Как найти координаты центра и радиус окружности
Перейти к содержимому

Как найти координаты центра и радиус окружности

  • автор:

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Коэффициенты a, b, c, d, e уравнения
Введите коэффициенты a, b, c, d, e в указанном порядке ax² + by² + cx + dy + e = 0
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Введенное уравнение
Уравнение после выделения полного квадрата

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Радиус окружности
Центр окружности
Ссылка Сохранить Виджет

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде

Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности — это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности — это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:

Это — уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

  1. Перегруппируем слагаемые уравнения
  2. Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут — Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида на выражение вида . С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.

Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число — значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

Для решения обратной задачи — нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу — можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Научный форум dxdy

Определите координаты центра и радиус окружности

Определите координаты центра и радиус окружности
19.07.2018, 09:48

Последний раз редактировалось Tiberium 19.07.2018, 09:50, всего редактировалось 1 раз.

Определите координаты центра и радиус окружности

$ x^2+y^2+z^2-12x+4y-6z+24=0, 2x+2y+z+1=0$

Прошу натолкнуть на мысль. Как рассуждать в этой задаче? Я откровенно слаб в любом виде геометрии, поэтому попыток решения особо и нет.
Обозначим искомый центр окружности $O$с координатами $(a,b,c)$. Ясно, что эта точка должна принадлежать как сфере, так и плоскости — отсюда получаем два условия.

Что ещё должно выполниться?

Буду благодарен также за рекомендации по выбору хорошего задачника с подобными задачами, желательно с примерами решения.

Re: Определите координаты центра и радиус окружности
19.07.2018, 10:04

Заслуженный участник

Из центра сферы опустите перпендикуляр на плоскость.
Re: Определите координаты центра и радиус окружности
19.07.2018, 10:05

Заслуженный участник

Сперва выделите полный квадрат в уравнении сферы и убедитесь, что центр сферы не лежит в плоскости. Таким образом, надо будет найти проекцию центра сферы на плоскость вдоль вектора нормали. Для этого составляете параметрические уравнения прямой, проходящей через центр сферы в направление нормали, подставляете эти уравнения в уравнение плоскости, находите параметр и получаете центр окружности. Пока это сделайте, дальше посмотрим. Книг с решениями посоветовать не могу.

Re: Определите координаты центра и радиус окружности
19.07.2018, 10:09

Осторожно, центр окружности пересечения может не лежать на сфере. Более того, он почти всегда не лежит на ней.

Я бы попробовал представить себе эту картину геометрически. Подумайте, что можно сказать насчёт отрезка соединяющего центр сферы и центр окружности?

Re: Определите координаты центра и радиус окружности
19.07.2018, 10:13

1. Постройте прямую через центр сферы перпендикулярно плоскости.
2. Найдите точку пересечения прямой и плоскости. Сие будет центр окружности.
3. Найдите какое либо решение вашей системы. Это будет точка окружности. Впрочем её может и не быть.
4. Найдите расстояние между этой точкой и центром из п.2. Сие будет радиус.

Re: Определите координаты центра и радиус окружности
19.07.2018, 10:16
thething в сообщении #1327593 писал(а):

Сперва выделите полный квадрат в уравнении сферы и убедитесь, что центр сферы не лежит в плоскости. Таким образом, надо будет найти проекцию центра сферы на плоскость вдоль вектора нормали. Для этого составляете параметрические уравнения прямой, проходящей через центр сферы в направление нормали, подставляете эти уравнения в уравнение плоскости, находите параметр и получаете центр окружности. Пока это сделайте, дальше посмотрим. Книг с решениями посоветовать не могу.

Центр сферы имеет координаты $ (6; -2; 3)$, нормальный вектор — $ (2;2;1)$. Тогда $ x = 2t+6, y = 2t-2, z = t+3 $. Из уравнения плоскости получаем $ t = -\frac<4>$» />. Как через <img decoding=получить центр окружности?

Re: Определите координаты центра и радиус окружности
19.07.2018, 10:17

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось thething 19.07.2018, 10:18, всего редактировалось 1 раз.

Tiberium в сообщении #1327597 писал(а):

$t$

Как через получить центр окружности?

Подставить в икс, игрек и зет

Дальше можете найти расстояние между центрами сферы и окружности и для нахождения радиуса воспользоваться теоремой Пифагора (лучше нарисовать картинку).

Основы мат. анализа Примеры

Перенесем в правую часть уравнения, прибавив к обеим частям.

Составим полный квадрат для .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Применим форму , чтобы найти значения , и .

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

Найдем значение по формуле .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Подставим значения и в формулу .

Сократим общий множитель и .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Вынесем множитель из .

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель из .

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

Этап 5.3.2.2.4

Разделим на .

Найдем значение по формуле .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Подставим значения , и в формулу .

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель и .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Этап 5.4.2.1.1.1

Вынесем множитель из .

Этап 5.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Этап 5.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель из .

Этап 5.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

Этап 5.4.2.1.1.2.4

Разделим на .

Этап 5.4.2.1.2

Умножим на .

Подставим значения , и в уравнение с заданной вершиной .

Подставим вместо в уравнение .

Перенесем в правую часть уравнения, прибавив к обеим частям.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная представляет радиус окружности, — сдвиг по оси X от начала координат, а — сдвиг по оси Y от начала координат.

Как найти координаты центр окружности??

Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.
Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].

Остальные ответы

Похожие вопросы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *