Что такое переполнение разрядной сетки
Перейти к содержимому

Что такое переполнение разрядной сетки

  • автор:

Что такое переполнение разрядной сетки

Данная статья ни в коем случае не претендует на полноту описания, и представляет собой лишь краткое дополнение к тем солидным учебным пособиям и справочникам, которые должны быть под рукой у каждого программиста. Просто мне не удалось найти ни в одном из подобных изданий тех элементарных сведений, которые будут изложены ниже. Видимо, авторам этот вопрос кажется настолько тривиальным и очевидным, что они не заостряют на нем внимания, полагая, что двух — трех строк достаточно для полного понимания. Однако это далеко не так — вопрос выходит далеко за те рамки, в которые его пытаются загнать авторы. А дело вот в чем. Любой начинающий работать на языке Ассемблера программист рано или поздно в своей деятельности доходит до изучения команд, изменяющих флаги переноса и переполнения в соответствии с определенными правилами. К таковым относятся, например, команды сложения, вычитания, умножения, логических и арифметических сдвигов. Естественно, работа с этими командами требует четкого понимания понятий переноса и переполнения. (Если быть более точным, следует осознавать, каким образом знаковые или беззнаковые числа, сочетаясь в арифметических командах, дают различные комбинации флагов переноса и переполнения. Это — азбука начинающего программиста, и без ее освоения дальнейшая работа невозможна). Раскроем любой учебник по языку Ассемблера, например, очень хороший учебник В.Юрова «Ассемблер: учебный курс» . Какую информацию он содержит по нашему вопросу?

В таблице «Флаги состояния» находим следующие сведения:
«. Флаг переноса CF . устанавливается в 1, если арифметическая операция произвела перенос из старшего бита результата. Старшим является 7, 15 или 31-й бит в зависимости от размерности операнда.»
«. Флаг переполнения OF . устанавливается в 1, если в результате операции происходит перенос (заем) в(из) старшего, знакового бита результата (биты 7, 15 или 31 для 8, 16 или 32-разрядных операндов соответственно).»

Это интересно. Получается, что автор учебника предлагает нам согласиться с тем, что: 1) Перенос происходит тогда, когда единица выносится за пределы разрядной сетки (при операции сложения) или занимается из этих пределов (при операции вычитания); 2) Переполнение происходит тогда, когда единица выносится в последний разряд числа (при операции сложения) или занимается из этого разряда (при операции вычитания).

Проверим, так ли это на самом деле. Сложим в программе два числа и проанализируем получившийся код отладчиком, обращая особое внимание на состояние флагов OF (переполнения) и CF (переноса) до и после выполнения команды. Например:

mov al, 10000000b ;//Произошел вынос единицы ТОЛЬКО за 
mov bl, 10000000b ;//пределы разрядной сетки, однако.
add al, bl ;//. есть и переполнение (OF=1), ;//и перенос (CF=1)

mov al, 11111111b ;//Имели место выносы единицы КАК за
mov bl, 00000001b ;//пределы разрядной сетки, так и в старший
add al, bl ;//бит, однако перенос есть, а переполнения нет

Налицо явное противоречие теории, изложенной в учебнике, и действительности, открывшейся после манипуляций с отладчиком. Что же, продолжим изучение теории. Что утверждают в своем учебнике «Язык Ассемблера и организация ЭВМ» В.Сорокин и В.Сарычев ?
«. Флаг переноса CF устанавливается в единицу, если произошел перенос из самого старшего разряда числа при команде сложения или если требуется заем для самого старшего разряда уменьшаемого при вычитании.»
«. Флаг переполнения OF используется как индикатор переполнения при работе с числами со знаком. Он устанавливается в 1, если результат операции над числами со знаком выйдет за пределы допустимого диапазона результата и устанавливается в 0 в противном случае.» По порядку установки флага переноса авторы не сообщили нам ничего нового. Более интересна информация о флаге переполнения, где вскользь упоминается о его зависимости от наличия у числа знака; чтобы выяснить, отличаются ли данные сведения от тех, что были найдены в предыдущем учебнике, произведем краткий экскурс в теорию знаковых и беззнаковых чисел, и вспомним, чем они отличаются друг от друга. На уровне машинных команд между этими двумя видами чисел нет никакой разницы. Находящийся в памяти или в одном из регистров операнд представляет собой (в зависимости от используемой модели адресации) 8-,16- или 32-разрядное число, все разряды которого абсолютно равноправны. Понятие знака введено исключительно для возможности манипулирования (на логическом уровне) с отрицательными числами — для процессора все числа одинаковы, а для программиста они отличаются тем, что для одних высший разряд выступает в качестве информации о знаке числа (знаковые числа), а для других все разряды несут информации о самом числе (беззнаковые числа). Естественно, выделение одного разряда под знак приводит к уменьшению возможной величины знакового числа вдвое 1 ; так, максимальное значение беззнакового 8-разрядного числа равно 11111111b, или 255, максимальное же (минимальное) значение аналогичного знакового числа равно соответственно 01111111b, или 127 (-128, или 10000000b). Если старший разряд знакового числа равен 1, число считается отрицательным, если 0 — положительным. Чтобы определить величину знакового числа, следует обратить в нем все биты (изменить их значения с 0 на 1 и наоборот), и приписать к полученному модулю (он считается беззнаковым) знак (-), если старший бит искомого числа был равен 1 2 . Исходя из этого, становится понятным различие на 1 в диапазонах для положительных и отрицательных величин (127,-128) — для последних может использоваться старший бит, который и дает единичную прибавку. Легко видеть, что больше 127 (меньше -128) знаковое число быть не может, поскольку для этих величин все информационные разряды уже взведены (сброшены), и дальнейшее увеличение (уменьшение) числа приведет к переносу в знаковый разряд (заему из него) и, соответственно, изменению знака числа.
. а это и есть пересказ иными словами того, что написано по поводу флага переполнения в учебнике «Язык Ассемблера и организация ЭВМ» . То есть и здесь авторы не сообщили нам ничего нового — речь идет все о том же пресловутом переносе в знаковый бит (старший разряд). А это, как мы уже убедились, не соответствует действительности. Популярные учебники не могут помочь нам в выяснении того, когда при выполнении арифметических команд возникает перенос, а когда — переполнение. Остается выяснить это самостоятельно, складывая между собой различные числа во всевозможных комбинациях, и анализируя состояние флагов OF и CF. При этом каждая пара чисел будет интерпретироваться дважды — сперва как две знаковых, затем как две беззнаковых величины.

mov al, 00111111b ;//Нет ни переполнения,ни переноса 
mov bl, 00000001b ;//7-й бит: стал равен 0 ; перенос в 7-й бит: нет
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - нет

mov al, 11111101b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 00000101b ;//7-й бит: стал равен 0 ; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 253 + 5 = 2 (неверно) ; ИЛИ -3 + 5 = 2 (верно)
mov al, 11111100b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 00000101b ;//7-й бит: стал равен 0 ; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 252 + 5 = 1 (неверно) ИЛИ -4 + 5 = 1 (верно)

mov al, 01000000b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 11000000b ;//7-й бит: стал равен 0 ; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 64 + 192 = 0 (неверно) ИЛИ 64 - 64 = 0 (верно)

mov al, 11100000b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 01100000b ;//7-й бит: стал равен 0 ; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 224 + 96 = 64 (неверно) ИЛИ -32 + 96 = 64 (верно)

mov al, 01100000b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 11100000b ;//7-й бит: стал равен 0 ; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 96 + 224 = 64 (неверно) ИЛИ 96 - 32 = 64 (верно)

mov al, 11100000b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 11100000b ;//7-й бит: стал равен 1; перенос в 7-й бит:есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 224 + 224 = 192 (неверно) ИЛИ -32 - 32 = -64(верно)

mov al, 11000000b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 11000000b ;//7-й бит: стал равен 1 ; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 192 + 192 = 128 (неверно) ИЛИ -64 - 64 = -128(верно)

mov al, 11111111b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 00000001b ;//7-й бит: стал равен 0 ; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 255 + 1 = 0 (неверно) ИЛИ -1 + 1 = 0 (верно)

mov al, 11111111b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 10000001b ;//7-й бит: стал равен 1 ; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 255 + 129 = 128 (неверно) ИЛИ -1 - 127 = -128 (верно)

mov al, 11111111b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 11000001b ;//7-й бит: стал равен 1; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 255 + 193 = 192 (неверно) ИЛИ -1 - 63 = -64 (верно)

mov al, 11111111b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 01000001b ;//7-й бит: стал равен 0; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 255 + 65 = 64 (неверно) ИЛИ -1 + 65 = 64 (верно)

mov al, 01000000b ;//Переполнение есть,переноса нет
mov bl, 01000000b ;//7-й бит: стал равен 1; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - нет
;// 64 + 64 = 128 (верно) ИЛИ +64 + +64 = -128(неверно)

mov al, 01100000b ;//Переполнение есть,переноса нет
mov bl, 01100000b ;//7-й бит: стал равен 1; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - нет
;// 96 + 96 = 192 (верно) ИЛИ +96 + +96 = -64 (неверно)

mov al, 01111111b ;//Переполнение есть,переноса нет
mov bl, 00000001b ;//7-й бит: стал равен 1; перенос в 7-й бит: есть
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - нет
;// 127 + 1 = 128 (верно) ИЛИ +127 + +1 = -128 (неверно)

mov al, 10000000b ;//Есть и перенос,и переполнение
mov bl, 10000000b ;//7-й бит: стал равен 0; перенос в 7-й бит: нет
add al, bl ;//Вынос за разрядную сетку - есть
;// 128 + 128 = 0 (неверно) ИЛИ -128 - 128 = 0 (неверно)
Итак, установка флажков переноса и переполнения производится по следующим правилам:

ПЕРЕНОС БЕЗ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ ( CF=1 , OF=0 ) — тогда,когда производится перенос единицы в знаковый разряд ( 7,15,31-й ) и перенос единицы из разрядной сетки (из 7,15 или 31-го разрядов в 8,16,32 , несуществующие для регистра указанной размерности). Сложение БЕЗЗНАКОВЫХ чисел при возникновении переноса протекает неправильно (ТОЛЬКО из-за переноса из разрядной сетки — перенос в знаковый разряд роли не играет). При интерпретации слагаемых как беззнаковых чисел перенос из разрядной сетки приводит к потере старших разрядов числа, и результат оказывается неверным. Сложение ЗНАКОВЫХ чисел при возникновении переноса протекает правильно , так как при такой интерпретации слагаемые представляют собой ЛИБО пару «ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО + ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО» (старший бит одного слагаемого равен 0, а второго — 1, и перенос из шестого (четырнадцатого, тридцатого) бита приводит к переносу в старший и переносу из разрядной сетки), и результат такого сложения не может быть неправильным — он будет находиться в пределах -128 — +127 ; ЛИБО пару «ДВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЛА,СУММА КОТОРЫХ НЕ МЕНЬШЕ -128» (это означает, что сочетания единичных битов первого и второго слагаемых ОБЯЗАТЕЛЬНО приведут к переносу в старший разряд в то время,как будет произведен перенос из разрядной сетки, и знаковый бит не будет потерян; для этого и налагается условие на сумму — -127 — 1, -120 — 8, -64 — 64 , НО НЕ — -127 — 2, -64 — 65 ). В последних случаях возникает перенос с переполнением, так как производится только перенос из разрядной сетки. ПЕРЕПОЛНЕНИЕ БЕЗ ПЕРЕНОСА ( OF=1 , CF=0 ) — тогда, когда производится ТОЛЬКО перенос единицы в знаковый разряд. Сложение ЗНАКОВЫХ чисел при возникновении переполнения протекает неправильно , так как слагаемые могут представлять собой ТОЛЬКО беззнаковые числа (иначе при переносе единицы из шестого бита наличие единицы в знаковом разряде приведет к переносу из разрядной сетки; в результате переполнения не будет,а будет перенос). Поэтому перенос единицы в знаковый разряд приводит к появлению знакового (отрицательного) числа, что неправильно — сложение двух положительных чисел может иметь результатом только положительное число. Сложение БЕЗЗНАКОВЫХ чисел в данном случае протекает правильно ,так как для этих чисел 7-й бит не играет особой роли и представляет собой лишь добавочный разряд; перенос в него не приводит к ошибке. ПЕРЕНОС С ПЕРЕПОЛНЕНИЕМ ( CF=1,OF=1 ) — тогда,когда производится ТОЛЬКО перенос единицы из разрядной сетки. Сложение БЕЗЗНАКОВЫХ чисел в данном случае протекает неправильно , так как перенос единицы из разрядной сетки приводит к потере старшего разряда. Сложение ЗНАКОВЫХ чисел ТОЖЕ протекает неправильно , так как в результате переноса из разрядной сетки теряется знаковый бит,и сумма двух отрицательных чисел (а перенос с переполнением возможен только при сложении двух отрицательных чисел,т.к. для переноса единицы из разрядной сетки без переноса в знаковый бит необходимы единицы в старших разрядах обоих слагаемых) превращается в положительное число,что неправильно. ОТСУТСТВИЕ ПЕРЕНОСА И ПЕРЕПОЛНЕНИЯ — тогда, когда нет переносов ни в знаковый разряд, ни из разрядной сетки.

На основании всего вышеизложенного может быть составлена следующая

Истинная таблица установки флагов переноса и переполнения для сложения:
Перенос из разрядной сетки Перенос в знаковый бит Флаги
Есть Есть CF=1 , OF=0
Есть Нет CF=1 , OF=1
Нет Есть CF=0 , OF=1
Нет Нет CF=0 , OF=0

Совершенно аналогично операциям сложения можно произвести ряд операций вычитания над знаковыми и беззнаковыми числами, отслеживая зависимость флагов OF и CF от наличия заемов из старшего и из «запредельного» разрядов.

mov al, 11100000b ;//Нет ни переполнения,ни переноса 
mov bl, 00100000b ;//Заем в 7-й бит: нет; заем из 7-го бита: нет
sub al, bl

mov al, 00111111b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 11111111b ;//Заем в 7-й бит: есть; заем из 7-го бита: есть
sub al, bl

mov al, 10000011b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 10011010b ;//Заем в 7-й бит: есть; заем из 7-го бита: есть
sub al, bl

mov al, 10000000b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 10000001b ;//Заем в 7-й бит: есть; заем из 7-го бита: есть
sub al, bl

mov al, 10000000b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 11000000b ;//Заем в 7-й бит: есть; заем из 7-го бита: есть
sub al, bl

mov al, 10001010b ;//Перенос есть,переполнения нет
mov bl, 10100101b ;//Заем в 7-й бит: есть; заем из 7-го бита: есть
sub al, bl

mov al, 10000000b ;//Переполнение есть,переноса нет
mov bl, 01000000b ;//Заем в 7-й бит: нет; заем из 7-го бита: есть
sub al, bl

mov al, 10000000b ;//Переполнение есть,переноса нет
mov bl, 00000001b ;//Заем в 7-й бит: нет; заем из 7-го бита: есть
sub al, bl

mov al, 01000000b ;//Есть и переполнение,и перенос
mov bl, 11000000b ;//Заем в 7-й бит: есть; заем из 7-го бита: нет
sub al, bl

mov al, 01100000b ;//Есть и переполнение,и перенос
mov bl, 10100000b ;//Заем в 7-й бит: есть; заем из 7-го бита: нет
sub al, bl

mov al, 01111111b ;//Есть и переполнение,и перенос
mov bl, 11111111b ;//Заем в 7-й бит: есть; заем из 7-го бита: нет
sub al, bl

mov al, 01110011b ;//Есть и переполнение,и перенос
mov bl, 10110111b ;//Заем в 7-й бит: есть; заем из 7-го бита: нет
sub al, bl

Правила установки флагов переноса и переполнения для команды вычитания аналогичны тем, что уже излагались для команды сложения; единственное различие — вместо словосочетания «перенос в. » всюду следует подставить словосочетание «заем из. «. А

Истинная таблица установки флагов переноса и переполнения для вычитания
Заем в 7-й(старший) бит Заем из 7-го(знакового) бита Флаги
Есть Есть CF=1 , OF=0
Есть Нет CF=1 , OF=1
Нет Есть CF=0 , OF=1
Нет Нет CF=0 , OF=0

Итак, мы на собственном опыте убедились, как на деле сложен тот вопрос, от которого авторы популярных учебников отделались парой абзацев. Надеюсь, что данная статья поможет всем начинающим программистам быстро освоить этот непростой материал. (c) 2003, Чугайнов Н.Г. 1 Видимо автор имел ввиду беззнаковое число. (прим. ред.) 2 Такое преобразование над числом так же называется дополнением до двух. А само представление отрицательных чисел — дополнительным кодом. (прим. ред.) © Чугайнов Н.Г.

Что такое переполнение разрядной сетки

19. Контроль переполнения при сложении кодов . Сдвиги

  • переполнение прямого кода,
  • контроль переполнения сравнением знаковых цифр,
  • использование модифицированных кодов,
  • контроль переносов,
  • виды сдвигов,
  • вывод правил арифметического сдвига.

Переполнение разрядной сетки в любом случае является грубой ошибкой и непременно должно обнаруживаться аппаратными средствами. Проще всего контролируется переполнение при сложении прямых кодов. При сложении прямых кодов переносы в знаковый разряд вообще не должны происходить, поэтому возникновение такого переноса можно использовать как признак переполнения.

При сложении дополнительных или обратных кодов перенос в знаковый разряд сам по себе не является признаком переполнения. Для контроля переполнения здесь можно применить один из трех способов:

а) анализ знаковых цифр операндов и результата операции. Обозначим знаковые цифры слагаемых B, C и суммы A соответственно b, c и a . Переполнение возможно только при одинаковом знаке слагаемых. Оно должно обнаруживаться получением неверного знака суммы, не совпадающего со знаком слагаемых. Признак (флаг) переполнения OF определяет логическая формула

Этот способ не может быть применен, в частности, при одноадресном сложении из-за невозможности одновременного чтения знаковых цифр обоих операндов;

б) контроль с применением модифицированных кодов состоит в использовании двух знаковых цифр вместо одной. Общее число цифр в модифицированном коде получается равным n + 1. Так как сложение двух n — 1 — разрядных модулей не может дать сумму с более, чем с n -разрядным модулем, старшая из двух знаковых цифр всегда сохраняет правильное изображение знака. Младшая из знаковых цифр при переполнении инвертируется, следовательно, признаком переполнения является несовпадение знаковых цифр. Примеры сложения модифицированных дополнительных кодов (обозначения кодов такие же, как в предыдущей лекции, двойные угловые скобки означают дополнительный код):

В первом примере переполнения нет, а во втором и третьем наблюдается переполнение. Выходящие из разрядной сетки цифры переносов из старшего знакового разряда (первый и третий примеры) игнорируются, как и вообще при сложении дополнительных кодов.

Для преобразования обычного кода в модифицированный, знаковая цифра операнда направляется сразу на два входа сумматора — в разряды с номерами n — 1 и n . Сумматор соответственно должен иметь увеличенную разрядность. Обе знаковые цифры участвуют в сложении наряду с цифрами модуля (или дополнения), как это и должно быть при применении дополнительного или обратного кода. Примеры с обратным модифицированным кодом:

Логический признак переполнения при этом способе выражается как

в) контроль по значению переносов CR[n — 1] (в знаковый разряд) и CR[n ] (из знакового разряда). В принципе этот способ аналогичен предыдущему, но не требует увеличения разрядности сумматора и регистра-аккумулятора. Нужно только соединить цепи переносов сумматора с логической схемой, реализующей функцию . На практике эти способы применяются в неявной форме, флаг OF выставляется на основании логического анализа ситуации .

Сдвиг двоичного числа влево на k разрядов эквивалентен умножению его на , сдвиг вправо — делению на . Крайние цифры при сдвиге теряются. Эти общие положения справедливы для любых чисел и любых кодов, но в деталях имеются отличия.

Необходимо различать сдвиг кода и сдвиг арифметический. Сдвиг кода или логический сдвиг выполняется просто. Сдвигаются все цифры, освободившиеся разряды занимаются нулями.

В арифметическом сдвиге знаковый разряд не участвует, он сохраняет свою прежнюю цифру. Таким образом, умножается или делится на только модуль числа (или его дополнение до ). Крайние цифры модуля теряются. Если число положительно, то освободившиеся разряды занимаются нулями. Если же оно отрицательно, то освободившиеся разряды занимаются по-разному в зависимости от принятого кода и от направления сдвига. Соответствующие правила сведены в таблицу 4.1.

Докажем необходимость именно такого выполнения арифметического сдвига над дополнительным и обратным кодами отрицательных чисел.

Сдвиг дополнительного кода на один разряд вправо, то есть деление дополнения модуля числа на два можно описать формулой

Первые два члена правой части равенства как раз дают верное изображение дополнения. Третий член означает нехватку единицы старшего разряда модуля. Чтобы скомпенсировать эту нехватку нужно, согласно таблице, вписать единицу в освободившийся слева разряд.

Следует иметь в виду, что величина А/2 представляется неточно: потеря младшей цифры кода, если это была единица, означает округление дополнения в меньшую сторону, а модуля числа — в большую. Пример:

Соответствующая формула для обратного кода:

Здесь до верного кода опять недостает и эта единица добавляется в освободившийся разряд. Что касается излишка +1/2, который нужно устранить, то он соответствует вышедшей из разрядной сетки цифре. Если код до сдвига оканчивался единицей, то ошибка округления отсутствует. И наоборот, ошибка возникает, если код до сдвига оканчивался нулем. Дополнение при этом округляется в большую сторону, а модуль числа — в меньшую. Аналогичные рассуждения проделаем для сдвига влево. Умножение отрицательного двоичного числа на 2, то есть сдвиг его на один разряд влево в дополнительном коде можно описать формулой:

Первая из единиц с весом выдвигается из разрядной сетки модуля и теряется, остается дополнение 2| A | до , что и требовалось. Коррекция не нужна.

В обратном коде соответственно получится

Первый член формулы, как и в дополнительном коде, теряется. Но в младшем разряде обнаруживается нехватка единицы. Чтобы результат получился верным, необходимо в младший разряд при каждом сдвиге влево вписывать единицу.

Если сдвигаемое число представлено в модифицированном коде (дополнительном или обратном), то арифметический сдвиг выполняется особенным образом и называется модифицированным сдвигом. Старшая из знаковых цифр остается на прежнем месте, а младшая участвует в сдвиге вместе с цифрами дополнения. Такая организация сдвига позволяет сохранить верный знак числа и восстановить правильное представление числа. Пример арифметического сдвига вправо:

Расположение запятой не влияет на правила выполнения сдвигов. Над правильными или неправильными дробями сдвиги выполняются точно так же, как над целыми числами. При других основаниях системы счисления сдвиги выполняются аналогично, только вместо единицы для заполнения освободившихся разрядов берется старшая из допустимых цифр. Примеры арифметического сдвига десятичных дробей:

Арифметический сдвиг и сдвиг кода могут выполняться как элементарные операции в составе микропрограмм умножения и деления, а также и самостоятельно, как операции ассемблера, доступные программисту. В дополнение к описанным в данной лекции видам сдвигов (логический сдвиг SHL и SHR и арифметический SAL и SAR ) ассемблер содержит еще команды циклического сдвига: ROL и ROR и циклического сдвига через триггер переноса: RCL и RCR.

Переполнение разрядной сетки

При выполнении некоторых арифметических операций может возникать явление переполнения разрядной сетки. Причиной переполнения может служить суммирование двух чисел с одинаковыми знаками (для чисел с разными знаками переполнение не возникает), которые в сумме дают величину, большую или равную 1 (при сложении правильных дробей) и величины r n (при сложении целых чисел).

Пример: A=+0,101 [A]доп = 0.101

В результате сложения двух положительных чисел получено отрицательное число, что является ошибкой. Результат неверен также и по величине.

Для обнаружения переполнения можно использовать следующие признаки:

— знаки слагаемых не совпадают со знаком суммы;

— есть перенос только в знаковый или только из знакового разряда.

Функция переполнения имеет вид:f=П1П2+ П1П2= П1П2

Если при сложении чисел с фиксированной запятой возникло переполнение, то вырабатывается сигнал переполнения разрядной сетки, и вычисления прекращаются.

Следует отметить, что при сложении чисел в дополнительном коде возможен случай, когда переполнение не фиксируется. Это происходит тогда, когда сумма модулей двух отрицательных чисел равна удвоенному весу единицы старшего разряда числа.

Пример: A=- 0,101 [A]доп = 1.011

Модифицированные коды

Для обнаружения переполнения разрядной сетки можно использовать модифицированные коды. Модифицированные коды отличаются от обычных кодов тем, что знак числа кодируется двумя разрядами. При выполнении алгебраического сложения или вычитания два знаковых разряда участвуют в операции как равноправные цифровые разряды. После выполнения операции содержимое знаковых разрядов определяет знак результата (левый знаковый разряд) и наличие переполнения (несовпадение знаковых разрядов): комбинация 01 фиксирует переполнение при сложении положительных чисел (положительное переполнение), а 10 – отрицательных (отрицательное переполнение).

А=+0,101 [A] мод доп = 00,101

А=-0,101 [A] мод доп = 11,011

Функция переполнения имеет вид:f=Зн1 Зн2 + Зн1 Зн2 = Зн1  Зн2.

Логическая схема формирования единичного сигнала при возникновении переполнения имеет следующий вид

Машинные формы представления чисел.

Существуют два основных способа представления данных в ЭВМ: с фиксированной и плавающей запятой.

Представление чисел в форме с фиксированной запятой. Для сокращения длины разрядной сетки и упрощения обработки данных положение запятой может быть зафиксировано схемотехнически. При этом в слове данных сохраняются только две структурных компоненты: поле знака и поле цифр.

Определим диапазон представления чисел для этого формата.

В зависимости от размеров целой и дробной частей возможно следующее:

± , 1 1 . . . 1 1

1) k=0, l=n Amax=1-2 -n

± 1 1 . . . 1 1,

2) k=n, l=0 Amax=2 n -1

± , 0 0 . . . 0 1

3) k=0, l=n Amin=2 -n

± 0 0 . . . 0 1,

4) k=n, l=0 Amin=1

Очевидно, что ограничение длины разрядной сетки приводит к ограничению диапазона хранимых чисел и потере точности их представления. Поэтому на практике широко используется и другая форма представления чисел.

Представление чисел в форме с плавающей запятой. В общем виде числа с плавающей запятой имеют следующий вид:

где mA— мантисса, арA— порядок числа А. Порядок (с учетом знака) показывает, на сколько разрядов и в какую сторону сдвинута запятая при замене формы записи числа с естественной на нормальную.

Например, А10= 239,745 = 0,239745 10 3 = 239745 10 -3 .

Наиболее распространено и удобно для представления в ЭВМ ограничение вида r -1 ≤mA1.

Форма представления чисел, для которых справедливо данное ограничение, называется нормализованной. Так как абсолютное значение мантиссы в этом случае лежит в диапазоне отr -1 до 1-r — n , гдеn– число разрядов мантиссы без знака, то положение разрядов числа в его машинном изображении непостоянно. Отсюда и название этой формы представления чисел – с плавающей запятой. Формат машинного изображения чисел с плавающей запятой должен включать знаковые поля (мантиссы и порядка), поле мантиссы и поле порядка числа и имеет следующий вид:

Для данного формата разрядной сетки можно записать следующий диапазон представления чисел.

Для упрощения операций над порядками применяют представление чисел с плавающей запятой со смещенным порядком: p=p+N, гдеN– целое положительное число (смещение),N=max(-p). ОбычноN=2 k , гдеk- число двоичных разрядов в поле цифр несмещенного порядка. В этом случае поле знака порядка избыточно, так какp’ всегда положительно. Такие смещенные порядки называютхарактеристиками. В зависимости от типа данных числа с плавающей запятой в памяти ЭВМ хранятся в одном из следующих трех форматов:

При выполнении арифметических операций над числами с плавающей запятой может получаться результат выходящий за пределы диапазона представления чисел, при этом выход за правую границу диапазона принято называть переполнением порядка (получение очень большого числа), а выход за левую границу – исчезновение порядка (потеря порядка) получение очень малого числа близкого к нулю.

В стандарте IEEEкрайние значения порядка (характеристики) зарезервированы и не используются для представления обычных чисел. Максимальное значение характеристики представленное всеми единицами при положительном знаке числа зарезервировано для представления значения (+ ∞) при нулевой мантиссе. При знаке минус число с максимальной характеристикой используется для представления (- ∞) и неопределенности. Значение с минимальной характеристикой равной нулю зарезервировано для представления денормализованных чисел (положительных и отрицательных), а также для представления нуля (представляется всеми нулями), причем различают +0 и –0.

Переполнение разрядной сетки

Информатика, информационные технологии

В ЭВМ количество разрядов, используемых для представления чисел, ограничено. Поэтому при сложении двух чисел с одинаковыми знаками их сумма может оказаться больше по модулю, чем максимальное число, которое может быть записано при заданном количестве разрядов и результат сложения окажется неверным. Такое явление называется переполнением разрядной сетки.

Пример 6. Сложить два числа А = + 1101,1 и В = + 1011,0 (n=4, m=1) в обратном коде.

Решение. [A]обр = 0.1101,1

В этом примере 1 переноса из старшего разряда попадает в знаковый разряд ( с отрицательным весом) и, следовательно, в результате сложения двух положительных чисел получается отрицательное число.

При сложении отрицательных чисел в обратном или дополнительном кодах переполнение разрядной сетки наступает в том случае, если отсутствует 1 переноса в разряд с отрицательным весом и результат оказывается положительным.

Пример 7. Сложить два числа А = — 1011 и В= — 1101 (n=4, m=0) в дополнительном коде.

Решение: [A]доп = 1.0101

Для обнаружения переполнения разрядной сетки используют следующие способы:

1. Сравнивают знаки слагаемых со знаком суммы. Сигнал переполнения вырабатывается тогда, когда знаки слагаемых одинаковы и не совпадают со знаком суммы.

2. Второй способ основан на применении модифицированных кодов. Модификация кодов заключается во введении дополнительного разряда, который располагается перед знаковым. Этот разряд часто называют разрядом переполнения. Иногда говорят, что модифицированные коды содержат два знаковых разряда. Положительные числа имеют в знаковых разрядах два нуля, отрицательные – две единицы. При использовании модифицированных обратного и дополнительного кодов признаком переполнения разрядной сетки является наличие в знаковых разрядах различных цифр 01 или 10.

Пример 8. Сложить числа А1= +1011 и В1= +1101, А2= -1100 и В2= -1101 (n=4, m=0) соответственно в модифицированных дополнительном и обратном кодах.

В обоих примерах произошло переполнение разрядной сетки.

При несовпадении знаковых разрядов в модифицированных кодах вырабатывается сигнал переполнения разрядной сетки.

Порядок выполнения работы

Содержанием работы является: 2 схемы одноразрядных двоичных сумматоров, схема 8-ми разрядного двоичного сумматора параллельного действия, построение схем с использованием программы«ЕВЕМА-2» и контроль правильности их работы.

Работу рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

— по таблице истинности одноразрядного двоичного сумматора получить выражения для сигналов суммы и переноса в булевом базисе;

— набрать на компьютере комбинационную схему одноразрядного двоичного сумматора;

— набрать на компьютере комбинационную схему 8-ми разрядного двоичного сумматора;

— выполнить сложение заданных чисел в обратном и дополнительном кодах;

— проверить правильность работы схемы, задавая на ее входах значения чисел в обратном и дополнительном кодах.

Статьи к прочтению:
  • Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую позиционную систему счисления
  • Перевод чисел в системах счисления с кратными основаниями

Разрядная сетка с фиксированной запятой

Похожие статьи:
  • Тема 2.3. построение геометрических объектов по сетке РЕЖИМ ПОСТРОЕНИЯ ПО СЕТКЕ Когда Вы работаете с чертежом, иногда бывает удобно включить изображение сетки на экране и назначить привязку к ее узлам. При…
  • Разрядные операционные системы семейства windows КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине «Операционные системы» Исполнитель: ст. гр. 4301 Галиева Д.М. Руководитель: Шалагин С. В. Оценка_________________…

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *