Как посчитать площадь пятиугольника с разными сторонами
Перейти к содержимому

Как посчитать площадь пятиугольника с разными сторонами

  • автор:

Площадь многоугольника

Пример многоугольника

Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).

По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».

Как найти площадь пятиугольника? По какой формуле? Заранее благодарю:)

разбей его на простые фигуры, найди их площади и сложи результаты!

если пятиуголник правильный, то
S = (5/4)*t*t*ctg(pi/5)
t — длина стороны
pi — число пи =)

За полчаса ни одного решения не нашли.

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Как посчитать площадь пятиугольника с разными сторонами

Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. Существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным и носит название «пентагон».

Геометрия пятиугольника

Пятиугольник — это фигура, которая состоит из пяти соединенных отрезков. Стороны произвольного многоугольника могут соединяться под разными углами, в результате чего фигура может быть невыпуклой. Наиболее ярким примером невыпуклого многоугольника является звезда, а пятиугольника — проекция зубчатой короны, когда два «зубца» выступают над прямоугольным основанием. Выпуклый многоугольник — это фигура, продолжение отрезков которого не пересекает других сторон. Если же мы продлим отрезки зубцов или лучей звезды, они пересекут другие стороны фигуры.

Пятиугольник в реальности

Невыпуклые геометрические фигуры редко встречаются в человеческой повседневности и обычно представляют собой основания для нестандартных призм. Наиболее распространенным пятиугольником в реальности считается пентагон — правильный многоугольник. Пентагон нашел применение в архитектуре и дизайне, и тезкой фигуры является одно из самых известных зданий Америки — штаб министерства обороны США.

Додекаэдр — платоново тело, каждая из 12 сторон которого является правильным пятиугольником. Додекаэдр используется в различных сферах, но наиболее известным представлением многогранника считается игральная кость d12, которая используется как генератор случайных чисел для настольных ролевых игр. Несмотря на то, что многие организмы обладают пентасимметрией, например, морские звезды или плоды мушмулы, природные пятиугольные объекты практически не встречаются в природе.

Площадь пентагона

Площадь любой геометрической фигуры — это количественная оценка того, какую часть плоскости ограничивают ее стороны. Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле:

S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n), где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны. Таким образом, если подставить n = 5 и выразить получившееся выражение десятичной дробью, мы получим простую формулу для вычисления площади пентагона:

S = 1,72 a 2 где a — длина одной стороны. Сторона пентагона и радиусы вписанной r и описанной окружности R приблизительно соотносятся как:

  • a = 1,4131 r
  • a = 1,1756 R

Программный код калькулятора использует эти соотношения, что позволяет вам найти площадь правильного пятиугольника, зная только один параметр из перечисленных:

  • радиус вписанной окружности;
  • радиус описанной окружности;
  • длина стороны.

Рассмотрим на примерах, как вычислить площадь правильного пятиугольника.

Примеры из жизни

Пентагон

Штаб министерства обороны США — это всемирно известное здание, которое имеет форму правильного пятиугольника. Каждая сторона штаба имеет длину 281 м и мы без проблем можем узнать, какую площадь занимает здание. Для более удобного представления выразим длину в километрах, введем эти данные в форму калькулятора a = 0,281 и получим результат:

Площадь Пентагона составит 0,136 квадратных километров.

Школьная задача

К примеру, необходимо вычислить площадь пентагона, зная, что радиус вписанной окружности составляет 15 см. Мы можем выразить сторону многоугольника через простое соотношение радиуса вписанной окружности и длины стороны a = 1,4131 r, после чего посчитать по формуле его площадь. Проще всего ввести значение радиуса в ячейку «Радиус вписанной окружности r» и получить мгновенный результат:

Кроме непосредственно площади фигуры, калькулятор автоматически подсчитал остальные атрибуты пятиугольника.

Заключение

Пентагон нечасто встречается в реальной жизни, однако при решении производственных вопросов или школьных задач вам может понадобиться рассчитать площадь или периметр правильных многоугольников. Наш каталог калькуляторов к вашим услугам.

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось fred1996 04.12.2017, 15:15, всего редактировалось 2 раз(а).

Пусть у нас имеется выпуклый пятиугольник $ABCDE$с таким свойством, что все 5 треугольников, образованных соседними точками, как $ABC$и остальные по кругу, имеют единичную площадь.
1. Вычислить площадь всего пятиугольника.
2. Доказать, что существует бесконечное количество неконгруэнтных пятиугольников с указанным свойством.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 16:33

Последний раз редактировалось wrest 04.12.2017, 16:35, всего редактировалось 1 раз.

fred1996 в сообщении #1271919 писал(а):
1. Вычислить площадь всего пятиугольника.

Обозначим сторону пятиугольника как $x$, диагональ же как $y$.
Раз пятиугольник правильный, то [меньший] угол между стороной и диагональю равен $36^o$

$\cos 36^o=\frac<\sqrt<5></p>
<p>Всем известно, что +1>$» /></p>
<p>Выражая диагональ через сторону, получаем <img decoding=и $ACE$по формуле Герона и деля одну на другую, с учетом полученного выражения диагонали через сторону, получаем
$\dfrac<S_<ABC>>>=\frac(\sqrt-1)$» /></p>
<p>Не обязательно по формуле Герона, можно по любой формуле — нам известны все параметры этих треугольников: их стороны <img decoding=и $y$, угол между любыми двумя сторонами и синусы-косинусы-тангенсы всех этих углов

Поскольку $S_=1$ а $S_<ABCDE>=S_+S_+S_=2S_+S_$» /> то получаем<br /><img decoding= Заслуженный участник

Поскольку в задаче не заданы прочие параметры, можно предположить, что ответ не зависит от них и равен найденному для правильного пятиугольника

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 17:17

Последний раз редактировалось fred1996 04.12.2017, 17:18, всего редактировалось 1 раз.

wrest
В пункте 2. Надо доказать, что существует бесконечно много таких неконгруэнтных пятиугольников.

gris в сообщении #1271962 писал(а):

Поскольку в задаче не заданы прочие параметры, можно предположить, что ответ не зависит от них и равен найденному для правильного пятиугольника

А может ответов несколько?
Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 17:28

Заслуженный участник

fred1996 в сообщении #1271919 писал(а):

2. Доказать, что существует бесконечное количество неконгруэнтных пятиугольников с указанным свойством.

Вот тут можно поиграться со всеми такими пятиугольниками. Произвольно выбирая на плоскости три подряд идущие вершины, можно построить остальные две так, чтобы площади всех пяти треугольников из трех подряд идущих вершин были равны.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 17:36

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 04.12.2017, 17:38, всего редактировалось 1 раз.

Ещё можно взять правильный пятиугольник с таким свойством и применить аффинное преобразование, сохраняющее площади (сжатие и растяжение в одинаковое число раз вдоль одной и другой ортогональных осей).

— Пн дек 04, 2017 19:38:30 —

А вот даст ли это все возможные такие пятиугольники, мне так сразу не очевидно. К счастью, и не спрашивается найти все.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 17:40

Последний раз редактировалось wrest 04.12.2017, 18:00, всего редактировалось 1 раз.

12d3 в сообщении #1271972 писал(а):

Произвольно выбирая на плоскости три подряд идущие вершины, можно построить остальные две так, чтобы площади всех пяти треугольников из трех подряд идущих вершин были равны.

Конкретно на вашем чертеже они не равны.

arseniiv в сообщении #1271977 писал(а):

Ещё можно взять правильный пятиугольник с таким свойством и применить аффинное преобразование, сохраняющее площади (сжатие и растяжение в одинаковое число раз вдоль одной и другой ортогональных осей).

То есть если нарисовать правильный пятиугольник и потом смотреть на него под разными углами (издалека, чтоб не было перспективных искажений), соотношение между площадями будет сохраняться?
ХитрО 🙂

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 18:06

Заслуженный участник

arseniiv в сообщении #1271977 писал(а):
А вот даст ли это все возможные такие пятиугольники, мне так сразу не очевидно.

Если поиграть с интерактивным чертежом (построил свой и проверил площади явно), создаётся впечатление, что все. Действительно, три вершины определяют площадь треугольника и форму пятиугольника, одновременно они задают произвольное аффинное преобразование единичного правильного пятиугольника.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 18:14

Заслуженный участник

wrest в сообщении #1271979 писал(а):
Конкретно на вашем чертеже они не равны.

Угу, ошибочка там была. Теперь поправлено.
Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 18:27

Заслуженный участник

wrest в сообщении #1271979 писал(а):

А чего тут хитрого, это следует из определения определителя как отношения гиперобъёмов до и после линейного преобразования.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 19:08

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось worm2 07.03.2022, 10:57, всего редактировалось 1 раз.

А у меня рабоче-крестьянское решение 1-го пункта, с рисунком.
Но учить $\rm\bf<\Xy-pic>$» /> или эти ваши геогебры лень <br />Поэтому продолжу жрать кактус MS Word.<br /><img decoding=
Буковками $S$с индексами обозначены площади: $S_0$— площадь маленького пятиугольника, остальные — площади треугольников.
Площадь всего большого пятиугольника обозначим $S$.
Я отметил на рисунке точки A, B, C, D, E, F, больше не стал отмечать, надеюсь, что хватит.
Итак, $S_<CAF>=S_5+S_6+S_7=S_7+S_8+S_9=S_=\dots=1$» />.<br />Поскольку у треугольников общее основание CF, то из равенства площадей следует равенство высот, а значит, AD параллельно CF. То же самое для 4 других случаев, например, EB параллельно CD. Значит, треугольники ADC и AEB подобны, их площади относятся как квадраты длин соответствующих сторон:<br /><img decoding=
$\frac=\frac=\frac,$
откуда заключаем, что $S_3=S_5$, это же верно для всех остальных площадей с нечётными индексами: $S_<2n-1>=x$» />.<br />В свою очередь, и площади с чётными индексами (кроме <img decoding=) равны друг другу: $S_<2n>=y$» />, ибо <img decoding=, имеем 3 неизвестных: $x$, $y$, $z$и 3 уравнения на них:
$\left\< \begin \frac&=&\frac\\ \frac&=&\frac\\ 2x+y&=&1 \end \right.$
Из 1-го уравнения: $y=x^2z$.
Из 2-го: $zx=x+y=x+x^2z$, откуда $x=(z-1)/z$.
Из 3-го: https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/5/2457cca0d5a1dd4dc655d32cfcf1169d82.png(z-1)/z+(z-1)^2/z=1$, или $z^2-z-1=0$.
Уравнение имеет единственный положительный корень $z=(1+\sqrt<5>)/2$» />, откуда:<br /><img decoding= Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 04.12.2017, 19:49, всего редактировалось 1 раз.

fred1996 в сообщении #1271999 писал(а):
Не прошло и пяти часов.

А чего, решения предыдущих участников уже не решения? Берём, скажем, что написал wrest и дополняем моим замечанием об аффинных преобразованиях с определителем 1 — и внезапно решаются сразу обе подзадачи. Построение 12d3 наглядно показывает это семейство решений. То, что других решений и нет, вы не спрашивали.

fred1996 в сообщении #1271999 писал(а):

Ну и второй вопрос совсем легкий. Сколько степеней свободы у этой конструкции?
Сколькими параметрами можно описать семейство таких пятиугольников?
И какими могут быть эти параметры?

Это уже тоже коллективно стало известно: соответствующими аффинными преобразованиями любого подходящего пятиугольника всё исчерпывается, так что параметров 6 минус 1, чтобы закрепить определитель, минус 2, чтобы не учитывать параллельные переносы, минус по желанию 1 для нивелирования поворотов, итого 3 или 2. Ну и смысл параметрам можно по-разному давать, смотря какие параметры брать. Например, можно зафиксировать одну из вершин и рассматривать угол при ней и отношение инцидентных ей сторон, или направить одну из сторон по оси абсцисс некой декартовой системы и параметрами назначить координаты второй вершины другого инцидентного фиксированной вершине ребра. Или можно рассматривать, каким преобразованием мы получили интересующий пятиугольник из правильного, и взять какие-то более естественные характеристики этого преобразования: скажем, след и…

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 19:43

Заслуженный участник

Я решал так. Рассмотрим координаты вершин в базисе векторов $\overrightarrow<AB>,\overrightarrow$» />:<br /><img decoding=
Из равенства площадей следует параллельность сторон пятиугольника несмежным диагоналям. Параллельность двух отрезков равносильна равенству отношений проекций этих отрезков на координатные оси. Итого получаем 4 уравнения:
$\left\<\beginy_1-1 = 0\\ x_2-1=0 \\x_2-x_1=y_1-y_2\\ (x_1-1)y_2=y_1x_2 \\ \end\right .$
Поскольку тут присутствует уравнение второй степени, будут два решения, одно из них — звезда, а второе — выпуклый пятиугольник. $x_2=y_1=1,\,\, x_1=y_2 = \frac$.
Вот мы получили, что задав три точки, мы задаем пятиугольник. Ответ на первый вопрос таков: $\frac<S_<ABCDE>>> = \frac+S_+S_>> = 1 + \frac+1 = 2+ \frac = \frac$» />.</p>
<table width= Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ] На страницу 1 , 2 След.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *