Что является результатом отношения бесконечно малых величин
Перейти к содержимому

Что является результатом отношения бесконечно малых величин

  • автор:

Лекция 10. Раздел 10.2
Сравнение бесконечно малых величин.

Как следует из определения бесконечно малых величин, все они стремятся к нулю, но скорость этого стремления может быть различна. Поэтому все бесконечно малые величины можно сравнивать между собой.

Пусть даны две бесконечно малые величины и при , то есть , .

Определение 10.2.1. Функции и называются бесконечно малыми величинами одного порядка малости, если .

Определение 10.2.2. Функция называется бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем , если .

Определение 10.2.3. Функция называется бесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем , если .

Тот факт, что , например, имеет более высокий порядок малости, чем , можно обозначить следующим образом: .

Определение 10.2.4. Функция называется бесконечно малой величиной го порядка малости относительно , если .

Определение 10.2.5. Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми величинами, если не существует и не равен .

Определение 10.2.6. Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если .

Очевидно, что это частный случай бесконечно малых величин одного порядка малости. Эквивалентные величины обозначаются следующим образом: .

Понятие эквивалентности имеет практическое приложение. Если , то это значит, что при достаточном приближении к на основании теоремы 9.2.1 можно написать: . Иначе говоря, или .

Полученный результат позволяет следствия первого и второго замечательных пределов представить следующим образом:

Данный факт значительно облегчает вычисление пределов, связанных с первым и вторым замечательными пределами. Докажем объясняющую это теорему.

Теорема 10.2.1. Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им величин.

Доказательство. Пусть даны две бесконечно малые величины и при , причем и . Рассмотрим

что и требовалось доказать.

Следовательно, при вычислении пределов, используя замены сомножителей на эквивалентные им более простые величины, можно значительно упрощать выражения.

Рассмотрим теперь теорему, дающую достаточно простой признак эквивалентности бесконечно малых величин.

Теорема 10.2.2. Две бесконечно малые величины и при эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем и .

Необходимость. Дано, что . Рассмотрим

то есть . Аналогично доказывается, что .

Достаточность. Дано, что и . Рассмотрим

то есть , что и требовалось доказать.

Рассмотрим еще одну теорему, облегчающую процесс вычисления пределов.

Теорема 10.2.3. Сумма конечного числа бесконечно малых величин разных порядков малости эквивалентна слагаемому с самым низким порядком малости.

Доказательство. Пусть даны бесконечно малые величины , и при , причем , , . Обозначим . Тогда

то есть , что и требовалось доказать.

  • Решение задач :
  • Главная
  • Цены
  • Оплата
  • Вопросы — ответы
  • Образцы готовых работ
  • Заказать решение
  • Скачать программы
  • Скачать книги
  • Скачать реферат
  • Разное :
  • Обмен ссылками
  • Ссылки
  • Интересно:
  • Шпаргалки по математике
  • Новости математикм
  • Статьи по математике
  • Лекции по математике
  • Разделы:
  • Раздел 10.1
  • Раздел 10.2

Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

Сравнение бесконечно малых

Предел последовательности

Предел функции

Приближенные вычисления

Непрерывность функций

Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то и называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при и записывают это утверждение в виде

Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при а функция имеет меньший порядок малости.

Термин “порядок малости” допускает уточнение, если и представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что является бесконечно малой n-го порядка по сравнению с . Например, функция является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с при x → 0.

Если λ = ∞, то бесконечно малые и как бы меняются своими ролями. В этом случае функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при .

Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.

    Если и – эквивалентные бесконечно малых при то их разность есть бесконечно малая более высокого порядка.
    Действительно,

Для записи такого утверждения используется выражение

Бесконечно малые и являются эквивалентными, если и являются бесконечно малыми одного и того же порядка.

Если – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с при то

Бесконечно малая величина

Бесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность an называется бесконечно малой, если \lim_<n\to\infty>a_n=0″ width=»» height=»» />. Например, последовательность чисел <img decoding=

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если \lim_<x\to+\infty>f(x)=0″ width=»» height=»» /> либо <img decoding=

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

\lim_<n\to\infty></p><div class='code-block code-block-12' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 12pocketpc -->
<script src=

Последовательность an называется бесконечно большой, если a_n=\infty» width=»» height=»» />.

\lim_<x\to x_0></p>
<p>Функция называется <i>бесконечно большой в окрестности точки</i> <i>x</i><sub>0</sub> , если f(x)=\infty» width=»» height=»» />.</p>
<p>Функция называется <i>бесконечно большой на бесконечности</i>, если <img decoding=

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

b_n=\frac<1></p>
<ul>
<li>Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.</li>
<li>Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.</li>
<li>Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.</li>
<li>Если <i>a</i><sub><i>n</i></sub> — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то » width=»» height=»» /> — бесконечно большая последовательность.</li>
</ul>
<h3>Сравнение бесконечно малых величин</h3>
<p><img decoding=

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x 5 = o(x 3 ).

В данном случае справедливы записи 2x 2 + 6x = O(x) и x = O(2x 2 + 6x).

Эквивалентные величины

Определение

Если \lim_<x\to a>\frac=1″ width=»» height=»» />, то бесконечно малые величины α и β называются <i>эквивалентными</i> (<img decoding=).
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

<x\to 0></p>
<p>При » width=»» height=»» /> справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):</p>
<ul>
<li><img decoding=;

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

Заменяя sin2x эквивалентной величиной 2x , получаем \lim_\frac= \lim_\frac= 2.

Исторический очерк

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем — в его интегрировании.

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок»; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Споры в Парижской Академии наук по вопросам обоснования анализа приобрели настолько скандальный характер, что Академия однажды вообще запретила своим членам высказываться на эту тему (в основном это касалось Ролля и Вариньона). В 1706 году Ролль публично снял свои возражения, однако дискуссии продолжались.

В 1734 году известный английский философ, епископ Джордж Беркли выпустил нашумевший памфлет, известный под сокращенным названием «Аналист». Полное его название: «Аналист или рассуждение, обращенное к неверующему математику, где исследуется, более ли ясно воспринимаются или более ли очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры».

«Аналист» содержал остроумную и во многом справедливую критику исчисления бесконечно малых. Метод анализа Беркли считал несогласным с логикой и писал, что, «как бы он ни был полезен, его можно рассматривать только как некую догадку; ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства». Цитируя фразу Ньютона о приращении текущих величин «в самом начале их зарождения или исчезновения», Беркли иронизирует: «это ни конечные величины, ни бесконечно малые, ни даже ничто. Не могли ли бы мы их назвать призраками почивших величин?… И как вообще можно говорить об отношении между вещами, не имеющими величины. Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию [производную], вторую или третью разность, не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии».

Невозможно, пишет Беркли, представить себе мгновенную скорость, то есть скорость в данное мгновение и в данной точке, ибо понятие движения включает понятия о (конечных ненулевых) пространстве и времени.

Как же с помощью анализа получаются правильные результаты? Беркли пришел к мысли, что это объясняется наличием в аналитических выводах взаимокомпенсации нескольких ошибок, и проиллюстрировал это на примере параболы. Занятно, что некоторые крупные математики (например, Лагранж) согласились с ним.

Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым — выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен. Особенно часто путали бесконечно малое приращение функции и его линейную часть.

В течение всего XVIII века предпринимались грандиозные усилия для исправления положения, причём в них участвовали лучшие математики столетия, однако убедительно построить фундамент анализа удалось только Коши в начале XIX века. Он строго определил базовые понятия — предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др., после чего актуальные бесконечно малые исчезли из науки. Некоторые оставшиеся тонкости разъяснил позднее Вейерштрасс.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине XX века нестандартного анализа, который доказал, что первоначальная точка зрения — актуальные бесконечно малые — также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Бесконечно малая величина

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной Бесконечно малая [ ]

Последовательность a n называется бесконечно малой, если : lim n → ∞ a n = 0 a_n = 0> . Например, последовательность чисел a n = 1 n > — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окресности точки x 0 , если lim x → x 0 f ( x ) = 0 f(x) = 0> .

Теоремы о бесконечно малых [ ]

Бесконечно большая величина [ ]

Последовательность a n называется бесконечно большой, если : lim n → ∞ a n = ∞ a_n = \infty> .

Функция называется бесконечно большой в окресности точки x 0 , если lim x → x 0 f ( x ) = ∞ f(x) = \infty> .

Сравнение бесконечно малых величин [ ]

Как сравнивать бесконечно малые величины(Неопределённости 0 0 > )? Допустим, у нас есть бесконечно малые величины α ( x ) и β ( x ) при x → a .

Примеры [ ]

См. также [ ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *