от 1 до 100 -20раз
101-200- 20 раз
201-300 -20 раз
301-400 -20 раз
401-500 — 20 раз
501-600 — 20 раз
601-699 — 20 раз
801-900 — 20 раз
901-1000 — 20 раз
700-799 — 120 раз
Итого: 9*20+120 = 300

271
так получилось ((

не согласен с оратором ниже. у него есть задвоения
первые на 15 и 16 значениях и т. д.

так что — 271 и никак иначе!

от 1 до 100 будет 10 раз плюс на 7-м десятке 11 раз, итого на сотню выйдет 21 раз, на тысячу — 210раз.
Это еще не все) На 7-мой сотне она встретится 121 раз
Итого 321 раз)
Вроде так

Оратор ниже через одного, то бишь Анрдей, ошибки на 15, 16 значениях, и начиная с 770 тоже недосчитываешь по 1 семерке, а 777 это 3 семерки, так что неправильно
Но за труды +! Это ж надо столько клаву долбить чтоб семерки посчитать)))))))))

(10+1)*10+1=111 врде так получатся.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *