Что делать если определитель матрицы равен 0
Перейти к содержимому

Что делать если определитель матрицы равен 0

  • автор:

формул Крамера

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Теорема (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля ( ), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

, где — главный определитель, j -й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j -го столбца столбцом свободных членов.

Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.

Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

Что делать если определитель матрицы равен 0

Многие свойства определителей основаны на соответствующих свойствах перестановок и транспозиций.

Применение свойств определителей позволяет значительно упростить процедуру их вычисления.

.

Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число:


Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей:

Что делать если определитель матрицы равен 0

Свойство 1 . Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: .

Доказательство. Согласно определению,

(1)

Свойство 2 . Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножееию определителя на это число:

.

Свойство 3 . Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.

Свойство 4 . Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.

Свойство 5 . Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю.

Свойство 6 . Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю.

Свойство 7 . Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.

Свойство 8 . Если все элементы k-ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм ak j + bk j, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:

.

Доказательство. Преобразуем исходный определитель:

.

Свойство 9 . Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.

Доказательство. Определитель, стоящий в правой части этого равенства, можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых является исходным, а второй имеет две пропорциональные друг другу строки и, следовательно, равен нулю.

Определитель матрицы

Определитель (детерминант) квадратной матрицы A — это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

Обозначения

Пусть $ A = \begin 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end$

$det(A) = \left|A\right| = \begin 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end$

Свойства определителя

  1. Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.

Пример 15
$\begin 1 & 4 & 2\\ 7 & 2 & 3\\ 8 & 6 & 5 \end= 0$ $R_ +R_ =R_$ или

Минор матрицы

Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

Пример 21
$A=\begin 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end$

Один из миноров матрицы A есть $\begin 1 & 4\\ 5 & 3 \end$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другим минором является $\begin 1 & 2 \\ 6 & 1 \end$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Пример 22
$B=\begin 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end $

Один из миноров матрицы B есть $ \begin 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Другим минором является $\begin 1 & 7 \\ 8 & 3 \end$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Пусть $A= \begin a_ & a_ & a_ & . & . & a_\\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_\\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_\\ . & . & . & . & .& .\\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ \end$

Можно определить минор $\Delta_$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

Определить дополнительный минор элемента 2. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 1, видно, что это $a_$.

Нужно вычеркнуть строку 2 и столбец 1 из матрицы A, после чего получаем

Минор, дополнительный к элементу 2, есть $\Delta_ = 7$.

Пример 24
$B=\begin 1 & 4 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 6 & 2 & 1\\ \end$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 7. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 3, видно, что это $a_$.

Мы должны вычеркнуть строку 2 и столбец 3 из матрицы B, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 7, — это $\Delta_= \begin 1 & 4\\ 6 & 2 \end$

Пример 25
$C=\begin 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 5. Так как данный элемент находится в строке 1, столбце 2, видно, что это $a_$.

Мы должны вычеркнуть строку 1 и столбец 2 из матрицы C, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 5, — это $\Delta_= \begin 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end$

Алгебраическое дополнение элемента матрицы

Каждому элементу $a_$ матрицы A соответствует алгебраическое дополнение $(-1)^\cdot\Delta_$. Например, алгебраическое дополнение $(-1)^\cdot\Delta_=(-1)^\cdot\Delta_= -\Delta_ $ соответствует элементу $a_$.

Порядок определителя

Порядок определителя матрицы равен числу ее строк и столбцов.

Пример 26
$\begin 1 & 4\\ 6 & 2\\ \end$ (матрица имеет 2 строки и 2 столбца, так что порядок определителя равен 2)

Пример 27
$\begin 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end$ (матрица имеет 3 строки и 3 столбца, так что порядок определителя равен 3)

Вычисление определителя матрицы

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца и их алгебраических дополнений.

$\left| A\right| = \begin a_ & a_ & a_ & . & . & a_\\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_\\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_\\ . & . & . & . & .& .\\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_\\ \end$

Можно посчитать определитель, например, используя строку i:

Либо же можно посчитать определитель, используя столбец j:

Вычисление определителя матрицы 2×2

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

Заметим, что $ \Delta_= a_ $ и $ \Delta_=a_$

$ \left| A\right| =a_ \cdot a_- a_ \cdot a_$

$\color < \begina & b\\ c & d \end =a \cdot d - b \cdot c>$

Пример 28
$\begin 2 & 5\\ 3 & 8 \end =2 \cdot 8 — 3 \cdot 5 = 16 -15 =1$

Пример 29
$\begin -4 & 7\\ -2 & 9 \end =-4 \cdot 9 — 7 \cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = — 22$

Вычисление определителя матрицы 3×3

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

Упростить получение последней формулы можно следующим образом.

Начнем с того, что перепишем первые две строки под определителем как показано ниже.

Умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (на главной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
$\color\cdot a_\cdot a_+ a_\cdot a_\cdot a_+a_\cdot a_\cdot a_>$

Умножаем элементы на каждой из трех синих диагоналей (на побочной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:

Вычитая вторую сумму из первой, получаем формулу определителя:

Пример 30
$A=\begin 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1\\ \end$

$\begin 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1\\ \end$
$\hspace\begin 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ \end$

$ = 1\cdot1\cdot1 + 2\cdot2\cdot3 + 3\cdot4\cdot5 -(3\cdot1\cdot3 + 5\cdot2\cdot1 + 1\cdot4\cdot2) =$ $ 1 + 12 + 60 -(9 + 10 + 8)=73-27=46$

Пример 31
$A=\begin 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2\\ 7 & 1 & 9\\ \end$

$\begin 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2\\ 7 & 1 & 9\\ \end$
$\hspace\begin 3 & 5 & 1\\ 1 & 4 & 2\\ \end $

$= 3\cdot4\cdot9 + 1\cdot1\cdot1 + 7\cdot5\cdot2 -(1\cdot4\cdot7 + 2\cdot1\cdot3 + 9\cdot5\cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

Элементы матрицы могут быть обозначены буквами. Вычисление их определителей можно упростить, используя свойства определителей. Например, можно вычислить определитель матрицы, в которой к какой-либо строке (или столбцу) прибавлена линейные комбинация других строк (столбцов).

$\begin a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end$ $ \xlongequal+C_+C_> \begin a + b + c & b & c\\ c + a + b & a & b\\ b + c + a & c & a \end = (a + b + c) \cdot \begin 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end$

Вычисляем последней определитель:

$\begin 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end$
$\hspace\begin 1 & b & c\\ 1 & a & b \end$

$ = a^ + b^ + c^ -a\cdot c — b\cdot c — a\cdot b =$ $\frac\cdot(2a^ +2b^+2c^ -2a\cdot b -2a\cdot c-2b\cdot c) =$ $\frac\cdot(a^-2a\cdot b + b^+ a^-2a\cdot c +c^+b^-2b\cdot c + c^)=$ $\frac\cdot[(a-b)^+(a-c)^+(b-c)^]$

В итоге получаем:

Пример 32
Вычислим определитель матрицы Вандермонде.
$\begin 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^ & b^ & c^ \end$

Используя свойства определителей, модифицируем строку 1 так, чтобы два элемента обратились в 0. В этом случае, когда мы используем полученную выше формулу для определителя матрицы 3×3, нет необходимости вычислять алгебраические дополнения этих элементов, поскольку их произведение будет равно 0.

Вычисление определителя матрицы 4×4

Вычислить определитель матрицы 4×4 можно с использованием общей формулы для определителя матрицы 3×3.

  1. Проверим, не выполняется ли одно из условий того, что определитель равен 0.
  2. Проверим, нельзя ли вынести общий множитель из одной или нескольких строк или столбцов.
  3. Проверим, не является ли данная матрица матрицей Вандермонде, возможно, такой, в которой некоторые строки или столбцы переставлены.

В любом из этих случаев нам пригодятся соответствующие методы вычисления определителей матриц 3×3. Модифицируем строку или столбец так, чтобы все его элементы, кроме одного, обратились в 0. Определитель будет равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение. В этом случае, алгебраическое дополнение — это определитель матрицы 3×3, который считается по уже известной формуле.

Пример 33
$\begin 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end$

Замечаем, что все элементы в строке 3 равны нулю, а значит, определитель равен 0.

Пример 34
$\begin 1 & 3 & 1 & 2\\ 5 & 8 & 5 & 3\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 2 & 8 \end$
Замечаем, что $C_$ равно $C_$, следовательно, определитель равен 0.

Пример 35
$\begin 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 10 & 16 & 18 & 4\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end$
Замечаем, что строки 2 и 3 пропорциональны друг другу, следовательно, определитель равен 0.

Пример 36
$\begin \color & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -3 & 3\\ 0 & -1 & 3 & 3\\ 0 & 3 & 1 & 1 \end$

Поскольку в столбце 1 только один элемент отличен от нуля, применяем общую формулу, используя этот столбец. Алгебраические дополнения нулевых элементов считать не надо, так как их произведения на эти элементы все равно будут равны нулю.

=
$=4(1\cdot3\cdot1 +(-1)\cdot1\cdot3+3\cdot(-3)\cdot3$ $-(3\cdot3\cdot3+3\cdot1\cdot1 +1\cdot(-3)\cdot(-1)))$ $=4(3-3-27-(27+3+3))=4\cdot(-60)=-240$

Пример 37
$\begin 4 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end$

Чтобы изменить строку так, чтобы в ней стало больше нулей, нужно совершать операции со столбцами, и наоборот. Выбираем строку или столбец, содержащий элемент 1, поскольку из него можно получить любое число простым умножением.

Заметим, что в строке 2 уже есть два нулевых элемента. Достаточно обратить лишь еще один элемент в 0, чтобы осталось посчитать только одно алгебраическое дополнение единичного элемента.

$\begin 4 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end \xlongequal+2C_>$ $\begin 4 & 3 & 2 & 8\\ 0 & \color & 0 & 0\\ 1 & -1 & 3 & 1\\ 2 & 3 & 1 & 7 \end=$ $=$br />

$= 1\cdot(-1)^\cdot \begin 4 & 2 & 8\\ 1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 7 \end=$
$=4\cdot3\cdot7 + 1\cdot1\cdot8 + 2\cdot2\cdot1$ $-(8\cdot3\cdot2 + 1\cdot1\cdot4 + 7\cdot2\cdot1) =$ $ 84 + 8 + 4- 48-4-14=30$

Пример 38
$\begin 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 3 & 3 & 3\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end$

Можно вынести множитель 3 из строки 3:
$3\cdot \begin 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end$

Поскольку в строке 3 все элементы равны 1, легко обратить получить нули.

$\begin 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1 \end$ $ \xlongequal — C_,C_-C_,C_-C_> \begin -1 & -4 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & \color\\ -2 & 3 & 1 & 1 \end$ $=1\cdot(-1)^\cdot$ $=(-1)\cdot \begin -1 & -4 & 1\\ 3 & 4 & 2 \\ -2 & 3 & 1\\ \end$
$=-((-1)\cdot 4\cdot 1 +3 \cdot 3\cdot1 + (-2)\cdot (-4)\cdot 2$ $- (1\cdot 4\cdot (-2) + 2\cdot 3\cdot (-1) + 1\cdot (-4)\cdot3))$ $=-(-4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) =-47$

Пример 39
$\begin 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 7 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 4 \end$

Здесь мы можем использовать единицу из последней строки и обратить остальные элементы первого столбца в нули.

$\begin 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 7 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 4 \end$ $\xlongequal-2R_,R_-4R_, R_-5R_> \begin 0 & 5 & -3 & -4\\ 0 & 1 & -2 & -13\\ 0 & 3 & -3 & -18\\ \color & 0 & 2 & 4 \end=$ $=1\cdot(-1)^\cdot \begin 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end=$ $(-1)\cdot \begin 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end$

Выносим общий множитель -1 из столбца 2 и еще раз -1 из столбца 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end=$ $(-1)\cdot \begin 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end=$ $-[5\cdot 2\cdot 18 + 1\cdot 3\cdot 4+ 3\cdot 3\cdot 13 — (4\cdot 2\cdot 3\cdot + 13\cdot 3\cdot 5 + 18\cdot 3\cdot 1)]=$ $-(180+12+117-24-195-54)=36$

Пример 40
$\begin 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end$

Мы видим элемент 1 в столбце 3, так что мы можем обратить остальные элементы строки 2 в нули.

$\begin 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end$ $\xlongequal-C_, C_-3C_,C_-2C_> \begin 2 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & \color & 0 \\ -1 & -4 & 3 & -2\\ -1 & -2 & 2 & -1 \end=$ $=1\cdot(-1)^\cdot \begin 2 & 1 & -1\\ -1 & -4 & -2\\ -1 & -2 & -1 \end$

Выносим общий множитель -1 из строки 2 и еще раз -1 из строки 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end=$ $(-1)\cdot \begin 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end=$ $-[2\cdot 4\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot (-1)+ 1\cdot 1\cdot 2 — ((-1)\cdot 4\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 1)]=$ $-(8-2+2+4-8-1)=-3$

Пример 41
$\begin 2 & 1 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3\\ \end$

Заметим, что все строки и все столбцы состоят из одних и тех же элементов, но в разном порядке. В таком случае мы можем сложить все строки или все столбцы.

$\begin 2 & 1 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end$ $\xlongequal+L_+L_+L_> \begin 10 & 10 & 10 & 10\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end =$ $10\cdot \begin 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end$ $\xlongequal — C_,C_-C_,C_-C_>10\cdot \begin 0 & 0 & 0 & \color\\ -1 & 1 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -2 & 3 \end=$

$=10\cdot1\cdot(-1)^$

$ = (-10)\cdot \begin -1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & -1 & -2 \end=$ $(-10)\cdot((-1)\cdot 3\cdot (-2) +2 \cdot (-1)\cdot2 + 1\cdot 1\cdot 1$ $-(2\cdot 3\cdot 1 + 1\cdot (-1)\cdot (-1) + (-2)\cdot1\cdot2))$ $= -10\cdot(6 -4 +1 -6 — 1 + 4) =0$

Электронная почта:
Об авторе

© 2005 — 2024
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *