Что такое степень точности интеграл
Перейти к содержимому

Что такое степень точности интеграл

  • автор:

Что такое степень точности интеграл

В ряде задач возникает необходимость вычисления определенного интеграла от некоторой функции:

(2.1)

где – подынтегральная функция, непрерывная на отрезке .

Геометрический смысл интеграла заключается в том, что если на отрезке , то интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезком оси абсцисс, прямой и прямой (рис.2.1). Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.

Рис.2.1. Геометрический смысл интеграла

Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подынтегральной функции некоторой аппроксимирующей функцией (обычно полиномом).

Численное интегрирование применяется, когда:

  • сама подынтегральная функция не задана аналитически, а например, представлена в виде таблицы значений;
  • аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.

Способы численного вычисления определенных интегралов основаны на замене интеграла конечной суммой:

(2.2)

где – числовые коэффициенты, выбор которых зависит от выбранного метода численного интегрирования, – узлы интегрирования
(). Выражение (2.2) называют квадратурной формулой.

Разделим отрезок на N равных частей, то есть на N элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка:

(2.3)

Тогда значение интеграла можно представить в виде:

(2.4)

Из этого выражения видно, что для численного интегрирования на отрезке , достаточно построить квадратурную формулу на каждом частичном отрезке .

Погрешность квадратурной формулы определяется выражением:

(2.5)

и зависит от выбора коэффициентов и от расположения узлов .

Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точности. Однако увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится ограничиваться заданным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов.

Формулы Ньютона-Котеса получаются путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа с разбиением каждого частичного отрезка интегрирования на n равных частей. Получившиеся формулы используют значения подынтегральной функции в узлах интерполяции и являются точными для всех многочленов степени х зависящей от числа узлов. Точность решения растет с увеличением степени интерполяционного многочлена.

Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка интегрирования на равные промежутки. Формулы численного интегрирования интерполяционного типа ищутся таким образом, чтобы они обладали наивысшим порядком точности при заданном числе узлов. Узлы и коэффициенты формул численного интегрирования находятся из условий обращения в нуль их остаточных членов для всех многочленов максимально высокой степени.

Приближенное вычисление определенного интеграла
с помощью разложения подынтегральной функции в ряд

Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.

На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.

Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:

Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в ряд

Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001

Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).

Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту распространенную на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.

Используем табличное разложение:

В данном случае

Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.

Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с помощью ряда).

Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.

Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:

Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .

На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:

Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.

После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:

Интегралы здесь простейшие, на этом я не останавливаюсь.

На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.

Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:

Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .

Ответ: , с точностью до 0,001

Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд по степеням , с точностью до 0,001

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как-то незаслуженно я обошел стороной арктангенс, ни разу не разложив его в ряд. Исправим оплошность.

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,01 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд.

Решение: Есть сильное подозрение, что данный интеграл является берущимся, правда, решение не самое простое.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Используем разложение:

В данном случае

Здесь повезло, что в итоге степени таки остались целыми, дробные степени было бы труднее интегрировать.

Бывает и так. Члены с возу – студенту легче.

Ответ: с точностью до 0,01.

И снова обратите внимание, что точность 0,01 здесь гарантирована лишь потому, что сходящийся ряд знакочередуется. Для ряда с положительными членами, например, ряда такую оценку проводить нельзя, поскольку сумма отброшенного «хвоста» может запросто превысить 0,00089. Что делать в таких случаях? Расскажу в конце урока. А пока открою секрет, что во всех сегодняшних примерах ряды знакочередуются.

И, конечно, следует контролировать область сходимости ряда. В рассмотренном примере она, кстати, «урезана»: (из-за квадратного корня), однако наш отрезок интегрирования полностью лежит в данной области.

Что произойдёт в «нелегальном» случае, например, с интегралом ? Функция так же прекрасно разложится в ряд, члены ряда так же замечательно проинтегрируются. Но, когда мы начнем подставлять значение верхнего предела по формуле Ньютона-Лейбница, то увидим, что числа будут неограниченно расти, то есть каждое следующее число будет больше, чем предыдущее. Ряд-то сходится лишь на отрезке . Это не паранойя, на практике так время от времени бывает.

Что делать, если вам встретился подобный интеграл? Во-первых, имеет смысл проконсультировать с преподавателем – скорее всего, это опечатка в задачнике или методичке, где авторы недосмотрели, что промежуток интегрирования «вылез» за область сходимости ряда. А может и досмотрели (особенно, если вы учитесь углублённо). Дело в том, что на самом деле этот интеграл разрешим! Разбиваем его на две части:

Первый интеграл вычисляется штатно, а вот во втором – раскладываем функцию в ряд Тейлора по степеням с помощью производных (см. последний параграф), тогда область сходимости полученного ряда будет такова:

– прибавляем ко всем частям неравенства единицу:
– и далее преспокойно интегрируем ряд в его области сходимости!

Вот такая вот совсем не очевидная задача, выражаю благодарность одному из читателей, который указал на этот вариант развития событий.

Интеграл с арксинусом я рассматривать не буду, поскольку он занесен в красную книгу. Лучше дополнительно рассмотреть что-нибудь «бюджетное»:

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Это пример для самостоятельного решения. Что касаемо нуля, то он здесь не помеха – подынтегральная функция терпит лишь устранимый разрыв в точке , и поэтому несобственный интеграл здесь и рядом не валялся, т.е. речь идёт по-прежнему об определённом интеграле. В ходе решения вы увидите, что полученный ряд прекрасно сходится к нулю.

В заключение рассмотрим еще пару примеров, которые несколько сложнее.

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение: Анализирую подынтегральную функцию, приходим к выводу, что нужно использовать биномиальное разложение. Но сначала функцию надо представить в соответствующем виде:

К сожалению, ни один частный случай биномиального разложения не подходит, и нам придется использовать громоздкую общую формулу:

В данном случае: ,

Разложение уже на этом этапе лучше максимально упростить. Замечаем также, что четвертый член ряда нам, очевидно, не потребуется, так как в нём еще до интегрирования появилась дробь , которая заведомо меньше требуемой точности 0,001.

Не забываем, что есть еще один множитель:

Наиболее кропотливый этап пройден, вычислим интеграл:

Ответ: с точностью до 0,001.

Нечто подобное для самостоятельного решения:

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

И напоследок обещанный секрет – что делать, если все члены ряда положительны? Скорее всего, в этом случае от вас не потребует вычислить интеграл «с точностью до», а попросят, например, найти сумму первых трёх членов ряда и опционально округлить её до скольких-то знаков после запятой. Но это будет вовсе не «с точностью до», т.к. для положительных рядов довольно трудно оценить сумму остатка. Однако, если «тяжёлый случай» таки имеет место, то обратитесь за консультацией к преподавателю; в рамках данной статьи я не буду освещать специальные методы, которые не находят широкого практического применения.

Рассмотренная типовая задача на самом деле довольно неприятна, так как не существует простых способов проверки результата. По невнимательности легко пропустить какое-нибудь число, степень, неточно разложить функцию в ряд, неверно проинтегрировать, допустить банальную ошибку в вычислениях. Поэтому очень важно подходить к решению таких задач с ясной головой.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд.
Используем частный случай биномиального разложения:

В данном случае:

Таким образом:

Ответ: с точностью до 0,001.

Пример 4: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд.
Используем разложение:

Таким образом:

Ответ: с точностью до 0,001.

Пример 6: Решение:

Используем биномиальное разложение:

В данном случае: , :

Таким образом:

Ответ: с точностью до 0,001.

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Квадратурные формулы

Уровень алгоритма

где [math]f(x)[/math] — интегрируемая функция, определенная на отрезке [math][a,b][/math] .

Численное интегрирование оcуществляется с помощью квадратурных формул — приближенных равенств вида

[math]I\approx\sum\limits_^n C_i f(x_i).[/math]

Сумма в правой части называется квадратурной суммой; различные точки [math]x_i[/math] отрезка [math][a,b][/math] называются узлами, а числа [math]C_i[/math] — коэффициентами квадратурной формулы.

Значение квадратурной суммы, принимаемое за приближенное значение интеграла, зависит от выбора узлов [math]x_i[/math] и коэффициентов [math]C_i[/math] . При вычислении значения квадратурной суммы основные временные затраты приходятся на вычисление значений подынтегральной функции в узлах.

Погрешностью квадратурной формулы называется разность

Если функция [math]f(x)[/math] такова, что [math]R_n(f)=0[/math] , то говорят,что квадратурная формула точна для функции [math]f(x)[/math] .

Целое число [math]k\ge0[/math] называется алгебраической степенью точности квадратурной формулы, если квадратурная формула точна для любого многочлена степени не выше [math]k[/math] и не точна для многочлена степени [math]k+1[/math] .

Если квадратурная формула с [math]n[/math] узлами имеет алгебраическую степень точности [math]k[/math] , то [math]k\le 2n-1[/math] .

Широко известны квадратурные формулы, полученные посредством замены подынтегральной функции [math]f(x)[/math] алгебраическим интерполяционным многочленом, значения которого совпадают со значениями функции в [math]n[/math] узлах [math]x_i[/math] ; такие квадратурные формулы называются интерполяционными. Для погрешности интерполяционной квадратурной формулы справедлива оценка

где [math]M_n=\max\limits_|f^(x)|[/math] , [math]\omega_n(x)=\prod\limits_^n (x-x_i)[/math] .

Если интерполяционная квадратурная формула с [math]n[/math] узлами имеет алгебраическую степень точности [math]k[/math] , то [math]k\ge n-1[/math] .

1.1.1 Формулы Ньютона-Котеса

Формулами Ньютона-Котеса называются интерполяционные квадратурные формулы, [math]n[/math] узлов которых заданы равноотстоящими: [math]x_1=\frac2[/math] при [math]n=1[/math] и [math]x_i=a+(i-1)\frac, 1\le i \le n[/math] при [math]n\gt 1[/math] .

Свое название эти формулы получили в память того, что они в достаточно общей форме были рассмотрены Исааком Ньютоном, а их коэффициенты при [math]1\le n\le 10[/math] были найдены Роджером Котесом.

Наиболее известными формулами Ньютона-Котеса являются формула средних прямоугольников ( [math]n=1[/math] )

и формула трапеций ( [math]n=2[/math] )

алгебраическая степень точности каждой из них равна 1, а для их погрешностей справедливы оценки

Формулами Ньютона-Котеса при [math]n=3[/math] и [math]n=4[/math] являются формула Симпсона

которую называют также формулой парабол, и формула трех восьмых

название которой происходит от коэффициента 3/8; алгебраическая степень точности каждой из них равна 3, а для их погрешностей справедливы оценки

Алгебраическая степень точности формулы Ньютона-Котеса с [math]n[/math] узлами равна [math]n-1[/math] при четном [math]n[/math] и равна [math]n[/math] при нечетном [math]n[/math] .

Коэффициенты формул Ньютона-Котеса положительны при [math]1\le n\le8[/math] и [math]n=10[/math] , а при [math]n=9[/math] и [math]n\ge11[/math] среди коэффициентов имеются как положительные так и отрицательные.

Положительность коэффициентов квадратурной формулы важна для ее практического применения. Дело в том, что при вычислении интегральной суммы влияние погрешностей округления на точность результата тем сильнее, чем больше [math]\sum\limits_^n |C_i|[/math] . Для формул Ньютона-Котеса эта сумма неограниченно возрастает при [math]n\to\infty[/math] . Поэтому при больших [math]n[/math] формулы Ньютона-Котеса оказываются практически непригодными.

Таким образом, для того чтобы использовать квадратурные формулы с большим числом узлов, нужно отказаться или от того, чтобы квадратурная формула была интерполяционной, или от того, чтобы узлы задавались равноотстоящими.

1.1.2 Составные квадратурные формулы

Составными называются квадратурные формулы, построение которых осуществляется следующим образом. Отрезок интегрирования [math][a,b][/math] разбивается на [math]m[/math] отрезков равной длины [math]h=\dfracm[/math] . Тогда по свойству аддитивности интеграл может быть вычислен как сумма интегралов по отрезкам разбиения. Для приближенного вычисления каждого из слагаемых этой суммы применяется одна и та же квадратурная формула, называемая исходной.

Алгебраическая степень точности составной квадратурной формулы совпадает с алгебраической степенью точности исходной.

Если в качестве исходной квадратурной формулы выбрать формулу средних прямоугольников, формулу трапеций или формулу Симпсона, то будут получены следующие составные квадратурные формулы:

составная формула средних прямоугольников

[math]I\approx h\,(\sum\limits_^m f(a+ih-\frac))[/math]

с числом узлов [math]m[/math] и оценкой погрешности

составная формула трапеций

с числом узлов [math]m+1[/math] и оценкой погрешности

составная формула Симпсона

с числом узлов [math]2m+1[/math] и оценкой погрешности

1.1.3 Квадратурные Формулы Гаусса

Как отмечалось выше, если квадратурная формула с [math]n[/math] узлами является интерполяционной, то ее алгебраическая степень точности не меньше [math]n-1[/math] ; при любых заданных узлах построение интерполяционной квадратурной формулы осуществляется за счет выбора ее [math]n[/math] коэффициентов. За счет же выбора [math]n[/math] узлов интерполяционной квадратурной формулы можно добиться того, чтобы она имела возможно более высокую алгебраическую степень точности, а именно [math]2n-1[/math] .

Задача построения такой квадратурной формулы рассматривалась Карлом Фридрихом Гауссом; им была доказана ее разрешимость.

Квадратурная формула с [math]n[/math] узлами, алгебраическая степень точности которой равна [math]2n-1[/math] , называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.

В случае отрезка [math][-1,1][/math] квадратурная формула

[math]\int\limits_^1 f(t)\,dt\approx\sum\limits_^n c_i f(t_i)[/math]

является квадратурной формулой Гаусса тогда и только тогда, когда она является интерполяционной, а ее узлы [math]t_i[/math] являются корнями многочлена Лежандра

В частности, при [math]n=2[/math] и [math]n=3[/math] квадратурные формулы Гаусса для отрезка [math][-1,1][/math] таковы:

[math]\int\limits_^1 f(t)\,dt\approx f\left(-\frac1\right)+f\left(\frac1\right),[/math] [math]\int\limits_^1 f(t)\,dt\approx\frac59\;f\left(-\sqrt\right)+\frac89\;f(0)+ \frac59\;f\left(\sqrt\right).[/math]

Чтобы получить квадратурную формулу Гаусса для произвольного отрезка [math][a,b][/math] , следует сделать замену переменной

в результате которой

Воспользовавшись квадратурной формулой Гаусса для отрезка [math][-1,1][/math] , получим квадратурную формулу Гаусса для отрезка [math][a,b][/math] :

[math]I\approx\frac2\sum\limits_^n c_i f(x_i),[/math]

где [math]x_i=0.5(a+b+(b-a)t_i)[/math] , [math]t_i[/math] — корни многочлена Лежандра [math]P_n(t)[/math] .

Для погрешности квадратурной формулы Гаусса c [math]n[/math] узлами справедлива оценка

Коэффициенты квадратурных формул Гаусса положительны. Поэтому использование квадратурных формул Гаусса с большим числом узлов не приводит к тем осложнениям, которые возникают при использовании формул Ньютона-Котеса.

1.2 Математическое описание алгоритма

Если квадратурная формула выбрана, то алгоритм приближенного вычисления интеграла состоит в вычислении квадратурной суммы, т.е. в вычислении значений функции в [math]n[/math] узлах, умножении их на соответствующие коэффициенты и суммировании полученных чисел.

Исходные данные: функция [math]f(x)[/math] и два одномерных массива [math]n[/math] чисел — массив узлов и массив коэффициентов.

Вычисляемые данные: число, являющееся значением квадратурной суммы и представляющее собой приближенное значение интеграла.

  • Уровень алгоритма
  • Численные методы интегрирования
  • Статьи в работе

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.

Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.

Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Формула Ньютона-Лейбница

Определение 1

Когда функция y = y ( x ) является непрерывной из отрезка [ a ; b ] ,а F ( x ) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) — F ( a ) .

Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.

Когда функция y = f ( x ) непрерывна из отрезка [ a ; b ] , тогда значение аргумента x ∈ a ; b , а интеграл имеет вид ∫ a x f ( t ) d t и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫ a x f ( t ) d t = Φ ( x ) , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫ a x f ( t ) d t ‘ = Φ ‘ ( x ) = f ( x ) .

Зафиксируем, что приращении функции Φ ( x ) соответствует приращению аргумента ∆ x , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим

Φ ( x + ∆ x ) — Φ x = ∫ a x + ∆ x f ( t ) d t — ∫ a x f ( t ) d t = = ∫ a x + ∆ x f ( t ) d t = f ( c ) · x + ∆ x — x = f ( c ) · ∆ x

где значение c ∈ x ; x + ∆ x .

Зафиксируем равенство в виде Φ ( x + ∆ x ) — Φ ( x ) ∆ x = f ( c ) . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆ x → 0 , тогда получаем формулу вида Φ ‘ ( x ) = f ( x ) . Получаем, что Φ ( x ) является одной из первообразных для функции вида y = f ( x ) , расположенной на [ a ; b ] . Иначе выражение можно записать

F ( x ) = Φ ( x ) + C = ∫ a x f ( t ) d t + C , где значение C является постоянной.

Произведем вычисление F ( a ) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что

F ( a ) = Φ ( a ) + C = ∫ a a f ( t ) d t + C = 0 + C = C , отсюда получаем, что C = F ( a ) . Результат применим при вычислении F ( b ) и получим:

F ( b ) = Φ ( b ) + C = ∫ a b f ( t ) d t + C = ∫ a b f ( t ) d t + F ( a ) , иначе говоря, F ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t + F ( a ) . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫ a b f ( x ) d x + F ( b ) — F ( a ) .

Приращение функции принимаем как F x a b = F ( b ) — F ( a ) . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫ a b f ( x ) d x = F x a b = F ( b ) — F ( a ) .

Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y = F ( x ) подынтегральной функции y = f ( x ) из отрезка [ a ; b ] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 1 3 x 2 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y = x 2 является непрерывной из отрезка [ 1 ; 3 ] , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y = x 2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x , значит, x ∈ 1 ; 3 запишется как F ( x ) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необходимо взять первообразную с С = 0 , тогда получаем, что F ( x ) = x 3 3 .

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 — 1 3 3 = 26 3 .

Ответ: ∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ — 1 2 x · e x 2 + 1 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Заданная функция непрерывна из отрезка [ — 1 ; 2 ] , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x при помощи метода подведения под знак дифференциала , тогда получаем ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Отсюда имеем множество первообразных функции y = x · e x 2 + 1 , которые действительны для всех x , x ∈ — 1 ; 2 .

Необходимо взять первообразную при С = 0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида

∫ — 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 — 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 — 1 2 e ( — 1 ) 2 + 1 = 1 2 e ( — 1 ) 2 + 1 = 1 2 e 2 ( e 3 — 1 )

Ответ: ∫ — 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 ( e 3 — 1 )

Произвести вычисление интегралов ∫ — 4 — 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ — 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Отрезок — 4 ; — 1 2 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y = 4 x 3 + 2 x 2 . Получаем, что

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x — 2 d x = 2 x 2 — 2 x + C

Необходимо взять первообразную F ( x ) = 2 x 2 — 2 x , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:

∫ — 4 — 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 — 2 x — 4 — 1 2 = 2 — 1 2 2 — 2 — 1 2 — 2 — 4 2 — 2 — 4 = 1 2 + 4 — 32 — 1 2 = — 28

Производим переход к вычислению второго интеграла.

Из отрезка [ — 1 ; 1 ] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда F ( x ) = 2 x 2 — 2 x не является первообразной для y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ — 1 ; 1 ] , так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ — 1 ; 1 ] .

Ответ: ∫ — 4 — 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = — 28 , имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ — 1 ; 1 ] .

Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле

Когда функция y = f ( x ) является определенной и непрерывной из отрезка [ a ; b ] , тогда имеющееся множество [ a ; b ] считается областью значений функции x = g ( z ) , определенной на отрезке α ; β с имеющейся непрерывной производной, где g ( α ) = a и g β = b , отсюда получаем, что ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ‘ ( z ) d z .

Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫ a b f ( x ) d x , где неопределенный интеграл имеет вид ∫ f ( x ) d x , вычисляем при помощи метода подстановки.

Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫ 9 18 1 x 2 x — 9 d x .

Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2 x — 9 = z ⇒ x = g ( z ) = z 2 + 9 2 . Значение х = 9 , значит, что z = 2 · 9 — 9 = 9 = 3 , а при х = 18 получаем, что z = 2 · 18 — 9 = 27 = 3 3 , тогда g α = g ( 3 ) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При подстановке полученных значений в формулу ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ‘ ( z ) d z получаем, что

∫ 9 18 1 x 2 x — 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 ‘ d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2 z 2 + 9 принимает значение 2 3 a r c t g z 3 . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 — 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 — a r c t g 1 = 2 3 π 3 — π 4 = π 18

Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ‘ ( z ) d z .

Если при методе замены использовать интеграл вида ∫ 1 x 2 x — 9 d x , то можно прийти к результату ∫ 1 x 2 x — 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x — 9 3 + C .

Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 — 9 3 — a r c t g 2 · 9 — 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 — a r c t g 1 = 2 3 π 3 — π 4 = π 18

Ответ: ∫ 9 18 2 x 2 x — 9 d x = π 18

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

Если на отрезке [ a ; b ] определены и непрерывны функции u ( x ) и v ( x ) , тогда их производные первого порядка v ‘ ( x ) · u ( x ) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u ‘ ( x ) · v ( x ) равенство ∫ a b v ‘ ( x ) · u ( x ) d x = ( u ( x ) · v ( x ) ) a b — ∫ a b u ‘ ( x ) · v ( x ) d x справедливо.

Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫ a b f ( x ) d x , причем ∫ f ( x ) d x необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ — π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Функция x · sin x 3 + π 6 интегрируема на отрезке — π 2 ; 3 π 2 , значит она непрерывна.

Пусть u ( x ) = х , тогда d ( v ( x ) ) = v ‘ ( x ) d x = sin x 3 + π 6 d x , причем d ( u ( x ) ) = u ‘ ( x ) d x = d x , а v ( x ) = — 3 cos π 3 + π 6 . Из формулы ∫ a b v ‘ ( x ) · u ( x ) d x = ( u ( x ) · v ( x ) ) a b — ∫ a b u ‘ ( x ) · v ( x ) d x получим, что

∫ — π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = — 3 x · cos x 3 + π 6 — π 2 3 π 2 — ∫ — π 2 3 π 2 — 3 cos x 3 + π 6 d x = = — 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 — — 3 · — π 2 · cos — π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 — π 2 3 π 2 = 9 π 4 — 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 — sin — π 6 + π 6 = 9 π 4 — 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Решение примера можно выполнить другим образом.

Найти множество первообразных функции x · sin x 3 + π 6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = — 3 cos x 3 + π 6 = = — 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = — 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ — π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = — 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 — — — 3 · — π 2 · cos — π 6 + π 6 + 9 sin — π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 — 3 π 2 — 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Ответ: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *