Как привести матрицу к диагональному виду
Перейти к содержимому

Как привести матрицу к диагональному виду

  • автор:

Всякую ли матрицу можно привести к диагональному виду?

Нам была дана теорема о приведении матрицы к диагональному виду:

«Всякую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к диагональному вид».

Но, если верить Википедии, такие матрицы должны «приводимы к Жордановой форме», с которой я, увы, не знаком.

Хотелось бы понять: верна ли всё-таки теорема и, если да, то в каких случаях. З

Лучший ответ

Когда говорят об элементарных преобразованиях, то имеют в виду операции
со строками такие же, как в методе Гаусса. В этом смысле любую квадратную
матрицу можно привести к диагональному виду.
Другое дело — подобные преобразования, т. е. переход от матрицы А к
подобной ей матрице T^(-1)AT, где Т — матрица, составленная из собственных
векторов матрицы А. Так как не у всякой матрицы собств. векторы образуют
базис, то такое приведение к диагональному виду возможно не всегда.
В частности, если размер матрицы А есть n x n, и имеется n различных собств.
значений, то имеется базис, и А приводима к диагональному виду.
Но если есть кратные соб. значения, то базиса может не быть, и тогда вместо
диагонального вида приходится приводить к жорданову виду.

Пример матрицы: 1-я строка (0; 0), 2-я строка (1; 0). Элементарное
преобразование «меняем местами строки» приводит матрицу к диагональному
виду. Но собств. значение только одно (двукратное) , а именно, 0, базиса нет.
Подобным преобразованием матрица не приводится к диагональному виду.
(Сама матрица А как раз уже в жордановом виде) .

Приведение симметрической матрицы к диагональному виду

Матрица А линейного оператора А при замене базиса преобразуется согласно формуле А’ = U -1 AU, где U — матрица перехода (см. теорему 4.6). Если речь идет об евклидовом пространстве и переходе из одного ортонормированного базиса в другой, матрица перехода U является ортогональной (см. теорему 7.5). Согласно свойству 7.2, такая матрица удовлетворяет соотношению U -1 = U T . Поэтому для случая ортонормиро- ванных базисов формулу преобразования матрицы линейного оператора можно записать следующим образом:

Теорема 7.7. Для любой симметрической матрицы М существует такая ортогональная матрица U, что U T MU = Λ, где Λ = diag(λ1, . λn) — диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы М, повторяющиеся согласно их кратности.

◄ Доказательство теоремы основано на следствии 6.4, теореме 7.5 и свойстве 7.2. Согласно следствию 6.4, для симметрической матрицы М порядка n существует такая невырожденная матрица Р, что Р -1 МР = Λ = diag(λ1, . λn), где в последовательности λ1, . λn указаны все собственные значения матрицы М с учетом их кратностей. Из доказательства того же следствия вытекает, что Р является матрицей перехода между ортонормированными базисами. Поэтому Р — ортогональная матрица (см. теорему 7.5) и Р -1 = Р T (см. свойство 7.2). Следовательно, Р T МР = Р -1 МР = Λ, т.е. в качестве матрицы U в формулировке теоремы можно взять Р. ►

Преобразование (7.5) с ортогональной матрицей U иногда называют ортогональным преобразованием матрицы А. Поэтому теорему 7.7 можно сформулировать так: любая симметрическая матрица ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду. Чтобы найти соответствующую матрицу U, о которой говорится в этой теореме, необходимо:

1) найти собственные значения матрицы М;

2) для каждого собственного значения найти набор собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, при этом эти собственные векторы должны быть линейно независимыми и их количество должно равняться кратности собственного значения;

3) преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственного значения, в ортонормированные при помощи процесса ортогонализации Грама — Шмидта. Объединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет ортонормированным базисом евклидова пространства;

4) выписать матрицу U, столбцами которой являются координаты векторов построенной ортонормированной системы.

Пример 7.4. Найдем ортогональное преобразование, приводящее симметрическую матрицу

Симметрическая матрица

к диагональному виду.

1. Находим собственные значения матрицы А. Для этого составляем ее характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение матрицы

Это уравнение третьей степени. Так как его коэффициенты являются целыми числами, то целое число может быть его корнем лишь в случае, если оно делитель свободного члена. Поэтому мы можем поискать корни среди чисел ±1, ±2, ±5. Подстановкой в уравнение убеждаемся, что одним из корней является λ1 = 1.

Найденный корень позволяет разложить левую часть харак-теристического уравнения на линейный и квадратичный мно-жители, например, при помощи деления характеристического многочлена на х — 1 «в столбик»

Деление характеристического многочлена

(λ — 1)(λ 2 — 11λ + 10) =0,

откуда находим оставшиеся два корня λ2 = 1, λ3 = 10. Таким образом, имеются два собственных значения: 1 кратности 2 и 10 кратности 1.

2-3. Найдем для собственного значения λ1,2 = 1 кратности 2 два линейно независимых собственных вектора. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (А — Е)х = 0, т.е. системы

Фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений

Ранг матрицы этой системы равен единице (все строки матрицы системы пропорциональны), поэтому можно отбросить второе и третье уравнения, оставив первое

В качестве независимых переменных выбираем x2, х3. Фундаментальную систему решений составляют x2 = 1, х3 = 0, х1 = — 2 и x2 = 0, х3 = 1, x1 = 2, т.е. векторы

Фундаментальная система решений

Найденные собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1,2 = 1, линейно независимы, но ортогональными не являются. Построим по ним другую, ортонормированную пару собственных векторов е1, e2 при помощи метода ортогонализации Грама — Шмидта:

Ортонормированная пара при помощи метода ортогонализации Грама - Шмидта

Для собственного значения λ3 = 10 система линейных алгебраических уравнений имеет вид (А — 10Е)х = 0, или

Система линейных алгебраических уравнений

В качестве ее фундаментальной системы решений можно взять одно ненулевое решение, например вектор b3 = (1 2 -2) T . Нормируя этот вектор, получаем

В качестве фундаментальной системы решений можно взять одно ненулевое решение

Найденные векторы e1, е2, е3 образуют ортонормированный базис из собственных векторов.

4. Составим из найденных векторов еi матрицу

Составим из найденных векторов матрицу

которая и является искомой.

Убедиться в том, что матрица U определена правильно, можно при помощи подстановки матрицы U и заданной матрицы А в следующее тождество:

Подстановки матрицы U и заданной матрицы А в следующее тождество

Замечание 7.4. В случае n = 3 при λ1 = λ2 ≠ λ3 собственные векторы удобнее с точки зрения экономии вычислений находить в следующем порядке. Сначала для собственного значения кратности 1 (λ3 = 10 в рассмотренном примере) найти собственный вектор и нормировать его. Обозначим полученный вектор, например, е3. Затем для собственного значения кратности 2 (λ1,2 = 1 в рассмотренном примере) найти один собственный вектор и нормировать его. Получим вектор e1. Векторы е1 и е3 будут ортогональными согласно теореме 6.4. Недостающий третий вектор ортонормированного базиса может быть найден при помощи векторного произведения: е2 = e1 × е3.

Описанный прием позволяет избежать процесса ортогона- лизации. Точно так же можно не применять процесс ортогона- лизации при n = 2, так как, зная один вектор е1 ортонормированного базиса, мы можем получить второй поворотом первого на 90°. Для этого достаточно поменять две координаты вектора e1 местами, а у первой из них к тому же изменить знак. При n > 3 приемов, аналогичных описанным, нет.

Вопросы и задачи

Симметрические матрицы

  1. Опишите множество всех ортогональных матриц второго порядка.
  2. Пользуясь результатами задачи 7.1, докажите, что любой ортогональный оператор в евклидовом пространстве V2 является либо поворотом вектора на некоторый угол, либо симметрией относительно некоторой прямой, либо произведением таких операторов.
  3. Докажите, что произведение ортогональных операто-ров является ортогональным оператором. Можно ли утверждать, что: а) сумма ортогональных операторов есть ортогональный оператор? б) произведение ортогонального оператора на число есть ортогональный оператор?
  4. Докажите, что линейный оператор А в евклидовом пространстве тогда и только тогда является ортогональным, когда А*А = I.
  5. Докажите, что если Н — инвариантное подпростран-ство для ортогонального оператора А, то и H ⊥ — тоже инвариантное подпространство этого оператора.
  6. Докажите, что собственными значениями ортогонального оператора могут быть лишь числа 1 и -1.
  7. Приведите пример ортогонального оператора, не имеющего собственных векторов. Какой может быть размерность евклидова пространства, в котором есть такие операторы?
  8. Докажите, что любой ортогональный оператор в пространстве V3 имеет собственный вектор. Используя результаты задач 7.2 и 7.5, опишите множество ортогональных операторов в V3.
  9. Докажите, что любому перемещению твердого тела вокруг неподвижной точки из одного положения в другое соответствует ортогональный оператор в пространстве V3 и что эти положения связаны между собой вращением тела вокруг неподвижной оси. Эта ось проходит через неподвижную точку и параллельна собственному вектору указанного ортогонального оператора.
  10. Приведите пример оператора, одновременно являющегося и самосопряженным, и ортогональным.
  11. Приведите к диагональному виду ортогональным преобразованием следующие симметрические матрицы:
  1. Developing.ru

    Преобразование матрицы к блочно-диагональному виду

    Алгоритмы: от сортировки пузырьком до численных методов
    3 сообщения • Страница 1 из 1

    Naeel Maqsudov Сообщения: 2551 Зарегистрирован: 20 фев 2004, 19:17 Откуда: Moscow, Russia Контактная информация:

    Нужен алгоритм преобразования разреженной (относительно много нулей) матрицы к блочно-диагональному виду, чтобы все ненулевые элементы «прилипли» к главной диагонали, а нули вытеснились соответственно в 2 угла.
    Преобразование должно выполняться перестрановками строк и столбцов, и линейными преобразованиями строк. (Т.е. можно умножить строку на коэффициент и сложить с другой строкой)
    Наверняка есть уже готовый велосипед!

    somewhere Сообщения: 1837 Зарегистрирован: 31 авг 2006, 17:14 Откуда: 71 RUS Контактная информация:
    Могу помочь с алгоритмом приведения к треугольному виду, собственно манипуляции те же самые
    It’s a long way to the top if you wanna rock’n’roll
    МарияБорисовна Сообщения: 1 Зарегистрирован: 19 сен 2013, 23:35

    Naeel Maqsudov писал(а): Нужен алгоритм преобразования разреженной (относительно много нулей) матрицы к блочно-диагональному виду, чтобы все ненулевые элементы «прилипли» к главной диагонали, а нули вытеснились соответственно в 2 угла.
    Преобразование должно выполняться перестрановками строк и столбцов, и линейными преобразованиями строк. (Т.е. можно умножить строку на коэффициент и сложить с другой строкой)
    Наверняка есть уже готовый велосипед!

    1) Начнем с первой строки искать первый ненулевой элемент и обозначим эту сточку (1). После того, как нашелся первый ненулевой элемент, столбец, в котором он находится тоже обозначим (1) и уже в нем ищем ненулевые элементы.
    Если такой есть, то строчку в которой он находится(этот ненулевой элемент) так же обозначаем (1). Затем дальше просматриваем исходную строчку и повторяем такие действия до ее конца.

    2) Затем смотрим, есть ли у нас строчки, которые мы еще не рассмотрели. Если такие есть, то наивысшую из них обозначаем за (2) и повторяем алгоритм, описанный выше.
    Все это следует повторять, пока не будут просмотрены все строки и столбцы.
    3) Итак, все строки обозначены. Теперь переставляем строки так, чтобы их обозначения были в порядке возрастания. То есть, сначала идут строчки под номером (1), потом под номером (2) и т.д.
    4) Переставляем столбцы по тому же принципу.
    Получаем матрицу а исходную, приведенную к блочно-диагональному виду.

    Как привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду (метод Гаусса)?

    Данная статья является первой частью серии статей под названием «Решение матриц». Каждая часть сопровождается теорией, примерами и подробным описанием.

    Если Вам нужно привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду, воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором.

    Введение

    Эту задачу приходится решать очень часто, так как она используется во многих операциях над матрицами (решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), вычисление определителя матрицы).

    Что бы привести матрицу к треугольному виду, нужно воспользоваться методом Гаусса, который является простым в использовании и позволяет быстро прийти к конечному результату. Метод заключается в том чтобы исходную матрицу, путём элементарных преобразований привести к треугольному (ступенчатому) виду.

    Описание алгоритма

    Для приведения матрицы к треугольному виду, необходимо обнулить все элементы стоящие ниже главной диагонали.

    Пусть дана матрица

    Первым действием обнуляем первые элементы 2,3. n строки, для этого вычтем из этих строк первую строку умноженную на соответственно,

    Теперь вычтем из 3,4. n строки вторую строку умноженную на , этим действием обнуляем вторые элементы этих строк, соответственно, получаем

    где bij элементы получившиеся в результате этих преобразований. И так далее, пока не получим вид ,

    где bij это элементы получившиеся в результате элементарных преобразований, это и есть матрица треугольного вида.

    Пример приведения матрицы к треугольному виду

    Заключение

    Если Вам не понятен какой-либо шаг или у Вас есть вопросы по приведению матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, вы всегда можете оставить свой комментарий ниже или решить её воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.

    Свои вопросы по данной статье, Вы всегда можете задать в комментариях.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *