Сколько различных букв в слове математика
Перейти к содержимому

Сколько различных букв в слове математика

  • автор:

Сколько различных букв в слове математика

Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов
а) ВЕКТОР;
б) ЛИНИЯ;
в) ПАРАБОЛА;
г) БИССЕКТРИСА;
д) МАТЕМАТИКА.

Решение

а) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить 6! слов (см. задачу 60371).

б) Первый способ. В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И1 и И2. При этом предположении получится 5! = 120 разных слов. Однако те слова, которые получаются друг из друга перестановкой букв И1 и И2, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего 120 : 2 = 60.

Второй способ. Два места для буквы И можно выбрать = 10 способами. Остальные 3 буквы можно переставлять по 3 оставшимся местам 3! способами. Итого 6·10 = 60 слов.

в) Аналогично б) получим слов.

г) Первый способ. В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С, получаем слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв С, получаем окончательный результат .

Второй способ. Три места для буквы С можно выбрать способами, 2 места из 8 оставшихся для буквы И способами. Осталось 6 букв на 6 мест. Всего получаем слов.

д) Аналогично г) получаем слов.

Ответ

а) 6! = 720; б) 60; в) 6720; г) 11! : 12 = 3326400; д) 10! : 24 = 1511200 слов.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: «АСА»
Издание 1
глава
Номер 3
Название Комбинаторика-1
Тема Классическая комбинаторика
задача
Номер 017

Сколько различных слов можно получить из слова «математика»?

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброе утро, товарищи !)
Под словом понимаем последовательность заданных букв, вне
зависимости имеет или нет этот набор букв смысловое содержание. Сколько
различных слов можно получить из слова «математика»? Сколько среди них
слов, начинающихся с буквы «к»?

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Сколько различных слов, каждое из которых содержит 6 букв, можно составить из слова «математика»?
Сколько различных слов, каждое из которых содержит 6 букв, можно составить из слова «математика»? .

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова?
Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова "взбрыкнул", при условии, что между.

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова
Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова "переходим" если согласные и.

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова?
1) Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова "диктатура", как гласные, так и.

Любитель математики
1476 / 987 / 282
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 3,275
То есть в данном случае под словом нужно понимать различные десятибуквенные перестановки?
Регистрация: 30.01.2020
Сообщений: 191
Любитель математики
1476 / 987 / 282
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 3,275
По-моему, тогда ответ такой:
Регистрация: 30.01.2020
Сообщений: 191
Да, ответ сходится) А можете объяснить, почему именно так решаем ?

Эксперт по математике/физике

10242 / 6780 / 3691
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 15,655
Перестановки с повторениями 10 букв, среди которых две встречаются по два раза и одна три раза.
Любитель математики
1476 / 987 / 282
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 3,275

ЦитатаСообщение от Vsevolod_ Посмотреть сообщение

А можете объяснить, почему именно так решаем ?

Могу. Потому что две буквы «м» неразличимы, три буквы «а» неразличимы», две буквы «т» неразличимы. Поэтому общее количество всех перестановок нужно разделить на количество повторений, равное

Добавлено через 20 минут
Vsevolod_, Вам понятно моё объяснение?

Регистрация: 30.01.2020
Сообщений: 191
Ясно, как день) Спасибо !
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова?
Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова "приватизация" — чередуются пары.

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова?
1) Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова "танкетка", если запрещено.

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова
Помогите решить, пожалуйста. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова.

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова?
Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова "переворот", так чтобы было не.

Сколько различных слов можно получить перестановкой слова «ворон»?
Пожалуйста, помогите решить задачи. 5. Решить задачу, используя формулы комбинаторики.

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова?
Сколько различных слов можно можно получить перестановкой букв слова ТВОРЧЕСТВО, никакие гласные не.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Школа олимпийского резерва. Математика

Рассмотрим задачи, где требуется посчитать количество способов, которыми можно расположить в ряд n предметов. Такие расположения называются перестановками и играют замечательную роль в комбинаторике и алгебре.

Пусть n — натуральное число, тогда n! (эн-факториал) — это произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n.

Например, 2! = 1 • 2 = 2; 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120

Задача 24. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

Решение. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе — любую из двух оставшихся, а на третье — последнюю оставшуюся цифру. Таким образом всего получается 3 2 1 = 3! = 6 чисел.

Для удобства формулировки задач следующего цикла введем следующее соглашение. Словом будем называть любую конечную последовательность букв русского алфавита. Скажем, используя буквы А, Б, В ровно по одному разу, можно составить 6 слов: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА; используя же букву А дважды, а букву Б один раз — только три слова — ААБ, АБА, БАА.

Задача 25. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «ВЕКТОР»?
Решение. Поскольку все буквы различны и всего их 6, то получаем ответ: 6! = 720 слов.
Задача 26. Сколько различных слов можно получить, переставляя буква в слове «ЛИНИЯ»?

Решение. В этом слове две буквы И, а остальные буквы разные. Приведу один из вариантов рассуждения. Временно будем считать, что буквы И разные: И1 и И2. Тогда получим 5! = 120 разных слов. Однако, те слова, которые получаются перестановкой букв И1 и И2 , на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому действительно разных слов всего 120 : 2 = 60.

Задача 27. Сколько различных слов можно получить, переставляя буква в слове «ПАРАБОЛА»?

Решение. Считая три буквы А этого слова различными (А1, А2 и А3), получим 8! = 40320 слов. Однако, слова, отличающиеся лишь перестановкой букв А, на самом деле одинаковы. Поскольку буквы А1, А2 и А3 можно переставлять 3! способами, то все 8! слов разбиваются на группы по 3! одинаковых. Поэтому разных слов всего 8!/3! = 6720.

Задача 28. Сколько различных слов можно получить, переставляя буква в слове «БИССЕКТРИСА»?

Решение. В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С, получаем 11!/2! различных слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв С, получаем окончательный результат 11!/(2! 3!) = 3326400 слов.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 29. На танцплощадке собрались n юношей и n девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Задача 30. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Задача 31. У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?

Задача 32. Сколько различных слов можно получить, переставляя буква в слове «МАТЕМАТИКА»?

Задача 33. Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

Задача 34. Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?


Ответы и решения

Задача 29. Первый юноша выбирает из n девушек (или наоборот!), второй — из n -1, третий — из n — 2 девушек и т.д., то есть получаем произведение n(n-1)(n-2). 3 2 1 = n!

Ответ: n! пар

Задача 30. Каждый из 18 участников должен сыграть 17 партий, значит, 18 17, но необходимо исключить повторы, получаем (18 17)/2 партий.
Ответ: 153 партии

Задача 31. Если бы яблоки были по условию разными, груши и апельсины тоже, то вариантов было бы 9! Но в задаче предполагается, что яблоки одинаковы и способов их выбора — 2!, груши — тоже одинаковы, способов их выбора — 3!, ну и апельсинов — 4!

Комбинаторика 5

Во многих комбинаторных задачах непосредственное нахождение числа интересующих нас вариантов оказывается затруднительным. Однако при некотором изменении условия задачи можно найти количество вариантов, превосходящее исходное в известное число раз. Такой прием называется методом кратного подсчета.

1. Сколько анаграмм имеет слово КЛАСС?

Трудность в том, что в этом слове две одинаковые буквы С. Будем временно считать их разными и обозначим С1 и С2. Тогда число анаграмм окажется равным 5! = 120. Но те слова, которые отличаются друг из друга лишь перестановкой букв С1 и С2, на самом-то деле являются одной и той же анаграммой! Поэтому 120 анаграмм разбиваются на пары одинаковых, т.е. искомое число анаграмм равно 120/2 = 60.

2. Сколько анаграмм имеет слово ШАРАДА?

Считая три буквы А различными буквами А1, А2, А3, получим 6! анаграмм. Но слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв А1, А2, А3, на самом деле являются одной и той же анаграммой. Поскольку имеется 3! перестановок букв А1, А2, А3, полученные изначально 6! анаграмм разбиваются на группы по 3! одинаковых, и число различных анаграмм оказывается равным 6!/3! = 120.

Другая содержательная комбинаторная идея — так называемый переход к дополнению. В некоторых задачах вместо искомого числа «нужных» вариантов оказывается проще найти число «ненужных» вариантов, дополняющее число «нужных» вариантов до известного общего количества.

3. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Найдем количество «ненужных» четырехзначных чисел, в записи которых присутствуют только нечетные цифры. Таких чисел 5 4 = 625. Но всего четырехзначных чисел 9000, поэтому искомое количество «нужных» чисел равно 9000 – 625 = 8375.

  1. Найти число анаграмм у слов ВЕРЕСК, БАЛАГАН, ГОРОДОВОЙ.
  2. Найти число анаграмм у слов БАОБАБ, БАЛЛАДА, ПЕРЕПОЛОХ, АНАГРАММА, МАТЕМАТИКА, КОМБИНАТОРИКА, ОБОРОНОСПОСОБНОСТЬ.
  3. Сколькими способами можно поселить 7 приезжих в три гостиничных номера: одноместный, двухместный и четырехместный?
  4. В холодильнике лежат два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд Пете дают один какой-то фрукт. Сколькими способами это может быть сделано?
  5. Из семи лучших лыжников школы нужно отобрать команду из трех человек для участия в городских соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?
  6. Перед экзаменом профессор пообещал поставить двойки половине экзаменуемых. На экзамен пришло 20 студентов. Сколькими способами он может выполнить обещание?
  7. Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?
  8. В продаже есть шоколадное, клубничное и молочное мороженое. Сколькими способами можно купить три мороженых?
  9. При приготовлении пиццы к сыру добавляются разные компоненты, обеспечивающие тот или иной вкус. В распоряжении Билла имеются лук, грибы, помидоры, перец и анчоусы, причем все это, по его мнению, можно добавлять к сыру. Сколько видов пиццы может приготовить Билл?
  10. Свидетель криминальной разборки запомнил, что преступники скрылись на «мерседесе», номер которого содержал буквы Т, З, У и цифры 3 и 7 (номером является строка, в которой сначала идут три буквы, а затем — три цифры). Сколько существует таких номеров?
  11. Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике?
  12. Сколько всего существует n-значных чисел?
  13. Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры?
  14. Кубик бросают трижды. Среди всевозможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз выпала шестерка. Сколько их?
  15. Сколько пятизначных чисел имеют в своей записи цифру 1?
  16. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске белого и черного короля так, чтобы они не били друг друга?
  17. Сколько делителей у числа 10800?
  • Авторские методические материалы
  • Задачи по математике
  • Задачи по физике
  • Биология
  • Подготовка к ЕГЭ
  • Задачи по химии
  • Астрономия
  • Статьи об образовании
  • История науки

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *