Как дополнить векторы до ортогонального базиса
Перейти к содержимому

Как дополнить векторы до ортогонального базиса

  • автор:

Алгеом Дополнить до ортонормированного базиса систему векторов евклидова пространства .(2/3,1/3,2/3),(1/3,2/3,-2/3)

1) показываете что векторы линейно независимы (непропорциональны)
2) добавляете вектор чтобы получилась система линейцно независимых векторов. можно взять в качестве такого векторное произведение этих двух векторов

да еще надо убедится что два заданных вектора ортогональны (вычисление скаларного произведения)

и еще векторы надо нормировать (то есть сделать едничной длины), разделить каждый на его длину, включая третий.

Дополнение системы векторов до ортогонального базиса

содержащую -уравнений ( ) с -неизвестными . Из общего решения этой системы необходимо выделить нетривиальное частное решение, которое определит координаты вектора .

Вектор подбирается так, чтобы он был ортогонален векторам . При этом необходимо решить систему

Система (1.9) будет содержать ( +1)-уравнение (если ) с -неизвестными . Из общего решения этой системы необходимо выделить нетривиальное частное решение, определяющее координаты вектора . И так далее. В итоге получим систему ортогональных векторов

являющуюся ортогональным базисом в пространстве .

Задание 9. Проверить ортогональность векторов , пространства и дополнить эти векторы до ортогонального базиса.

Задание 10. Подпространство линейного пространства задано однородной системой линейных алгебраических уравнений (ОСЛАУ). Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство и его ортогональную составляющую .

Алгоритм решения задания следующий.

1. Находим общее решение ОСЛАУ и фундаментальную систему решений (базис пространства решений ОСЛАУ).

2. Проверяем ортогональность векторов . Если векторы не ортогональны, то проводим процесс ортогонализации Шмидта, получаем систему ортонормированных векторов :

3. Ортогональную проекцию – вектор составляем по правилу

где , , …., . Проверяем принадлежность составленного вектора пространству .

4. Ортогональную составляющую – вектор составляем как

Ортогональность векторов , проверяем условием .

Дополнить до ортогонального базиса

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Дан один вектор a1=(2,-4,3,1)
Взял ортогональный ему вектор a2=(1/2,1,1,0)
Для нахождения a3 решил систему:
2y1-4y2+3y3+y4=0
1/2y1+y2+y3=0
Получил вектор a3=(1,-1/2,0,-4)
Для a4 не могу решить систему:
2z1-4z2+3z3+z4=0
1/2z1+z2+z3=0
z1-1/2z2-4z4=0
Как её решить?

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Дополнить до ортоганального базиса
Дан вектор a1 = (2,1,3,-5). Дополнить до ортоганального базиса. Подскажите как делать?

Дополнить до ортонормированного базиса систему векторов
Дополнить до ортонормированного базиса базиса следующие систему векторов a1=(-1;3;2); a2=(2,0,1);.

Дополнить вектор до базиса линейной оболочки системы.
дополнить вектор x=(1,0,1,0) до базиса линейной оболочки системы а1=(1,1,1,1) а2=(1,-1,1,-1).

Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства
Доказать, что векторы вида (3a+2b, -a-b, 2a+4b) образуют линейное подпространство в пространстве.

2708 / 1763 / 184
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 5,088
Как предыдущую.
Регистрация: 20.12.2012
Сообщений: 75

ЦитатаСообщение от iifat Посмотреть сообщение

Как предыдущую.
А методом Гауса она решается?
4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038
Методом Гаусса всё решается. Только зачем это всё, если есть Грам—Шмидт?
618 / 281 / 10
Регистрация: 22.01.2013
Сообщений: 874

Затем, что Angel of death в предыдущей теме по той же самой задаче (правда, с другим вектором) так и не назвал ни одного «стандартного базисного вектора».

4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038
Чувствую, форум будет завален континуумом тем.
Регистрация: 20.12.2012
Сообщений: 75

ЦитатаСообщение от rahim Посмотреть сообщение

Затем, что Angel of death в предыдущей теме по той же самой задаче (правда, с другим вектором) так и не назвал ни одного «стандартного базисного вектора».

Я не знаю что такое стандартный базисный вектор, в задаче дан только вектор а1
4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038

Стандартный базис в состоит из векторов

(i-я компонента вектора ei равна 1, остальные — 0). Этот базис является ортонормированным относительно стандартного скалярного произведения (сумма произведений соответствующих координат).

Вы за сутки не нашли ответ на этот вопрос ни в глубинах учебников, ни на просторах интернета?

Регистрация: 20.12.2012
Сообщений: 75

ЦитатаСообщение от helter Посмотреть сообщение

Стандартный базис в состоит из векторов

(i-я компонента вектора ei равна 1, остальные — 0). Этот базис является ортонормированным относительно стандартного скалярного произведения (сумма произведений соответствующих координат).

Вы за сутки не нашли ответ на этот вопрос ни в глубинах учебников, ни на просторах интернета?

Но как это поможет решить задачу?
4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038

ЦитатаСообщение от Thinker Посмотреть сообщение

с помощью ортогонализации грама-шмидта и дополнения тремя стандартными базисными векторами
Но чтобы узнать, что такое ортогонализация Грама—Шмидта, у вас, наверно, уйдут годы.
Регистрация: 20.12.2012
Сообщений: 75

ЦитатаСообщение от helter Посмотреть сообщение

Но чтобы узнать, что такое ортогонализация Грама—Шмидта, у вас, наверно, уйдут годы.

Это я знаю, я просто не знал как называются эти вектора

Добавлено через 10 минут
Для Грама-Шмидта нужно 4 вектора, как я понял нужно взять еще 3 стандартных базисных вектора?

4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038

Ограничений на число векторов нет. Граму—Шмидту скармливают любую систему векторов, он выдаёт ортогональную систему. (Причём такую, что на первые k векторов и исходной, и полученной системы натягивается одно и то же подпространство.) Если процессу попадается вектор, линейно выражающийся через предыдущие, он выплёвывает нулевой.

Добавлено через 1 минуту
То есть вы к своему вектору добавляете весь стандартный базис и перемалываете их процессом ортогонализации, пока не получите четыре ненулевых вектора. В силу ортогональности они будут линейно независимы, то есть базисом.

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Базис ортогонального дополнения подпространства
Пусть А линейная оболочка векторов _=(1,1,1,1,1),_=(0,1,1,1,1),_=(0,1,1,1,0).

Найти матрицу ортогонального проектирования
Не в ладах с векторами, объясните как решить задачку Найти матрицу ортогонального проектирования.

Найти матрицу оператора ортогонального проектирования и образ вектора
— оператор ортогонального проектирования на плоскость x-y+z=0 в пространстве V3. Найти матрицу.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Как дополнить векторы до ортогонального базиса

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Задача 2. Найти А +В, если

Задача 3. Найти АВ , если

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

Задача 5. Найти , если

Задача 6. Найти , если

Задача 7. Вычислить определитель

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Мы сами можем проверить результат, Известно, что . Так ли это?

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: det А =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 – 4•(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера :

Решение:

Задача 11. Вычислить :

Раскроем скобки и получим:

Так как , то получаем:

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Представим число z в тригонометрической форме.

, следовательно, а=1, b =1 и .

Применим формулу Муавра:

Задача 13. Выполнить деление с остатком f ( x )= x 3 — x 2 — x на x -1+2 i .

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f ( x ), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2 i в данном примере.

Таким образом: f ( x )= x 3 — x 2 — x =( x -1+2 i ) ( x 2 -2 ix -5-2 i )-9+8 i .

Ответ : f(x)=x 3 -x 2 -x=(x-1+2i) (x 2 -2ix-5-2i)-9+8i.

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов.

Решение: Найдем скалярное произведение данных векторов: ( х , у) = 2+6+4-12 = 0 х , у – ортогональны .

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть z = (z1, z2, z 3, z 4) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

Пусть теперь k = ( k 1, k 2, k 3, k 4) попарно ортогонален с векторами x , y , z . Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

Таким образом, можно добавить векторы

(2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1).

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов и до ортонормированного базиса.

Пусть z = (z1, z2, z 3) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e 1, e 2, e 3..

Решение: Пусть L — трёхмерное пространство, e 1, e 2, e 3 — базис L , преобразование — проектирование L на координатную плоскость векторов e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3.

Пусть х — произвольный вектор L , т.е. x Î L .

Пусть x =( x 1, x 2, x 3) — координаты вектора x в базисе e 1, e 2, e 3, т.е. x = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3. Тогда при преобразовании j имеем:

Докажем, что для любых x Î L , y Î L и числа l

1) j ( x+y )= j (x)+ j (y),

2) j ( l x )= l j (x).

j ( l x ) = ( l x 1, l x 2, 0) = l ( x 1, x 2, 0) = l j ( x ) .

Следовательно, j — линейное преобразование.

Найдем матрицу преобразования j в базисе e 1, e 2, e 3. Известно, что координаты образа j ( x ) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования A j следующим образом:

Откуда следует, что

Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е 1 , е2, е3, е4 имеет матрицу

Выпишем матрицу перехода от базиса е 1234 к новому базису:

Теперь найдем матрицу преобразования В j в новом базисе по формуле В j =Т -1 А j Т.

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j .

Составим характеристическую матрицу:

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

Получим собственные значения: или .

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

По определению имеем: .

Но, в тоже время,

Беря значением = -1, получаем с.л.а .у . :

Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а .у . Найдем ф.с.р. это с.л.а .у .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *