Как построить точку в пространстве
Перейти к содержимому

Как построить точку в пространстве

  • автор:

Положение точки в пространстве

Положение точки в пространстве представим с помощью пространственного макета. Пусть даны в пространстве точка A и три взаимно перпендикулярные плоскости проекции.

Построим проекции точки А, расположенной в первом октанте пространства. Для этого через точку проведем проецирующие лучи, идущие перпендикулярно плоскостям проекций . На пересечении этих лучей с плоскостями проекций H, V, W находятся проекции самой точки А (A`, A», A»`).

Положение точки в пространстве

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами (x, y, z), показывающими величины расстояний, на которые она удалена от плоскостей проекций. Чтобы определить эти расстояния, достаточно через точку A провести прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций, определить точки A`, A», A»` встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить величины отрезков [AA`], [AA»], [AA»`], которые укажут соответственно значение аппликаты z, ординаты y, абсциссы x точки A.

Точки A`, A», A»` называют ортогональными проекциями точки A, при этом согласно принятым обозначениям: A` — горизонтальная проекция точки A; — фронтальная проекция точки A; A»` — профильная проекция точки A.

Прямые (AA`H), (AA»V), (AA»`W) называют проецирующими прямыми или проецирующими лучами. Прямую (AA`), проецирующую точку A на горизонтальную плоскость проекций, называют горизонтально проецирующей прямой (лучом). Прямую (AA») проецирующую точку A на фронтальную плоскость проекций называют фронтально проецирующей прямой (лучом). Прямую (AA»`) проецирующую точку A на профильную плоскость проекций называют профильно-проецирующей прямой (лучом). Две проецирующие прямые, проходящие через точку A, определяют плоскость, которую принято называть проецирующей.

Чтобы получить эпюр точки A, выполним преобразование пространственного макета в эпюр Монжа: — фронтальная проекция точки A остается на месте, как принадлежащая плоскости V, которая не меняет своего положения при рассматриваемом преобразовании. — горизонтальная проекция A` вместе с горизонтальной плоскостью проекции опустится вниз и расположится на одном перпендикуляре к оси x с фронтальной проекцией . — профильная проекция AA»` будет вращаться вместе с профильной плоскостью проекции и к концу преобразования займет положение, указанное на рисунке. При этом AA»` будет принадлежать перпендикуляру к оси z, проведенному через и удалена от оси z на такое же расстояние, на какое горизонтальная проекция A` удалена от оси x.

Положение точки в пространстве

Положение точки в пространстве

Связь между горизонтальной и профильной проекциями точки может быть установлена с помощью двух ортогональных отрезков [A`Ay] и [AyA»`] и сопрягающей их дуги окружности, с центром в точке пересечения координатных осей. Отмеченной связью пользуются для нахождения недостающей профильной или горизонтальной проекции.

Положение профильной (горизонтальной) проекции по заданным горизонтальной (профильной) и фронтальной проекциям может быть найдено и без проведения дуги окружности. В этом случае связь между горизонтальной и профильной проекциями может быть установлена с помощью ломаной линии A`,Ao,A»` с вершиной Ao на биссектрисе угла, образованного осями y. Биссектрису O,Ao,A»` называют постоянной прямой ko эпюра Монжа.

Представленная на рисунке плоская модель (эпюр) несет такую же информацию, какая содержится в пространственном макете. Действительно: чтобы определить положение точки в пространстве, необходимо знать три координаты точки A — (x, y, z) — это длины отрезков [AA»`], [AA»], [AA`]. Величины этих отрезков могут быть легко определены на эпюре: [AA»`] ≅ [A`Ay] ≅ [A»Az]; [AA»] ≅ [A`Ax] ≅ [A»`Az]; [AA`] ≅ [A»Ax] ≅ [A»`Ay].

Горизонтальная проекция точки A определяется абсциссой x и ординатой y Фронтальная проекция — абсциссой x и аппликатой z Профильная проекция — ординатой y и аппликатой z

Из записи следует: 1. Точка в пространстве удалена: а) от плоскости проекции W на такую же величину, на какую горизонтальная проекция этой точки A` удалена от оси y (или же фронтальная проекция A» от оси z); б) от плоскости проекции V на такую же величину, на какую горизонтальная проекция этой точки A` удалена от оси x (или ее профильная проекция A»` от оси z); в) от плоскости проекции H на такую же величину, на какую ее фронтальная проекция удалена от оси x (или ее профильная проекция A»` от оси y).

2. Положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций. Как следствие из этого — по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда можно построить недостающую ее третью ортогональную проекцию. Действительно: какое бы сочетание из двух ортогональных проекций мы не взяли, они всегда дают нам значение всех трех координат точки. 3. a) горизонтальная и фронтальная проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру к оси x.

Если принять во внимание, что на эпюре прямые, перпендикулярные к осям проекций и соединяющие разноименные проекции точек, называют линиями связи (проекционной связи), то пункт 3. а) может быть сформулирован иначе: горизонтальная и фронтальная проекции любой точки принадлежат одной линии связи.

б) горизонтальная и профильная проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи) к оси y; в) фронтальная и профильная проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи) к оси z.

1. Координаты точки и вектора

Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.

Koord_sist2.png

Оси координат \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) называются соответственно: \(Ox\) — ось абсцисс , \(Oy\) — ось ординат , \(Oz\) — ось аппликат .

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: \((Oxy)\), \((Oyz)\) и \((Oxz)\).

Koord_sist3.png

Положение точки \(A\) в пространстве определяется тремя координатами: \(x\), \(y\) и \(z\).

Koord_sist1.png

Координата \(x\) называется абсциссой точки \(A\), координата \(y\) — ординатой точки \(A\), координата \(z\) — аппликатой точки \(A\).

Записываются так: \(A(x; y; z)\).

Если точка находится на оси \(Ox\), то её координаты \(X(x; 0; 0)\).
Если точка находится на оси \(Oy\), то её координаты \(Y(0; y; 0)\).
Если точка находится на оси \(Oz\), то её координаты \(Z(0; 0; z)\).
Если точка находится в плоскости \(Oxy\), то её координаты A 1 x ; y ; 0 .
Если точка находится в плоскости \(Oyz\), то её координаты A 2 0 ; y ; z .
Если точка находится в плоскости \(Oxz\), то её координаты A 3 x ; 0 ; z .
Координаты вектора

Koord_sist_vekt.png

Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i → , j → и k → , то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде OA → = x ⋅ i → + y ⋅ j → + z ⋅ k → .

Коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.

Записываются так: OA → x ; y ; z .
Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:
— координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:
a → x 1 ; y 1 ; z 1 , b → x 2 ; y 2 ; z 2 , a → + b → x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ; z 1 + z 2 ;

— координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
a → − b → x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ; z 1 − z 2 ;

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O . Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O , имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается O x y . Координатными осями называют О х и О у , называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех О х , О у , О z осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где О z имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O , называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте О х против часовой стрелки на 90 ° ее положительное направление совпадает с положительным О у , тогда это применимо для положительного направления О z . Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y , а средний за Z .

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на координатной оси О х . Любое действительное число x M равняется единственной точке М , расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если — 3 , то соответственное расстояние 3 . Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М , расположенная на O x , равна действительному числу x M . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении O x и О у . Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки M x на О х , а как проекцию точки M y на О у . Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям О x и О у прямые, где послучим соответственные точки пересечения M x и M y .

Тогда точка M x на оси О х имеет соответствующее число x M , а M y на О у — y M . На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел ( x M , y M ) , называемую ее координатами. Абсцисса M – это x M , ордината M – это y M .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара ( x M , y M ) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются M x , M y , M z , являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси О х , О у , О z . Тогда значения этих точек на осях О х , О у , О z примут значения x M , y M , z M . Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M , необходимо добавить перпендикулярные прямые О х , О у , О z продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M . Таким образом, плоскости пересекутся в M x , M y , M z

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные ( x M , y M , z M ) , которые имеют название координаты точки M , , x M , y M , z M — это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M . Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел ( x M , y M , z M ) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Как построить точку в трёхмерном пространстве? Допустим А (50,30,5)

Построить систему координат в трехмерном пространстве, т. е. линии взаимноперпендикулярны X, Y, Z, на обычном листе рисуются три координаты между ними откладываются углы в 120 градусов, при этом Z — вертикальная «линия», Y — влево, X- вправо. Выберите масштаб (к примеру 1см =10 единиц, которые Вам даны по условию) , таким образом на Вашем листе бумаги будет А (5;3;0,5) см так вот. на координате Х откладывайте 5 см вправо, затем установите линейку параллельно координате Y и отложите на невидимой линии 3 см, затем от этой точки отмеряйте вверх полсантиметра и вуаля — Ваша точка будет построена. Не забудьте указать масштаб и цифры на координатных прямых.

Остальные ответы

Похожие вопросы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *