Как привести к несократимой дроби
Перейти к содержимому

Как привести к несократимой дроби

  • автор:

Сократимые и несократимые дроби: определение, примеры

Данная статья посвящена рассмотрению сократимых и несократимых дробей. Приведем примеры, дадим определения сократимых и несократимых дробей. Выясним, как определить, можно ли сократить конкретную дробь.

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби вида a b можно разделить на сократимые и несократимые. Разделение объясняется соответственно наличием или отсутствием общих для числителя и знаменателя дроби делителей. Приведем определения.

Определение. Сократимая дробь

Обыкновенная сократимая дробь — такая дробь, для числителя и знаменателя которой существует положительный общий делитель, отличный от единицы.

Определение. Несократимая дробь

Обыкновенная несократимая дробь — такая дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть имеют единственный общий положительный делитель, равный единице.

Приведем примеры сократимых и несократимых дробей.

Примеры сократимых дробей

Дробь 15 45 — сократимая. Действительно, как числитель, так и знаменатель можно разделить на 5. Другими словами, числитель и знаменатель этой дроби имеют общий делитель.

Другие примеры сократимых дробей — 12 12 , 3 66 , 8 32

Примеры несократимых дробей

Дробь 7 12 — несократимая, так как ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Другие несократимые дроби — 9 14 , 11 12 , 8 33 .

Проверка дроби на сократимость

Часто с первого взгляда на конкретную дробь сложно сказать, является она сократимой или несократимой. Конечно, исключения составляют простые случаи, когда по признакам делимости сразу можно выявить общий делитель числителя и знаменателя.

К примеру, по признаку делимости на 10 сразу можно сказать, что дробь 470 540 сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель, равный 10 . Так же, дробь 384 428 является сократимой по признаку делимости на 2.

Но как быть с более сложными случаями, когда признаки делимости не могут помочь? Например, когда нужно узнать, сократима ли дробь 288329 342439 . Для таких случаев существует общий метод проверки дроби на сократимость.

Правило проверки дроби на сократимость

Вычисляем наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

  1. Если НОД равен единице, то дробь является несократимой.
  2. Если НОД отличен от единицы, то дробь сократима.

Посмотрим на практическое применение этого правила.

Пример. Сократима ли дробь?

Выясним, сократима ли обыкновенная дробь 495 539 . Для этого вычислим НОД числителя и знаменателя, применяя алгоритм Евклида.

539 = 495 · 1 + 44 495 = 44 · 11 + 11 44 = 11 · 4

Отсюда Н О Д ( 495 , 539 ) = 11 . Следовательно, числитель и знаменатель дроби не являются взаимно простыми числами, и дробь сократима.

В математических выкладках, если при вычислениях получилась сократимая дробь, принято производить ее сокращение и записывать в виде несократимой дроби.

Сократимые и несократимые дроби.

Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.

Сократимая дробь, определение и примеры.

Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.

Например:
Докажите, что дробь \(\frac\) является сократимой.

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7

Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.

Из сократимой дроби \(\frac\) получили несократимую дробь \(\frac\).

Несократимая дробь, определение и примеры.

Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.

Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.

Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь \(\frac\) является несократимой дробью.

Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь \(\frac\) является несократимой.

Правило несократимой дроби.

  1. Нужно расписать на простые множители числитель и знаменатель.
  2. Нужно посмотреть есть ли у числителя и знаменателя общие множители. Если множители есть, то сократить дробь.
  3. Оставшиеся множители перемножить и записать полученную несократимую дробь.

Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби \(\frac\).

Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.

Ответ: получили несократимую дробь \(\frac\).

Неправильные сократимые и несократимые дроби.

Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:

Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби \(\frac\).

Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем

Ответ: получили несократимую неправильную дробь \(\frac\).

Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.

Определите сократима ли дробь \(\frac\).

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.

Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) \(\frac\) б) \(\frac\) в) \(\frac\) г) \(\frac\).

Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби \(\frac\) (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.

б) У числителя и знаменателя дроби \(\frac\) (6=2⋅3, 4=2⋅2, \(\frac=\frac=\frac\) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.

в) Числитель и знаменатель дроби \(\frac\), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.

г) Числитель и знаменатель дроби \(\frac\) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь \(\frac=\frac=\frac\) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.

Ответ: \(\frac\) несократимая, правильная дробь.

Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.

Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.

б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.

в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от \(\frac\) до \(\frac\).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.

г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.

Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?

Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.

Несократимая дробь

То есть единственным общим делителем числителя и знаменателя несократимой дроби является единица.

Делители числителя: 1; 5

Делители знаменателя: 1 ; 2; 3; 4; 6; 12.

НОД (5; 12) =1, следовательно, 5 и 12 — взаимно-простые числа. Поэтому дробь

Делители числителя: 1 ; 2; 4; 8; 16.

Делители знаменателя: 1 ; 3; 7; 21.

Наибольший (и единственный) общий делитель числителя и знаменателя — единица. Значит, числитель и знаменатель — взаимно-простые числа. Поэтому данная дробь — несократимая.

Согласно основному свойству дроби, дробь не изменится, если её числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, отличное от нуля:

— две различные записи одного и того же числа.

В математике принято ответ записывать в виде несократимой дроби. То есть если числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, необходимо это сделать, иначе ответ не считается правильным.

Вот почему столь важно уметь определять, является ли дробь несократимой.

Как определить, является ли дробь несократимой?

1) Можно разложить числитель и знаменатель на простые множители и найти наибольший общий делитель. Если он равен 1, дробь несократима.

— несократимая дробь, поскольку наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен единице и 544 и 945 — взаимно-простые числа.

nesokratimaya-drob

2) Если числитель и знаменатель — простые числа, то они являются взаимно-простыми, а дробь, соответственно, — несократимой.

несократима, так как 491 и 769 — простые числа (проверили по таблице простых чисел).

3) Можно проверять делимость числителя и знаменателя, используя признаки делимости.

Если ни один из делителей одного числа не является делителем другого, то общий делитель числителя и знаменателя — единица, то есть они являются взаимно-простыми числами, а дробь — несократимой.

Числитель 105 делится на 5, 105:5=21. 21 делится на 3 и на 7. Следовательно, делители 105: 1; 3; 5; 7; 105.

Искать все делители знаменателя 374 не обязательно. Достаточно проверить, а не делится ли он на один из делителей числителя:

на 5 не делится (запись заканчивается не на 0 и не на 5),

на 7 не делится (можно проверить непосредственным делением),

на 105 не делится.

Значит 1 — единственный общий делитель 105 и 374, они являются взаимно-простыми числами, а дробь — несократимой.

Теория: Сложение дробей

Сложите дроби, предварительно сократив их. Ответ запишите в виде несократимой дроби.

1. Сократим дроби.

Рассмотрим дробь \(\displaystyle \frac\).

\(\displaystyle НОД(21=3\cdot 7, 70=2\cdot 5\cdot 7)=7\). Тогда

Рассмотрим дробь \(\displaystyle \frac\).

\(\displaystyle НОД(2, 36=2^2\cdot 3^2)=2\). Тогда

2. Для того чтобы найти сумму дробей \(\displaystyle \frac+\frac\), их необходимо привести к общему знаменателю (неважно к какому).

Выберем общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac\) и \(\displaystyle \frac\), равный произведению знаменателей \(\displaystyle 10\cdot 18\).

Теперь можно сложить дроби, заменяя каждую дробь на дробь с общим знаменателем,

3. Проверим, является ли дробь \(\displaystyle \frac\) несократимой (если она сократима, то сократим ее).

\(\displaystyle НОД(64, 180)=4\), следовательно, \(\displaystyle \frac=\frac=\frac\).

Ответ: \(\displaystyle \frac\).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *