Сколько узлов клетчатой бумаги лежит на окружности
Перейти к содержимому

Сколько узлов клетчатой бумаги лежит на окружности

  • автор:

Геометрия клетчатой бумаги

Этот видеоурок мы посвятим решению задач на клетчатой бумаге. Рассмотрим правило, позволяющее изобразить окружность от руки. Познакомимся с формулой Пика, с помощью которой можно вычислить площадь произвольного многоугольника с вершинами в узлах клетки.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта.

2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.

3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Получить доступ

Конспект урока «Геометрия клетчатой бумаги»

Клеточки на бумаге позволяют многие построения проводить только с помощью линейки, причём на этой линейке может даже не быть делений. Но всегда нужно помнить свойства геометрических фигур, ведь именно они позволяют использовать клеточки в полной мере.

Давайте разделим отрезок пополам. Для этого начертим прямоугольник так, чтобы данный отрезок был его диагональю. Мы знаем, что диагонали прямоугольника при пересечении делятся пополам. Тогда проведём в нашем прямоугольнике вторую диагональ и таким образом разделим отрезок на два равных отрезка.

Много интересного можно получить из экспериментов с прямоугольным треугольником на клетчатой бумаге.

Изобразим произвольный прямоугольный треугольник. А затем повернём его на , например, против часовой стрелки.

Измерим угол между большими сторонами (гипотенузами) получившихся треугольников. Для этого воспользуемся транспортиром. Приложим его таким образом, чтобы точка пересечения сторон совместилась с серединой основания транспортира, а одна из сторон прошла через начало отсчёта на шкале транспортира. Теперь находим штрих на шкале, через который проходит другая сторона. Помним, что мы используем ту шкалу, на которой располагается .

Видим, что этому штриху соответствует , а значит, угол между большими сторонами треугольников прямой.

Таким образом, поворачивая треугольник на , мы тем самым поворачиваем все его элементы, в том числе и стороны, на тот же угол, значит, угол между большими сторонами также равен .

Используя результат этого опыта, выполним задание. Постройте перпендикуляр к отрезку, соединившему два любых узла клетчатой бумаги.

Решение. Проведём отрезок, который соединяет два произвольных узла бумаги в клетку. Затем достроим отрезок до прямоугольного треугольника так, чтобы данный отрезок являлся гипотенузой, то есть большей стороной, а затем повернём треугольник на вокруг произвольной точки.

Получается, что гипотенуза получившегося треугольника является перпендикуляром к заданному отрезку.

Иногда бывают случаи, когда надо нарисовать окружность, а циркуля нет, но есть бумага в клетку.

На одном из предыдущих занятий мы с вами познакомились с правилом (, , ), которое позволяет изобразить окружность на клетчатой бумаге от руки. Правда, речь шла об окружности, радиус которой равен 5 клеткам.

Сейчас мы выведем правило, с помощью которого от руки можно изобразить окружность, радиус которой равен 13 клеткам.

Для удобства с помощью циркуля начертим окружность с радиусом 13 клеток с центром в узле клеток.

Итак, возьмём узел клетчатой бумаги на данной окружности. Отступив на 1 клетку вправо и на 5 клеток вверх, поставим вторую точку. Отступая от второй точки вправо на 1 клетку и вверх на 2 клетки, ставим третью точку. Далее, отступив 4 клетки вправо и 4 клетки вверх, находим четвёртую точку. Отступив 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, поставим 5 точку. Шестая точка находится на расстоянии 5 клеток вправо и 1 клетки вверх от пятой точки.

Если соединить эти шесть точек плавной линией, получим четверть окружности.

Чтобы достроить окружность нам надо повторить эти действия ещё три раза, изменяя направление движения.

Правило, с помощью которого можно построить окружность с радиусом, равным 13и клеткам, можно записать следующим образом: , , , , .

Вернёмся к выполнению заданий. Найдите площадь прямоугольного треугольника (с катетами клетки и клетки), если все его вершины лежат в узлах клеток, а две стороны проходят по сторонам клеток. Площадь одной клетки примем за единицу.

Решение. Изобразим прямоугольный треугольник так, чтобы все его вершины лежали в узлах клеток, а две стороны проходили по сторонам клеток.

Затем достроим этот треугольник до прямоугольника так, чтобы вершины нашего треугольника совпали с вершинами прямоугольника, а стороны, которые являются катетами нашего треугольника, лежали на сторонах прямоугольника. Затем сосчитаем количество клеточек в прямоугольнике. Их 12. То есть площадь прямоугольника равна 12 (ед. кв.).

Заметим, что построенный прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Тогда площадь нашего треугольника равна половине площади прямоугольника. А это (ед. кв.).

Следующее задание. Начертите два разных прямоугольных треугольника, площади которых равны 2 клеткам.

Решение. Давайте изобразим два прямоугольника, площади которых равны 4 клеткам.

Это прямоугольник со сторонами, равными 1 клетке и 4 клеткам. И квадрат со стороной, равной 2 клеткам.

Теперь в прямоугольнике проведём диагональ, которая разделит его на два равных прямоугольных треугольника. Площадь каждого из них будет равна (кл.).

Проведём диагональ в квадрате. Она разделит его на два равных прямоугольных треугольника. Площадь каждого из них будет равна (кл.).

Так, мы получили два различных прямоугольных треугольника, площадь каждого из которых равна двум клеткам.

Эта задача показывает, что для равенства фигур ещё недостаточно равенства их площадей.

Сейчас мы с вами познакомимся с формулой Пика, которая названа именем математика Георга Пика. В 16 лет он окончил школу и поступил в Венский университет. В возрасте 17 лет была опубликована его первая работа. Круг его математических интересов был очень широк. 67 его работ посвящены многим разделам математики.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника.

C помощью формулы Пика можно вычислить площадь произвольного многоугольника с вершинами в узлах клетки. Формула имеет вид:

Здесь – число узлов внутри многоугольника, – число узлов на границе многоугольника, включая вершины.

Найдём площадь изображённого многоугольника. Для этого сосчитаем число узлов внутри многоугольника. Оно равно 10. Теперь сосчитаем число узлов на границе, включая вершины. Оно равно 7.

Подставим полученные значения в формулу: (ед. кв.).

Получили, что площадь данного многоугольника равна (ед. кв.).

Выполним задание. Найдите площадь многоугольника, изображённого на рисунке.

Окружности на клетчатой бумаге

а) Постройте окружность, проходящую ровно через 12 узлов клетчатой бумаги.
б) Постройте окружность, проходящую ровно через 6 узлов клетчатой бумаги.
в) Постройте окружность, проходящую ровно через 5 узлов клетчатой бумаги.

Подсказка 1

Обратите внимание, что если центр окружности сам является узлом клетчатой бумаги, то количество лежащих на этой окружности узлов кратно четырём. Если же центр окружности находится в середине стороны какой-либо клеточки, то на такой окружности будет расположено чётное число узлов. Это относится и к тем случаям, когда окружность вообще не проходит через узлы клетчатой бумаги, потому что ноль делится как на 2, так и на 4 (и вообще на любое натуральное число).

Подсказка 2

Будем считать, что расстояние между соседними узлами клетчатой бумаги равно единице. Тогда на ней можно задать систему координат таким образом, чтобы множество всех узлов в точности совпадало со множеством всех точек, обе координаты которых целочисленны.

а) Воспользуйтесь тем фактом, что если центр окружности радиуса r является началом координат, то количество лежащих на ней узлов клетчатой бумаги есть число целочисленных решений уравнения

x 2 + y 2 = r 2 (1)

б) Если r 2 — нечётное целое число, то в каждой паре вида (x, y), являющейся решением уравнения (1), одно из чисел чётное, а другое — нечётное, причём количество пар, в которых первое число нечётное, равно количеству пар, в которых второе число нечётное.

в) В качестве центра такой окружности можно выбрать точку (1/3, 0).

Подсказка 3

Попробуйте изучить окружности, квадраты радиусов которых имеют вид 5 k , 5 k /4 и 5 k /9 соответственно.

Решение

а) Рассмотрим уравнение

x 2 + y 2 = 25. (2)

Его решениями являются двенадцать пар чисел вида (±5, 0), (0, ±5), (±3, ±4) и (±4, ±3). Нетрудно убедиться простым перебором, что других целочисленных решений данное уравнение не имеет. Следовательно, на окружности радиуса 5 с центром в начале координат лежит ровно 12 узлов клетчатой бумаги (рис. 1).

б) Пусть центр окружности радиуса 5/2 расположен в точке (1/2, 0). Тогда эта окружность задаётся уравнением

Домножая обе части равенства на 4, можно перейти к такому соотношению:

(2x – 1) 2 + (2y) 2 = 25. (3)

Если же сделать переобозначения вида a = (2x – 1) и b = 2y, то мы придём к уравнению вида a 2 + b 2 = 25. Оно, как мы знаем из пункта а), имеет в точности 12 целочисленных решений (потому что это решения уравнения (2)), причём ровно в половине из них число a нечётное, а число b — чётное. Значит, уравнение (3) обладает в точности шестью целочисленными решениями. А именно, ему удовлетворяют следующие пары чисел: (3, 0), (–2, 0), (2, ±2) и (–1, ±2). Таким образом, на окружности радиуса 5/2 с центром в точке (1/2, 0) лежит ровно 6 узлов клетчатой бумаги (рис. 2).

в) Внимательный читатель наверняка заметил, что решение пункта б), по существу, вытекало из пункта а). Более того, можно было рассмотреть задачу в более общем виде и доказать такое утверждение: если на окружности радиуса r, центр которой находится в начале координат, лежит 4n узлов клетчатой бумаги и число r 2 — нечётное, то на окружности радиуса r/2 с центром в точке (1/2, 0) расположено 2n узлов. Ниже на примере нашей задачи мы покажем, как подобным методом получить окружность, на которой лежит ровно n узлов.

Для начала рассмотрим окружность с центром в начале координат, радиус которой равен 25. Эта окружность задаётся уравнением

x 2 + y 2 = 625, (4)

которому, как нетрудно проверить, удовлетворяют двадцать пар целочисленных решений: (±25, 0), (0, ±25), (±7, ±24), (±24, ±7), (±15, ±20) и (±20, ±15). То есть на этой окружности находится ровно 20 узлов клетчатой бумаги.

Теперь рассмотрим окружность радиуса 25/3, центром которой является точка (1/3, 0). Задающее её уравнение имеет вид

что после соответствующих преобразований превращается в соотношение

(3x – 1) 2 + (3y) 2 = 625. (5)

Как и в пункте б), сделав замену a = (3x – 1), b = 3y, мы получим уравнение a 2 + b 2 = 625, решения которого нам известны. Осталось понять, какие из них нам подходят, а какие — нет. Но это оказывается довольно просто: если c делится на 3, то из каждой четвёрки решений вида (c, d), (c, –d), (d, c), (–d, c) подходит ровно одно. В нашем случае, это (–8, 0), (–2, ±8), (7, ±5). И таким образом, на окружности, которая задана уравнением (5), лежит ровно 5 узлов клетчатой бумаги (рис. 3).

Замечание. Глядя на пять красных точек, изображённых на рис. 3, читатель может подумать, что если последовательно соединить их друг с другом, получится правильный пятиугольник. Однако это не так: у этого пятиугольника между собой равны только три стороны, а две другие немножко меньше. В действительности на клетчатой бумаге расположить правильный пятиугольник нельзя. Как и любой другой правильный многоугольник, за исключением квадрата.

Послесловие

Придумав решение самостоятельно или ознакомившись с изложенным выше, читатель, наверное, задастся таким вопросом: правда ли, что какое натуральное число n мы ни возьмём, найдётся такая окружность, на которой лежит ровно n узлов клетчатой бумаги? Оказывается, это действительно так, причём методы построения этих окружностей не слишком отличаются от тех, которые мы уже видели. Вкратце изложим суть дела.

Ключевым моментом решения проблемы является следующая лемма.

Лемма. Уравнение x 2 + y 2 = 5 k имеет ровно 4(k + 1) целочисленных решений для любого целого неотрицательного k.

(На самом деле представленная лемма является частным случаем более общего факта. Именно, пусть r(n) обозначает число всевозможных способов представления натурального n в виде суммы квадратов пары целых чисел. Тогда можно доказать, что r(n) = d1(n) – d3(n), где d1(n) и d3(n) — числа, отвечающие количеству делителей n вида (4k + 1) и (4k + 3) соответственно.)

Для доказательства мы проверяем сначала, что утверждение леммы справедливо при k = 0 и k = 1. В самом деле, уравнение x 2 + y 2 = 1 имеет четыре целочисленных решения: (0, ±1) и (±1, 0). А уравнение x 2 + y 2 = 5 обладает ровно восемью корнями: (±2, ±1) и (±1, ±2).

Потом в дело вступает принцип математической индукции. С его помощью можно доказать, что при всех целых k > 1 уравнение x 2 + y 2 = 5 k имеет ровно восемь таких решений (x, y), что x и y не делятся на 5. Точно так же, как и корни уравнения x 2 + y 2 = 5, эти восемь пар чисел получаются друг из друга перестановкой x и y и изменениями знаков. А вместе с 4(k – 1) парами вида (5a, 5b), где (a, b) — решения уравнения a 2 + b 2 = 5 k –2 , они дают нам в точности 4(k + 1) решений исходного уравнения.

Теперь, вооружившись леммой, мы легко сможем дать ответ на поставленный вопрос. Из соображений симметрии ясно, что если расположить центр окружности в узле клетчатой бумаги (например, в начале координат), то количество лежащих на ней узлов будет делиться на четыре. А из леммы сразу вытекает, что если квадрат радиуса такой окружности равен 5 k , то на этой окружности лежит ровно 4(k + 1) узлов. В частности, на окружности x 2 + y 2 = 25 расположено ровно 12 узлов клетчатой бумаги.

В качестве примера окружности, на которой лежит произвольное наперёд заданное чётное число узлов клетчатой бумаги, мы можем взять окружность, заданную уравнением:

Чтобы убедиться в том, что она годится (то есть что на ней лежит 2(k + 1) узлов), достаточно повторить рассуждения из решения пункта б) и применить лемму. Если же хочется провести окружность через нечётное число узлов, то можно взять такую:

Используя лемму и свойства делимости на 3, можно доказать, что на ней лежит ровно (2k + 1) узлов, а выбирая подходящее k, это количество можно сделать любым наперёд заданным нечётным числом.

Окружности, которые задаются уравнениями (6) и (7), называются окружностями Шинцеля, по имени польского математика Анджея Шинцеля (Andrzej Schinzel). Отметим, что для данного натурального числа n эти уравнения задают, вообще говоря, не самую маленькую окружность с n узлами клетчатой бумаги на ней. Например, так происходит с n = 1 (очевидно, можно предъявить окружность сколь угодно маленького радиуса) или с n = 4 (здесь ясно, что существует окружность радиуса 1/√2. Менее тривиальный пример: n = 9. Соответствующая окружность Шинцеля имеет радиус 625/3, однако на окружности с центром (1/3, 0) и радиусом 65/3 также лежит ровно 9 узлов клетчатой бумаги.

Существуют также и менее тривиальные комбинации точек. Так, на рис. 4 изображена окружность с центром в точке (1/5, 2/5) и радиусом — на ней лежат четыре узла клетчатой бумаги: (–6, –2), (1, 7), (5, 5) и (2, –6). А на окружности с центром в точке (1/7, 2/7) и радиусом находятся пять узлов: , , , и (рис. 5).

Описание множества окружностей, которые проходят ровно через n узлов клетчатой бумаги для заданного натурального числа n, — пока нерешённая задача. Предполагается, что окружность, проходящая более чем через три узла, — достаточно редкое явление, то есть если провести окружность через три случайно выбранных узла клетчатой бумаги, то через четвёртый она пройдёт с малой вероятностью.

С этой задачей также связан вопрос об изображении круга на экране монитора. Будем считать, что экран представляет собой прямоугольный лист клетчатой бумаги, а круг на экране — объединение тех клеточек (пикселей), которые пересекаются со внутренностью круга. Тогда вопрос заключается в том, сколько различных изображений на экране имеет круг данного радиуса. Например, на рис. 6 представлено три различных изображения круга радиуса 4/5 (сторона клеточки, соответственно, равна единице). Полного ответа на этот вопрос пока тоже нет.

При подготовке данной публикации использовалась статья В. Вавилова и А. Устинова Окружности на решетках («Квант» №6, 2006), в которой обсуждаются некоторые свойства целочисленных решеток и расположение окружностей на них.

Задачи на клетчатой бумаге

2. Глава 1. Задачи на нахождение площади многоугольника.

3. Глава 2. Сколько узлов на отрезке? …………………………………11

4. Глава 3. Задачи на разрезание ……………………………………….15

5. Глава 4. Расстояние в «клетчатом» городе …………………………19

6. Глава 5. Игры на клетчатой бумаге ………………………………. 22

7. Глава 6. Интересные факты…………………………………. 25

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ в нашем кабинете математики, решили обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Мы приступили к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, встретились с совсем новыми, необычными «расстояниями», узнали, как раскраска клеточек помогает решать многие задачи, познакомились поближе с задачами на разрезание и, наконец, научились играть в увлекательные игры на листке бумаги в клетку.

Однако чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения мы не встретили. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания. Очень вероятно, потому, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

· Подобрать необходимую литературу

· Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

· Проанализировать и систематизировать полученную информацию

· Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

· Классифицировать исследуемые задачи

· Оформить работу в виде буклета

· Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

Гипотеза: возможно, многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.

Задачи на бумаге в клетку помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.

При решении задач на клетчатой бумаге нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Глава 1. Задачи на нахождение площади многоугольника.

Формула Пика

Мы считаем настоящей жемчужиной нашего исследования формулу Пика!

Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.[6]

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно

Рис. 1 разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.

Но тут нас ждёт много хлопот (попробуйте!). Давайте «схитрим»:

вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш

многоугольник до прямоугольника АВС D , и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо?

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Рис. 2 Пусть АВС D – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис. 2).

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В + + 4 · = В + — 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + — 1 .

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

Это и есть формула Пика.

Задача 1 . Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1.

В = 14, Г = 8. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 14 + 8/2 – 1 = 17

Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки,

Рис. 3 то для него верна формула Пика.

Попробуйте вычислить площади многоугольников с рисунка 3, используя формулу Пика. Правда ведь, легко получается!

Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см

Задача 2 .[12] Найдите площадь прямоугольника АВС D (рис.4).

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

Рис. 4 S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма АВС D (рис.5)

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Рис. 5 Ответ: 8 см².

Задача 4 . Найдите площадь треугольника АВС (рис.6)

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)

Рис. 6 Ответ: 7,5 см².

Задача 5. Найдите площадь четырёхугольника АВС D (рис. 7)

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Рис. 7 Ответ: 7,5 см².

Согласитесь, рассмотренные задания аналогичны заданию В6 из вариантов контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике. Например:

Задача 6.[7] В . На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (рис. 8). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

Рис. 8 S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²)

Задача 7. [14] В . На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (рис. 9). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. Воспользуемся формулой Пика:

Рис. 9 S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 8 .[13] Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + — 1

Рис. 10 В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² — 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Задача 9 . Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + — 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

Рис. 11 1 см² — 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Глава 2. Сколько узлов на отрезке?

Применение формулы Пика для вычисления площадей некоторых фигур не совсем удобно. Очень уж чётким должен быть чертёж и очень внимательно нужно его рассматривать, чтобы определить, лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу. Как точно сосчитать число узлов на границе? Поскольку граница состоит из отрезков, то нас интересует количество узлов сетки, лежащих на произвольном отрезке с концами в узлах.

Сделаем сначала небольшое наблюдение. Пусть А и В – узлы сетки. Обозначим через С первый узел, встречавшиеся после А на отрезке АВ (значит, между А и С больше нет узлов). Построим прямоугольный треугольник А С D с гипотенузой А С и катетами, лежащими на линиях сетки (рис.1).

Если С ≠ В, то сместим этот треугольник вдоль

отрезка АВ на расстояние А С . Получим равный

ему треугольник С С D .

Следовательно, С – узел, и между С и С нет узлов. Ясно,

что если эту процедуру продолжить, мы когда-нибудь

получим в качестве очередной точки С точку В – узел

сетки. Рассматривая большой прямоугольный треугольник

ARB с гипотенузой АВ, приходим к равенствам: Рис. 1

Теперь мы можем выяснить, сколько узлов Рис. 2. лежит между точками А и В(конечно, мы считаем, что А и В не лежат на одной линии сетки). Построим прямоугольный треугольник ARB с вершинами в узлах сетки и с гипотенузой АВ (рис.2).

Пусть AR = р, BR = q . Понятно, что р и q – целые положительные числа.

Теорема. Если р и q взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки. Если же наибольший общий делитель р и q равен n , где n > 1 (НОД (р, q ) = n > 1), то на отрезке АВ между точками А и В расположены ровно ( n – 1) узлов сетки.

Доказательство. 1) Пусть числа p и q взаимно просты. Если между А и В были k узлов ( k ≥ 1), то, взяв ближайший к А узел С , мы получим по формулам (1): p =( k +1) · AD , q = ( k +1) · С D , то есть р и q имеют общий делитель k + 1, больший 1. Но ведь они взаимно просты!

2)Пусть НОД (р, q ) = n > 1. Поделив отрезки AR и BR на n равных частей, мы опять приходим к рис.1, где С , С , …, С – какие-то узлы сетки и k = n – 1. Таким образом, в этом случае между точками А и В есть хотя бы n – 1 узел. Почему их не может быть больше, чем n – 1? В этом случае между узлами А и С были бы и другие узлы. Пусть С ¢ – ближайший к А узел. Тогда АС´ < АС , а значит, – целое число, большее, чем n (поскольку ). Но если мы воспользуемся формулой (1), то увидим, что р = AR = ( k +1) · AD ¢ , q = BR = ( k +1) · С ¢ D ¢ , где k + 1 = , а D ¢ – основание перпендикуляра, опущенного из точки С ¢ на AR . Но это невозможно, так как самый большой общий делитель чисел р и q равен n . Следовательно, между А и В ровно n – 1 узел.

Теперь, не вглядываясь долго и напряжённо в картинку и не мучаясь сомнениями, вы всегда можете сказать, через сколько узлов проходит произвольный отрезок с концами в узлах сетки!

Задача 1. [11] В прямоугольнике 4×7, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?

Задача 2. В прямоугольнике размером 200×300, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала на две части?

Задача 3. В прямоугольнике 1000×1003, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?

Задачу 1 легко решить, просто «водя пальцем по картинке»

Для решения задачи 2 полезно вспомнить наши разговоры о количестве узлов на отрезке и обсуждение

рис.1: ясно, что вдоль диагонали прямоугольника 200×300 можно расположить 100 прямоугольников 2×3, и в каждом из них, очевидно, диагональ будет рассекать по 4 клетки. Поэтому ответ к задаче 2 – четыреста клеток.

В задаче 3 такие соображения, увы, не помогают: числа 1000 и 1003 взаимно не просты. Сформулируем эту задачу в общем виде:

Сколько клеток рассекает на две части диагональ прямоугольника m × n , где m и n – взаимно простые числа?

Заметим, что диагональ такого прямоугольника не проходит через узлы. Будем считать, что диагональ идёт из левого нижнего угла прямоугольника. Самой первой она рассекает левую нижнюю угловую клетку (клетку № 1), потом она попадёт в клетку № 2 (рис.4), и так далее. Пусть диагональ уже пересекла k клеток. Так как она ни разу не проходит через узел, то всегда можно однозначно указать, какую клетку она рассечёт после клетки с номером k .

Итак, мы получили «цепочку», идущую из левого нижнего угла в правый верхний. Нам надо понять,

Рис. 4 чему равно число клеток в этой цепочке. Дадим каждой клетке адрес ( t , s ), если она расположена в горизонтальном ряду с номером t и вертикальном ряду с номером s . Левый нижний угол получает адрес (1,1), а правый верхний – ( m , n ). Теперь остаётся заметить, что при переходе от клетки с номером k в нашей цепочке к клетке с номером k +1 сумма чисел t и s в адресе возрастает точно на 1. Значит,

чтобы перейти от клетки с адресом (1,1) к клетке с адресом ( m , n ), надо сделать ровно m + n – 2 шагов, пройдя, таким образом, m + n – 1 клеток.

Итак, ответ к задаче 3 – число клеток равно 2002.

Объединим задачи 2 и 3.

Пусть m и n – произвольные натуральные числа.

Сколько клеток рассекает диагональ

прямоугольника m × n ?

Пусть d = НОД ( m × n ). Как и при решении задачи 2,

мы видим, что вдоль диагонали исходного

прямоугольника образуется d маленьких прямоугольников ´ . Стороны этих маленьких прямоугольников уже взаимно просты, поэтому их диагонали рассекают по + – 1 клеток каждая. Значит, диагональ исходного прямоугольника рассечёт ( + – 1) · d = m + n – d клеток.

Теперь при желании мы можем без труда сосчитать, сколько клеток рассекут диагонали следующих прямоугольников: 36×56, 105×24, 2003×111.

Глава 3. Задачи на разрезание

С этими задачами, очевидно, столкнулся ещё первобытный человек, когда пытался раскроить шкуру убитого зверя, чтобы сшить себе одежду. Известно, что решения многих простых задач на разрезание были найдены ещё древними греками. Первый письменный источник с подобными задачами относится к Х веку – это фрагменты трактата персидского астронома Абул-Вефа, жившего в Багдаде. Профессиональные математики всерьёз занялись задачами на разрезание ближе к середине XIX века.

Сделаем небольшую классификацию таких задач [15]. Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды:

* Дробление – требуется разрезать данную фигуру:

· на заданное число равных между собой, или, как говорят математики, — конгруэнтных частей (фигур);

· на заданное число конгруэнтных и подобных ей фигур (такие фигуры получили название «делящихся»);

· определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных.

Возможны и другие вариации условий разрезания, так как фантазия человека не имеет ограничений.

* Квадрирование – разрезание фигуры на возможно меньшее число частей, из которых затем можно сложить квадрат.

* Трансформирование – требуется разрезать одну фигуру так, чтобы их её частей можно было сложить вторую заданную фигуру (не квадрат).

В отдельный подвид можно выделить очень популярные задачи на разрезание шахматной доски, которые отличаются от остальных задач на разрезание тем, что на доске есть раскраска квадратов, и это накладывает дополнительные требования при поиске решения.

Учитывая большое общее количество задач на разрезание, мы в этой работе будем рассматривать задачи на клетчатой бумаге на дробление и задачи, связанные с шахматной доской. А остальные постараемся изучить при дальнейшем исследовании по этой теме.

Следует учесть, что термин «разрезание» не всегда надо понимать буквально: при решении приведённых далее задач достаточно на чертеже данной фигуры обозначить линии разреза карандашом. Но смысл разрезания предполагает ещё и выход из плоскости и переворачивание фигуры любой её стороной из двух существующих.

В качестве примеров рассмотрим несколько типичных задач на разрезание, которые встречаются во многих сборниках занимательных задач и одну менее известную задачу на делящиеся фигуры, которая представляет собой небольшое исследование.

Задача 1. Можно ли разрезать квадрат 6 ´ 6 на полоски 1 ´ 4 ?

Решение. Используем раскраску, показанную на рис. 1. Любая полоска 1 ´ 4, положенная на такую доску, покроет ровно одну чёрную клетку. Следовательно, если бы мы разрезали квадрат на полоски, то чёрных клеток оказалось бы столько же, сколько полосок. Но число полосок должно быть равно (6 · 6) : 4 = 9, а чёрных клеток на этом рисунке 8! Значит разрезание

Рис. 1 невозможно.

Вместо раскраски в два цвета можно было использовать раскраску в четыре цвета, изображённую на рисунке 2 (каждый цвет помечен своим номером: цвет 1, цвет 2, цвет 3 и цвет 4). Рис. 2

Тогда каждая полоска 1 ´ 4 будет содержать ровно по одной клетке каждого цвета. Значит, если бы удалось разрезать квадрат на полоски, то клеток всех цветов было бы поровну. Но клеток цветов 1 и 3 – по 9, цвета 2 – 10, а цвета 4 – 8 штук.

Теперь вы сможете самостоятельно решить задачи 2 и 3.

Задача 2. Можно ли прямоугольник 8 ´ 9 разрезать на полоски 1 ´ 6 ?

Задача 3. Можно ли сложить прямоугольник из нарисованных на рис. 3 фигурок? (Каждая фигурка должна использоваться ровно один раз!)

Задача 4. [8] На шахматной доске стоят 4 коня (рис. 4) Требуется разделить доску на 4 одинаковые по форме части, на каждой из которых стоял бы в точности один конь

Рис. 4 Задача 5. [3] В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму». У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9 ´ 12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1 ´ 8. Иван царевич очень расстроился и хотел было отрезать ещё кусочек 1 ´ 4, чтобы получился прямоугольник 8 ´ 12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10 ´ 10. Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр?

Задача 6. [1] На прямоугольном участке земли находятся 4 колодца, изображённые на рис. 5 точками. Разбейте этот участок на 4 части, одинаковые по величине и форме, так, чтобы колодцы на каждом участке занимали одно и то же положение. Рис. 5

Задача 7. [15] Найти все целые положительные числа n таким образом, чтобы каждый треугольник можно было разрезать на n треугольников, подобных между собой.

Решение. Начертим разносторонний треугольник. Прежде всего покажем, как любой треугольник можно разрезать на n = k ² равных (следовательно, подобных) треугольников, т.е. на число n , равное квадрату целого числа. Разделим каждую сторону треугольника на k равных частей и через точки деления проведём прямые, параллельные его сторонам. Тогда число малых треугольников равно 1+ 3 + 5 + … + (2 k – 1) = k ²

Рис. 6. k = 5, n = 25 Рис. 7 Рис. 8

Теперь покажем, что каждый треугольник разрезается на любое число n ≥ 4 подобных между собой треугольников.

В самом деле, оставим на рис. 6 малые треугольники только в нижней полосе (трапеции), а все остальные объединим в один (рис. 7).

Столь же легко показать, что число таких частей может быть сделано любым нечётным n ≥ 7 : верхний из четырёх треугольников разбит на 2 k ( k ≥ 2) частей, и ещё имеется три нижних, так что общее число частей равно n = 2 k + 3, где k ≥ 2 (рис. 8).

Итак, любой треугольник можно разрезать на любое число n подобных между собой треугольников, за исключением n = 2, 3, 5. Можно доказать, что для этих значений n требуемое разрезание невозможно.

Вот именно с таких занимательных задач начинается уже серьёзная математика с исследованиями, доказательствами и построением небольшого раздела математической теории под названием «делящиеся фигуры на плоскости».

Задача 8. [16] «Парадокс шахматной доски»

Шахматная доска разрезается наискосок, как это изображено на левой половине рисунка 9, а затем часть В сдвигается влево вниз, как это показано на правой половине рисунка. Первоначальная площадь Рис. 9

равнялась 64 кв. ед, теперь же она равна 63. Куда исчезла одна недостающая квадратная единица?

Глава 4. Расстояние в «клетчатом» городе

С понятием расстояния мы сталкиваемся ежедневно. «Каково расстояние от дома до школы?», «Сколько километров от Москвы до Петербурга?» — эти вопросы никого не удивят. Зная расстояние, мы можем прикинуть, долго ли добираться от одного места до другого. Все мы умеем вычислять расстояние между двумя точками на координатной прямой, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить расстояние между двумя точками на координатной плоскости.

А теперь возьмём хорошо знакомый нам листок клетчатой бумаги и представим себе, что это – город, линии сетки – улицы. Давайте прогуляемся по этому городу, ходя только по улицам (порядки в этом городе очень строгие). Длину клетки будем считать равной 1. Как нам быстрее всего попасть с перекрёстка А на перекрёсток Б (рис. 1)?

Можно, например, пройти из А в С, а потом – из С в В. Можно было идти через D , а можно – и более замысловатым путём. Что же мы теперь назовём расстоянием от А до В? Конечно, длину кратчайшего

Рис. 1 пути: 4 + 3 = 7.

А теперь представим себе, что у нас в запасе есть время проделать путь длиной 3. В каких узлах мы можем побывать, выйдя из А? (Или: из каких узлов можно добраться до А, пройдя путь не более 3?) Ответ на этот вопрос изображён на рисунке 2). Наверное, многие из вас сейчас вспомнили о круге на плоскости: ведь круг радиуса r с центром в точке А и есть множество всех точек плоскости, которые удалены от А не больше, чем на r . Но как не похож ромбик из точек с рисунка 2 на привычный круг! Рис. 2

Познакомимся поближе с расстоянием в «клетчатом» городе с помощью нескольких задач.

Задача 1. [11] В «клетчатом» городе выделили район – квадрат 4 ´ 4. Какое

Наименьшее количество детских площадок нужно построить в этом районе, чтобы из любого узла этого района можно было попасть на одну из этих площадок, проделав путь не более 3?

Решение. Понятно, что двух площадок хватает (рис. 3). Ещё легче понять, что одной площадки будет мало (слишком далеко разбросаны узлы, находящиеся на границе квадрата!)

Решите такую же задачу с прямоугольником 6 ´ 3. А как решается подобная задача, если расстояние на плоскости измеряется обычным способом?

Задача 2. Какое наибольшее количество котов можно разместить в узлах сетки на территории квадрата 4 ´ 4, чтобы расстояние между любыми двумя из них было не менее 2 (иначе коты подерутся)?

Наверное, без особого труда сумеете поделить территорию квадрата между 13 котами (рис. 4). А вот Рис. 4

14 котов мирно ужиться на этой территории уже не смогут. Докажем это. Поделим всю территорию, кроме центра квадрата, на 4 непересекающиеся зоны (рис. 5). Если даже одного из 14 котов поселить в центре квадрата, то остальных 13 придётся разместить по этим зонам. Значит, в какой-то зоне окажется хотя бы 4 кота. Перебирая различные варианты расселения 4 котов в

Рис. 5 какой-нибудь из этих зон, легко увидеть, что это невозможно.

Подумайте, как решить эту задачу, если расстояние на плоскости измеряется, как обычно.

Итак, мы познакомились с расстоянием в «клетчатом» городе. Оно ни чуть не менее естественно, чем обычное расстояние «по прямой». Что их объединяет? Каковы общие свойства, которыми должно обладать расстояние?

Свойство 1. Расстояние между двумя точками неотрицательно, причём оно равно нулю, только если точки совпадают.

Ещё бы! Чтобы попасть из точки А в неё же, никуда идти не надо, а чтобы попасть в другую точку В, придётся проделать некий путь положительной длины.

Свойство 2. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А.

Недаром мы говорим обычно не о расстоянии от А до В, а о расстоянии между А и В, не различая расстояния от А до В и от В до А.

Свойство 3. Для точек А, В и С сумма расстояний от А до С и от С до В не меньше расстояния от А до В (неравенство треугольника).

Свойства 1, 2 и 3 в математике называются аксиомами расстояния. Как мы знаем, эти свойства есть у обычного расстояния на плоскости. Не трудно проверить, что есть они и у нового расстояния, введённого нами в «клетчатом» городе.

Глава 5. Игры на клетчатой бумаге

1. Крестики — нолики

1. Популярная игра в крестики – нолики состоит в следующем. Двое по очереди рисуют на листе клетчатой бумаги крестики и нолики. Первый игрок рисует крестики, второй – нолики. Выигрывает тот, кто первым поставит определённое количество своих знаков в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали). Следующая задача относится к этой игре.

Задача.[4] Докажите, что при игре в крестики – нолики второй игрок, как бы хорошо он ни играл, не может рассчитывать больше, чем на ничью, если его партнёр играет правильно.

2. Бридж-ит («перебрось мостик!»)

На рисунке показана доска для игры в бридж-ит. Участники игры по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии, соединяющие две соседние точки «своего» цвета: один игрок соединяет синими линиями синие точки, другой – чёрными линями чёрные точки. Линии противников нигде не должны пересекаться. Выигрывает тот, кто первым построит ломаную, соединяющую две противоположные стороны доски «своего» цвета. Так на рисунке выиграли «синие». В этой игре у начинающего игру есть выигрышная стратегия.

Когда вы вдоволь наиграетесь с друзьями в эту игру, можете либо придумать стратегию, либо прочитать о ней в книге М. Гарднера «Математические досуги»

3. Солитер [11]

Для игры в солитер нужны игровое поле-доска из 33 клеток и фишки, шашки или монетки. Игра начинается с того, что на все клетки доски, кроме центральной, расставляются фишки. Цель игры состоит в том, чтобы после ряда «прыжков» на доске осталась всего одна фишка. «Прыжок» означает следующее: фишка переносится на свободную клетку через любую соседнюю фишку, которая при этом снимается с доски, причём фишки могут прыгать влево, вправо, вверх и вниз (но не по диагонали!). Каждый ход обязательно должен быть прыжком через фишку. Если очередной ход невозможен, то игра заканчивается.

Прежде чем играть в солитер, можете решить несколько более простых задач из книги М. Гарднера «Математические досуги».

4. Жизнь [11]

Эту игру придумал математик Дж. Конуэй. В неё можно играть одному. Для игры вам понадобится большая доска, разграфленная на клетки, и много плоских фишек двух цветов. Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь простого расположения фишек, расставленных в разных клетках, проследить за эволюцией исходной позиции под действием «генетических законов» Конуэя, которые управляют рождением, гибелью и выживанием фишек. Вот эти законы.

1. Выживание. Каждая фишка, имеющая две или три соседние фишки, выживает и переходит в следующие поколения. (Соседние фишки – те, которые расположены на соседних клетках: смежных по горизонтали, вертикали или диагонали.)

2. Гибель. Каждая фишка, у которой больше трёх соседей, погибает (то есть снимается с доски) из-за перенаселённости. Каждая фишка, вокруг которой свободны все соседние клетки или занята всего одна клетка, погибает от одиночества.

3. Рождение. Если число фишек, с которыми граничит какая-нибудь пустая клетка, в точности равно трём, то на этой клетке происходит рождение нового «организма», то есть следующим ходом на неё ставится одна фишка.

Важно понять, что гибель и рождение всех «организмов» происходят одновременно. Вместе взятые, они образуют одно поколение – один «ход» в эволюции. Чтобы не запутаться, ходы рекомендуется делать так:

1) начать с конфигурации, целиком состоящей из чёрных фишек;

2) определить, какие фишки должны погибнуть, и положить на каждую из обречённых фишек по одной чёрной фишке;

3) Найти все свободные клетки, на которых должен произойти акт рождения, и на каждую из них поставить по одной белой фишке;

4) Всё проверить, затем снять с доски все погибшие фишки (столбики), а всех новорождённых (белые фишки) заменить чёрными фишками.

Вы получите новое поколение. Дальше действуйте аналогично. Вы обнаружите много интересного и красивого в эволюции семейств организмов.

Глава 6. Интересные факты

В этой главе мы приведём без доказательства несколько интересных и красивых фактов, относящихся к клетчатой плоскости. В основном, это довольно трудные теоремы. Но мы надеемся, что они понравятся вам так же, как нам, и у вас тоже возникнет желание продолжить знакомство с клетчатой плоскостью.

Факт 1. Пусть выпуклый многоугольник имеет площадь больше 4 и начало координат является его центром симметрии. Тогда этот многоугольник содержит ещё хотя бы одну точку с целыми координатами. (Теорема Минковского).

Рис. 1 Эта теорема верна не только для выпуклых многоугольников, но и для выпуклых фигур – фигур, которые с любой парой своих точек содержат и весь отрезок с концами в этих точках. Например, круг и эллипс – выпуклые фигуры, а кольцо – нет.

Смысл этой теоремы состоит в том, что выпуклая фигура, «набирая» площадь 4, не сможет «избежать» захвата узлов сетки. Понятно, что для невыпуклых фигур это не так: они могут «набирать» площадь, «обходя» узлы сетки (рис. 1).

Факт 2. Пусть внутри выпуклой фигуры площади S и периметром 2р лежит узлов решётки. Тогда n > S – р. [10]

Смысл этого факта таков: если мы захотим оградить на клетчатом листке участок (выпуклый) достаточно большой площади и мы сделаем это, «экономно» расходуя ограду, то на участке окажется довольно много узлов сетки. Если же мы будем расходовать ограду «неэкономно», сильно вытягивая участок, то узлов на участке может оказаться не так много.

Кстати, задача о нахождении фигуры наибольшей площади, имеющей данный периметр, давно волновала математиков. Её назвали изопериметрической задачей. Такой фигурой является круг: из всех фигур с данным периметром самую большую площадь имеет он. (рис. 2 и 3)

Величина S – р велика. Площадь мала, а периметр велик.

Узлов много! Узлов нет!

Факт 3. Если вершины выпуклого n -угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n ≤ 4.

Иными словами, вам ни за что не удастся (попробуйте сами!) нарисовать на клетчатой бумаге выпуклый пяти-, шести-, и т.д. многоугольник с вершинами в узлах сетки так, чтобы ни на его сторонах, ни внутри не было

Рис. 4 других узлов. А вот треугольник или четырёхугольник с таким свойством нарисовать совсем нетрудно!

Конечно, невыпуклые пяти-, шести-, и т.д. многоугольники с таким свойством тоже можно нарисовать (рис. 4).

Факт 4. Из правильных многоугольников только четырёхугольник (квадрат) можно разместить на клетчатом листе так, чтобы все его вершины лежали в узлах сетки. Ни с правильным треугольником, ни с правильным пятиугольником, и т. д., этого сделать нельзя! [2]

(Напомним, что правильным называется многоугольник, у которого все стороны и все углы равны).

Заметим, что квадрат с удобством размещается на клетчатой плоскости не только очевидным образом (когда его стороны Рис. 5

идут по линиям сетки), но и иначе (рис. 5).

В процессе исследования мы изучили много справочной, научно-популярной литературы, побывали на сайтах, вызывающих уважение и некоторое благоговение: малый Мехмат МГУ, ФИПИ, прочитали некоторые книги в электронном виде. Мы рассмотрели различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, научились применять решение таких задач в различных областях математики, подобрали нестандартные задания. Эти задачи отличаются от обычных задач, изложенных в действующих учебниках и задачниках по математике.

Любители головоломок увлекаются решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

Вместе с тем, задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бойаи-Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно). Задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате нашей работы мы расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, встретились с совсем новыми, необычными «расстояниями», узнали, как раскраска клеточек помогает решать многие задачи, познакомились поближе с задачами на разрезание и, наконец, научились играть в увлекательные игры на листке бумаги в клетку.

Рассмотренные нами задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Работа по данной теме позволила нам преодолеть психологический барьер и поверить в свои силы, что является важнейшим фактором успешного решения олимпиадных и экзаменационных задач, выступления перед аудиторией с теоретическим материалом по математике.

Мы пришли к выводу, что тема, которая нас заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша исследовательская группа решила продолжить работу в этом направлении: особенно интересными показались нам задачи на разрезание, «раскраски», задачи на трансформирование, пентамино, разрезание в пространстве. Мы решили составить сборник игр на клетчатой бумаге, которые не только увлекательны и интересны, но и развивают комбинаторно-геометрические навыки, интуицию, воображение.

Метод узлов в задаче B5

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема. На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

Узлы на координатной сетке

— это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.

Обозначение:

На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.

Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:

Теорема. Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:

где n — число узлов внутри данного многоугольника, число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).

В качестве примера рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.

Треугольник: внутренние и граничные узлы

На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего

Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника — замкнутая ломаная, которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются

  1. Собственно, ломаная;
  2. Горизонтальная линия координатной сетки;
  3. Вертикальная линия.

Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.

Треугольник на координатной сетке

Задача. Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:

Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:

Отмечены внутренние и граничные узлы треугольника

Получается, что внутренний узел всего один: Граничных узлов — целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника, а еще три лежат на сторонах.

Теперь считаем площадь по формуле:

Площадь треугольника равна 3

Вот и все! Задача решена.

Четырехугольник на координатной сетке

Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего Граничных узлов: из которых 4 являются вершинами четырехугольника, а еще 3 лежат на сторонах.

Внутренние и граничные узлы четырехугольника

Остается подставить числа в формулу площади:

Площадь четырехугольника равна 4,5

Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.

Важное замечание по площадям

Но формула — это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю. Получим:

Числа n и k — это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:

Площадь всегда выражается целым числом или дробью. Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»: 10,5; 17,5 и т.д.

Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!

Смотрите также:

  1. Задача B5: метод узлов
  2. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Типичные задачи B12 с функциями
  5. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
  6. B4: счетчики на электричество
  • Вход для учеников
  • ЕГЭ-2024
  • Часть 1
  • 1. Уравнения
  • 2. Вероятность
  • 3. Планиметрия
  • 4. Тригонометрия
  • 5. Стереометрия
  • 6. Производные
  • 7. Формулы
  • 8. Текстовые задачи
  • 11. Экстремумы функций
  • Часть 2
  • 12. Тригонометрические уравнения
  • 13. Сложная стереометрия
  • 14. Сложные неравенства
  • 15. Экономические задачи
  • 16. Сложная планиметрия
  • 17. Задачи с параметром
  • 18. Теория чисел
  • Архив
  • X1. Движение и время
  • X2. Графики
  • X3. Площади
  • X4. Стереометрия
  • X5. Экономика
  • Об экзамене
  • Советы
  • 2014
  • 2015
  • 2016
  • 2017
  • 2018
  • 2019
  • Школьникам
  • Студентам
  • Реклама
  • Обо мне
  • © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
    ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
  • При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
    Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
  • Карта сайта

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *