Сколько делителей у составного числа
Перейти к содержимому

Сколько делителей у составного числа

  • автор:

ЭМАлгебра

Если одно из натуральных чисел делится без остатка на другое, то первое число называется кратным второго, а второе — делителем первого.

Например,
; — кратное числа , а — делитель числа ;
; — кратное числа , а — делитель числа .

А число ни на какое другое не делится!

Не совсем так. Каждое натуральное число (кроме ) имеет, по крайней мере, два различных делителя.

Похоже я уже догадался: это само число и единица. Правильно?

Число, которое имеет только два делителя, называется простым.

Так числа , , , , , , , , , и т.д. простые. Их бесконечное множество.

Подождите, подождите! Но ведь и число делится только на себя и на единицу!

Совершенно верно. Молодец, что заметил это. Действительно, — тоже простое число.

Понятно! А как все-таки называются числа, которые нельзя отнести к простым?

Число, имеющее более двух делителей, называется составным.

Например, число имеет делители , , , , , , , .

Получается, что и составных чисел также бесконечное множество?

Правильно. Ты делаешь заметные успехи. Молодец.

Стараюсь. В связи с этим, мне кажется , что еще что-то осталось недосказанным про .

Да, я совсем упустил из виду . Число имеет только один делитель и не является ни простым, ни составным.

Оглавление

  • 1. Понятие натурального числа
  • 2. Арифметические действия над натуральными числами
  • 3. Запись натуральных чисел
  • 4. Делитель и кратное.Простые и составные числа.
    • 4.1. Решение задач
    • 4.2. Задачи повышенной сложности
    • 4.3. Дополнительная теория
    • 6.1. Дополнительная теория

    Платформа для разработки и использования образовательных онлайн-ресурсов БГУ
    на базе LMS MOODLE 3.6.2.

    © Белорусский государственный университет. Адрес: пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

    ГУО “Институт повышения квалификации и переподготовки в области технологий информатизации и управления” БГУ принимает оплату онлайн за подготовительные курсы для школьников

    УНП 100336910, юр. адрес: Республика Беларусь, 220004 г. Минск, адрес: Ул. Кальварийская, 9, 826.

    Сколько делителей имеет составное число?

    да нет же, с каких пор кратность учитывается, количество делителей это количество таких a для b, что для каждого a найдется c: a*c=b, по крайней мере то как вы представили мне кажется неверно ведь если учитывать кратность, то какой смысл от делителя 4, ведь 4 это и есть 2 в степени 2

    больше двух

    минимум -само это число и единица.
    значит. у единицы один делитель..

    грач 73Мудрец (10177) 1 год назад

    в вопросе же про составные числа и написано

    Naumenko Высший разум (856745) грач 73, да. показалось про простое. составные могут иметь любое количество простых делителей.

    Похожие вопросы

    Простые и составные числа.

    Число 1 имеет только один делитель — единицу. Любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а. Действительно, а:1 = а, а :а = 1.

    Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.

    Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.

    Для комфорта была сформирована таблица простых чисел. Число два — минимальное простое число. Заметим, что это единственное чётное простое число. Фактически, все другие чётные числа имеют минимально три делителя: число 1, число 2 и само число.

    Простых чисел бесчисленное множество. Максимального простого числа не бывает.

    У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.

    Натуральное число принято называть составным, если у него бывает больше двух натуральных делителей.

    Поскольку единица имеет только один делитель, то ее не относят ни к простым, ни к составным числам.

    Составное число 105 можно различными методами отобразить в виде произведения его делителей.

    105 = 15 • 7 = 35 • 3 = 5 • 21 = 3 • 5 • 7.

    Отличительной чертой конечного произведения выступает то, что все его множители — простые числа. Указывают, что число 105 разложено на простые множители. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

    80 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5;

    Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью.

    18 = 2 • 3 2 ; 80 = 2 4 • 5; 81 = 3 4 ; 200 = 2 3 – 5 2 .

    При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:

    1) 2940 поделится на 2, 2940 : 2 = 1470;

    2) 1470 поделится на 2, 1470 : 2 = 735;

    3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735 : 3 = 245;

    4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245 : 5 = 49;

    5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49 : 7 = 7;

    6) 7 поделится на 7, 7 : 7 = 1.

    Таким образом, 2940 = 2 • 1470 = 2 • 2 • 735 = 2 • 2 • 3 • 245 = = 2 • 2 • 3 • 5 • 49 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 7 = 2 2 • 3 • 5 • 7 2 .

    Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…….

    Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.

    Простые и составные числа

    Справочник

    Что представляют собой простые и составные числа. Делитель простого и составного числа

    Все натуральные числа (исключение составляет лишь единица) относятся к простым или составным. При этом, основным различием между двумя большими группами чисел является количество делителей. Делители, также, подразделяются на составные и простые. Чтобы само определение составных чисел было более понятным, можно предварительно просмотреть понятия делителей и кратных.

    Простыми числам являются натуральные числа больше единицы, имеющие два положительных делителя – себя и 1. Например, делителем чисел 7, 11, 19, 131 выступает только единица и само число.

    Составными числами являются натуральные числа больше единицы, но в отличие от простого, они имеет больше положительных делителей — оно делится на единицу, на само себя и, как минимум, на одно натуральное число. Например, разложение составных чисел на делители можно представить следующим образом — число 14 делиться на 1, 2, 7, 14, а число 24 делиться на 1,2, 3, 8, 12, 6, 4.

    Так, число 2 является единственным первым наименьшим четным простым числом. Все остальные простые числа принадлежат к нечетной группе. А в числовом ряду составных чисел наименьшим первым числом выступает 4. В числовом ряду можно выделить первые составные и простые числа, но определить последние числовые значения невозможно.

    Следует обратить внимание на число 1 – оно занимает особое место, поскольку не относится ни к составным, ни к простым числам. Наличие единственного простого делителя – единицы, является главным отличием от остальных натуральных чисел.

    Любое натуральное число n больше единицы представляет простые или составные числа. Учитывая свойства делимости, можно подытожить, что единица и в всегда будут являться делителями любого числа в. То есть, любое число, кроме 1, будет иметь минимум два делителя — единицу и самого себя.

    Учитывая все вышесказанное, можно дать следующие определения. Простыми являются числа, натуральное числовое значение, которое обладает только двумя положительными делителями. Составными являются числа – это натуральное числовое значение, которое обладает минимально тремя положительными делителями.

    Так, любое число, которое не будет причислено к составным, можно отнести к простым числам. Исключение составляет лишь единица.

    Таблица простых чисел

    Часто, при выполнении различных заданий, оптимальным решением станет использование таблицы простых чисел. Так как простых чисел множество, таблицы обычно ограничиваются числовым значением 100, 1000 или 10 000. Так, на Рис.1 представлена Таблица простых чисел до 1000.

    Таблица простых чисел

    Представить таблицу для всех существующих простых чисел не является возможным. Поэтому, когда числовой ряд достигает 10000 или 1000000000, следует использовать решето Эратосфена.

    Самое время будет рассмотреть Теорему 1 и Теорему 2, которые объяснят последнее утверждение.

    Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

    Для данной теоремы можно привести следующее доказательство. Допустим, что в – это отличный от единицы наименьший делитель для числа с. Необходимо привести доказательство, используя методику противного, что является простым числом.

    Допустим, что является натуральным составным числом. Отсюда следует, что для натурального числа в есть простой делитель составного числа, который отличен как от в, так и от единицы. Данный делитель можно обозначить в1. Далее, требуется, чтобы выполнялось условие 1 < в1 < в.

    Из условия следует, что с делится на в, а в делится на в1. Понятие делимости можно выразить следующим образом с = в ⋅ q и в = в 1 ⋅ q 1 , откуда с = в 1 ⋅ ( q 1 ⋅ q), где q и q1 – это целые числа. Учитывая правило умножения целых чисел следует, что их произведение – это целое число с равенством с = в 1 ⋅ (q 1 ⋅ q). Из равенства видно, что в 1 выступает делителем для числа с. Следовательно, получаем несоответствие неравенства 1 , поскольку в – это положительный наименьший и отличный от 1 делитель с.

    Простых чисел бесконечно много.

    В качестве доказательства можно взять предположительное конечное количество натурального числа m, обозначив, как m1, m2,……. mn. Далее, необходимо рассмотреть вариант нахождения простого числа, которое будет отлично от указанных.

    На рассмотрение можно взять число m, которое равно m1, m2,………, mn + 1. Оно не будет равно любому из чисел, которые соответствуют простым натуральным числам m1, m2,……, mn. Число m – простое. Так, можно считать, что теорема доказана. Если число m будет относиться к натуральным составным числам, тогда обозначение должно принять вид mn+1 и должно быть показано несовпадение делителя с m1, m2,……, mn.

    Если бы утверждение не соответствовало этому, то с учетом свойств делимости произведения m1, m2,……, mn, получалось бы, что оно делится на mn+1. Так, второе слагаемое данной суммы, равное 1, требовалось бы делить на выражение mn+1, что является невозможным.

    Среди любого заданного количества простых чисел может быть найдено любое простое число. Из данного утверждения следует вывод, что простых чисел представлено бесконечное множество.

    Математика Эратосфена. Простые и составные числа

    Решето Эратосфена — это специальный алгоритм, который позволяет определять все простые числа до целого заданного натурального числа N. Само название методики содержит основной принцип ее функционирования. «Решето» представляет собой «фильтр», пропускающий все ненужные числа, кроме простых.

    Так, при составлении «решета» – таблицы, необходимо учитывать, что для выполнения задачи важна проверка чисел в последовательном порядке – начиная с двух и до 100, 1000 и т.д. Если у числа невозможно разложить на простые множители и делители отсутствуют – оно фиксируется в таблице, а если оно является натуральным составным числом, значит необходимо его исключить.

    Составляя таблицу простых чисел в привычном порядке приходится поэтапно рассматривать каждую цифру. Необходимо начать с 2 – у нее можно выделить два делителя (1 и 2), поэтому оно является простым числом и может быть занесено в таблицу. Число 2, также, заносим в таблицу. Число 4 можно разложить на простые множители 2 и 2, а значит, в таблице его быть не должно, поскольку оно является составным. А 5 имеет всего два делителя, соответственно, оно фиксируется в таблице. Так, поочередно рассматривается каждое число, вплоть до 100, 1000, 10000 и т, д.

    Данная методика является понятной, но весьма долгой и неудобной. Именно решето Эратосфена принято считать оптимальным алгоритмом. Далее, на примере приведенных таблиц будет рассмотрен сам алгоритм.

    Найдем все простые натуральные числа от 2 до 50. Для начала, в таблицу заносятся все числа, которые располагаются в указанном числовом ряду

    Решето Эратосфена 1

    Затем, необходимо поочередно вычеркнуть все числа, кратные 3 (Рис. 4).

    Решето Эратосфена 2

    Также, необходимо поступить с числами, которые кратны 5 (Рис. 5).

    Решето Эратосфена 3

    На последнем этапе зачеркиваются числа, кратные 7 и 11 (Рис. 6). В итоге будет получена окончательная таблица натуральных простых чисел от 2 до 50.

    Решето Эратосфена 4

    Далее стоит остановиться на формулировке Теоремы 3 и ее доказательстве.

    Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа a
    не превосходит √a, где √a арифметическим корнем заданного числа.

    Доказательство 3

    Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа a. Существует такое целое число q, где a=b·q, причем имеем, что b≤q. Недопустимо неравенство вида b>q, так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b≤q следует умножить на любое положительное число b, не равное 1. Получаем, что b·b≤b·q, где b 2 ≤a и b≤√a

    Доказанная теорема показывает, что при поочередном вычеркивании чисел из таблицы, необходимо начинать с числа, которое будет равно и должно соответствовать неравенству b² ≤ a. Если вычеркивание начнется с чисел, кратных 2, то в первую очередь будет вычеркнуто число 4, а если с кратных 3, то – число 9.

    Используя методику Эратосфена при составлении простой числовой таблицы, можно обнаружить, что в процессе вычеркивания натуральных составных чисел, останутся лишь те простые числа, которые не будут превосходить значение квадратного корня из n.

    Нет времени решать самому?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *