Как построить снежинку коха поэтапно 6 класс
Перейти к содержимому

Как построить снежинку коха поэтапно 6 класс

  • автор:

Как построить снежинку коха поэтапно 6 класс

Снежинка, которую вы видите на рисунке, образована одной из самых известных фрактальных кривых и носит имя шведского математика Нильса Фабиана Хельге фон Кох.

«О Снежинке Коха» Мартин Гарднер в книге «А ну-ка, догадайся!» пишет как о «патологической кривой» из-за ее необычных, противоречащих здравому смыслу свойств.

Как и «Снежинка Мандельброта», «Снежинка Коха» имеет бесконечную длину, но ограничивает конечную площадь. Даже у очень маленькой снежинки, умещающейся на почтовой марке, площадь ограниченного ею многоугольника будет бесконечной!

Рисунки на этой странице выполнены Черепашкой из MicroWorlds Pro по несложным программам, которые мы писали год назад. (Рисунки затем были обработаны в редакторе PhotoShop). Можно построить «Снежинку Коха» и вручную, по следующей схеме:

  • Начинаем построение с равностороннего треугольника, длину стороны которого примем за единицу.
  • В средней трети каждой из сторон строим по равностороннему треугольнику с длиной сторон, равной 1/3, и стираем основание.
  • Повторяем шаг 2 несколько раз, пока хватает терпения, ловкости и аккуратности — длина стороны треугольника на каждом шаге быстро убывает.
  • В итоге мы получаем кривую, напоминающую по форме снежинку.

Глава 44. L-системы

Интересным применением черепашьей графики являются L-системы.

Определение и пример

Аксиома — это некоторая строка над алфавитом.

Приведём пример L-системы:

A → FBFA+HFA+FB-FA
B → FB+FA-FB-JFBFA
F → (последователь — пустая строка!)
H → —
J → +

В дальнейшем, описывая L-системы, мы не будем указывать алфавит, поскольку он всегда будет состоять из символов, упомянутых в аксиоме и в правилах.

Развитие

Как только L-система определена, она начинает развиваться в соответствии с её правилами. Начальным состоянием L-системы является её аксиома. При дальнейшем развитии эта строка, описывающая состояние, будет меняться. Развитие L-системы происходит циклически. В каждом цикле развития строка просматривается от начала к концу, символ за символом. Для каждого символа ищется правило, для которого этот символ служит предшественником. Если такого правила не нашлось, символ оставляется без изменений. Иными словами, для тех символов X , для которых нет явного правила, действует неявное: X → X . Если же соответствующее правило найдено, символ-предшественник заменяется на строку-последователь из этого правила.

Для иллюстрации рассмотрим следующую L-систему (она называется Algæ — водоросль, поскольку её развитие моделирует рост одного из видов водорослей):

A → B
B → AB

В таблице приведены состояния этой L-системы, соответствующие первым десяти циклам развития системы.

поколение состояние
0 A
1 B
2 AB
3 BAB
4 ABBAB
5 BABABBAB
6 ABBABBABABBAB
7 BABABBABABBABBABABBAB
8 ABBABBABABBABBABABBABABBABBABABBAB
9 BABABBABABBABBABABBABABBABBABABBABBABABBABABBABBABABBAB

L-системы и моделирование процессов роста

L-системы находят применение при моделировании процессов роста как живых организмов, так и неживых объектов (например, кристаллов, раковин моллюсков или пчелиных сот). Для моделирования требуется придать смысл символам алфавита L-системы.

Часто интерпретируют символы как программы на черепашьем языке, который знаком нам по главе 43. «Черепашья графика».

Например, если сопоставить в рассмотренной ранее L-системе Algæ символам A и B программы

ROTATE 60 FORWARD 1
ROTATE -60 FORWARD 1

соответственно, черепаха, интерпретируя строки состояния для последовательных поколений L-системы, нарисует такие картинки:

L-системы и фрактальные кривые

Снежинка Коха

Рассмотрим следующую последовательность ломаных:

Таблица 44.1. Поколения снежинки Коха

Здесь показаны начальная ломаная (правильный треугольник) и первые пять этапов преобразования ломаной. Внимательное их изучение позволяет выявить закономерность, согласно которой происходят эти преобразования: каждый отрезок заменяется на четырёхзвенную ломаную:

Если рисование единичного отрезка обозначить символом F , а повороты на 60 ° против и по часовой стрелке кодировать соответственно символами + и — , то начальная ломаная (треугольник) будет закодирована как F++F++F . Примем эту строку как аксиому L-системы. Единственным правилом в такой L-системе будет замена F → F-F++F-F .

Итак, мы пришли к L-системе

аксиома правило
F++F++F F → F-F++F-F

Чтобы оставлять размер ломаных постоянным и компенсировать их трёхкратный рост на каждом шаге, при рисовании ломаной g -го поколения символу F ставится в соответствие черепашья команда

FORWARD 3 g
Кривая Серпинского

Другой пример использования L-систем — построение кривой Серпинского:

Таблица 44.2. L-система для кривой Серпинского

A → B-A-B
B → A+B+A
A → FORWARD 1
B → FORWARD 1
+ → ROTATE 60
— → ROTATE — 60

Таблица 44.3. Поколения кривой Серпинского

Дракон Хартера — Хейтвея

Таблица 44.4. L-система для дракона Хартера — Хейтвея

X → X+YF
Y → FX-Y
F → FORWARD 1
+ → ROTATE 90
— → ROTATE — 90

Таблица 44.5. Поколения дракона Хартера — Хейтвея

Кривая Госпера
Таблица 44.6. L-система для кривой Госпера

F →
L → FL-FR—FR+FL++FLFL+FR-
R → +FL-FRFR—FR-FL++FL+FR
F → FORWARD 1
+ → ROTATE 60
— → ROTATE — 60

Таблица 44.7. Поколения кривой Госпера

Фракталы

Рисунок 44.1. Множество Мандельброта

Это изображение получено с помощью программы XaoS , которую мы очень рекомендуем установить (из пакета xaos , если у вас Linux ) и попробовать в работе. Есть и другая хорошая программа, Fractint , которая так же позволяет изучать и рассматривать фрактальные множества, в том числе построенные с помощью L-систем. Мы ещё вернёмся к этому изображению в главе 48. «Множество Мандельброта».

Фрактальные множества — сравнительно недавно открытые объекты. Черты фрактальных множеств несут в себе многие природные объекты: растения, облака, горные вершины, дельты рек (см. рисунок 44.2. «Дельта реки Лена» с сайта http://ru.wikipedia.org), галактики. Да и сама вселенная в некотором смысле фрактальна.

Полюбоваться на изображения фрактальных множеств можно на сайте lenta.ru или в этом блоге.

Рисунок 44.2. Дельта реки Лена

Дельта реки Лена

Фракталы возникают и в математических моделях физических процессов. На рисунке 44.3. «Стохастическая паутина» показана фазовая картина стандартного отображения Чирикова — модели маятника с периодически колеблющейся точкой подвеса. Координаты чёрных точек имеют смысл угла отклонения маятника и его угловой скорости, взятые через промежутки времени, равные периоду колебаний подвеса. Координаты x ′ y ′ следующей точки получаются из координат x y предыдущей по очень простому правилу: x ′ = x + y y ′ = y + sin ⁡ x При подходящем выборе начальной точки на плоскости последовательность точек, порождённая этим правилом, заполняет паутину с дырками (островами устойчивости). Каждый остров окружён несколькими островами поменьше, те в свою очередь тоже окружены островами, и так до бесконечности (конечно, самые мелкие острова, чей размер сравним с размером точек, мы не сможем увидеть на рисунке).

Рисунок 44.3. Стохастическая паутина

Стохастическая паутина

Эта особенность фрактальных множеств вызывает странное чувство после долгого разглядывания фрактальных картинок: при всей причудливости фрактальных форм они начинают казаться удивительно однообразными и тоскливыми.

Несмотря на видимую сложность фрактальных множеств, способы их построения обычно очень просты. Судить об этом можно хотя бы по фрактальным множествам, построенным с помощью L-систем: достаточно начального состояния и набора правил, описывающих эволюцию L-системы, чтобы построить последовательность множеств, приближающихся к фрактальному с любой степенью точности. Всё обилие информации, описывающей фрактальное множество, можно вывести из сравнительно небольшого объёма информации, заключённой в аксиоме и правилах. Это наблюдение позволяет применять фракталы для очень эффективного сжатия изображений (имеется в виду не геометрическое сжатие, а существенное сокращение объёма информации, требуемой для описания изображения без заметной потери качества). Изображение разбивается на квадраты, и для каждого из них подбирается набор начальных условий и правил для построения фрактала, наиболее похожего на изображение в фрагменте. Объём информации, заключённой в таком описании фрактала, обычно намного меньше, чем в точечном описании картинки в фрагменте.

Скобочные L-системы и деревья

Наблюдения за высшими растениями приводят нас к выводу, что тело растения представляет собой ствол с отростками (это могут быть ветви дерева, листья, цветки). На отростках в свою очередь возможны другие отростки.

Применим это наблюдение для компьютерного моделирования дерева, для чего попытаемся выделить главное свойство всех деревьев, независимо от породы. А свойство это заключается в следующем: дерево представляет собой или голый ствол, или ствол с растущими из него несколькими ветками. Каждая ветка устроена согласно тому же самому принципу: она является деревом.

Такое свойство дерева можно было бы взять в качестве основы для модели, однако оно допускает деревья с бесконечным количеством веток (чего в природе не встречается). Глубина дерева (то есть максимальная длина последовательности «ствол, первичная ветка, вторичная ветка, третичная ветка, …, самая последняя ветка») должна быть конечной.

Поэтому определим дерево глубины n (дерево n -ого порядка). Деревом n -ого порядка будем называть ствол с растущими на нём ветками, которые является деревьями n − 1 -го порядка. Чтобы такое определение не привело к деревьям с отрицательной глубиной, скажем, что дерево нулевого порядка — это голый ствол.

Дерево неудобно рисовать одним росчерком карандаша. Оно является не ломаной, а, скорее, набором отрезков. Черепаха позволяет рисовать наборы отрезков, не связанные в ломаную, и для такого рисования имеется два средства. Во-первых, это возможность поднимать и опускать карандаш и сдвигаться вперёд с поднятым карандашом. Во-вторых, это возможность запоминать и восстанавливать состояние. Мы попробуем второй способ.

Дерево в нулевом поколении представляет собой единственную почку. В следующем, первом поколении из почки вырастает нижняя половинка побега, затем почка для будущей ветки, наклонённой влево на 20 ° , затем верхняя половинка побега с двумя почками, наклонёнными влево и вправо на те же 20 ° . В следующих поколениях старые половинки побега удлиняются в два раза, а с почками происходят те же самые метаморфозы, что и при переходе от нулевого к первому поколению. На следующей иллюстрации изображены три первых поколения дерева:

Здесь почки показаны как короткие красные отрезки только для пояснения, в итоговом изображении они не появятся. Чтобы компенсировать рост размеров изображения, длины отрезков на каждом шаге сокращаются вдвое.

Если переложить всё сказанное на язык L-систем, получим следующее описание:

F → FF
X → F[+X]F[-X]+X
F → FORWARD 1
+ → ROTATE 20
— → ROTATE — 20
[ → SAVE
] → RESTORE

Здесь требуется пояснение. Символы X и F обозначают соответственно почку и половинку побега. Хотя почки невидимы (для символа X отсутствует интерпретация), они отмечают место для будущих побегов. Предшествующие им символы + и — показывают, что всё, что из них вырастет, будет повёрнуто. Фразы [+X] и [-X] в правиле X → F[+X]F[-X]+X означают, что после рисования побега, выросшего на месте почки, состояние черепахи будет восстановлено. Правило F → FF отвечает за удвоение длины побега.

Приводим изображения первых восьми поколений дерева, полученные такой L-системой:

Получившееся дерево изящно, но оно слишком правильное, и, следовательно, неправдоподобное. Кроме того, в этом дереве не отражена важная черта реальных деревьев: ствол толще ветвей, растущих из него, и темнее этих ветвей.

Теперь разберём пример построения более реалистичного дерева с помощью L-системы. Отрезки, образующие дерево, разделим на два типа. Отрезок типа X — это ветвь, на которой в следующем поколении вырастут две ветви потоньше, покороче и светлее, и, кроме того, наклонённые вправо и влево на случайный угол, равномерно распределённый в пределах от 0 ° до 45 ° . Отрезок типа F — это ветвь, от которой уже ответвились две ветви. Ветви типа X назовём терминальными (конечными), а ветви типа F — нетерминальными. Дерево в нулевом поколении представляет собой одну терминальную ветвь.

Для построения нужной L-системы нам понадобятся символы X и F (для ветвей обоих типов), + и — (для поворота черепахи соответственно влево и вправо на случайный угол), @ (для осветления текущего цвета рисования, уменьшения толщины и длины штрихов), и, конечно, скобки [ и ] (для запоминания и последующего восстановления запомненных состояний черепахи — её положения и направления, а также цвета, толщины и длины штриха).

Теперь займёмся правилом L-системы. В каждом цикле развития дерева каждая терминальная ветвь превращается в нетерминальную, от которой что-то ответвилось: X → F[…] . Эту ответвившуюся растительность мы заключаем в скобки, в которые первым делом помещает символ @ , ответственный за осветление, утоньшение и укорачивание ветвей. Затем рисуем правую ветвь: [-X] . Скобки здесь нужны для того, чтобы запомнить положение и направление черепахи; ведь предстоит поворот на случайный угол. Рисуем левую ветвь: +X .

Итак, мы приходим к следующему описанию L-системы:

F → FORWARD 1
X → FORWARD 1
+ → ROTATE RANDOM 45
— → ROTATE -RANDOM 45
[ → SAVE
] → RESTORE
@ → …

Несколько последующих циклов развития дерева приведены на рисунке:

Снежинка Коха

Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Первые этапы построения кривой Коха

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n –1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний — формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a. Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n-м шаге будет достроено Tn = 3 · 4 n –1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n . Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен Tn · Sn = 3/4 · (4/9) n · S0. Поэтому после n-го шага площадь фигуры будет равна сумме S0 + T1 · S1 + T2 · S2 + . +Tn · Sn = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна .

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log34 ≈ 1,261859. . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N(δ) ~ (1/δ) D , где N — число пересекающихся квадратиков, δ — их размер, а D — размерность, получаем, что D = log1/δN. Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на верхнем рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log912 ≈ 1,130929. . Пока не очень похоже на 1,261859. . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log1830 ≈ 1,176733. . Уже лучше. Внизу квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log7230 ≈ 1,193426. . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log34, а в пределе и вовсе совпадет.

Варианты

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.

Трехмерные аналоги. Пирамида Коха.

Фракталы и их применения

Нажмите, чтобы узнать подробности

Фракталы — относительно новый расздел геометрии. Но одновременно понятие фракталы применяют и в физике и в химии,.точнее, в химии гетерогенных сред и не только.

Данный мастериал можно считать презентацией или кратким рефератом этого направления

Просмотр содержимого документа
«Фракталы и их применения»

Определение фрактала, дано Мандельбротом: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, кот в каком-то смысле подобны целому».

Применение фракталов

— Генерация изобр природ объектов: Фрактальное дерево Фракталы примен для получ изобр деревьев, кустов, берег линий при построении ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски.

— Механика жидкостей Фракталами хор опис след процессы, отн к механ жидк и газов: динамика и турбулентн сложных потоков; моделир пламени; изуч пористых м-лов, в т ч в нефтехи.

— Биология Моделир популяций; биосенсорн взаимод; процессы внутри орг-ма, напр, биение сердца.

-Фрактальные антенны к приёмнику. Оказ, что такая антенна раб не хуже обыч. И хотя физ принципы работы такой антенны не изуч до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск

При моделировании пористых материалов (в нефтехимии) также используют фракталы

Классификация фракталов

В осн фракталы делят на: геометрические, алгебраические, стохастические. но есть и другие классиф: Рукотворные и природные. К рукотворным относят те фракталы, кот придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными св-вами. На природные фракталы накл огранич на обласати существ — т е макс и мин размер, при кот у объекта наблюдают фрактальные свойства

Построение простейших фракталов.

Геометрические фракталы: Фракталы этого класса самые наглядн. В двухмерн сл их получ с пом нек ломаной (или поверхности в трехмерн сл), наз генератором. За 1 шаг алг каждый из отрезков, соста ломаную, заменя на ломаную-генератор, в соотв масштабом В рез беск повтор этой проц, получ геометрич фрактал

Кривая Коха — фрактальная кривая, непрерывна.

Три копии кривой Коха, постр (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, обр замкн кривую, наз снежинкой Коха. Кривая Коха задается такой системой итерационных функций

Снежинка рис рекурсив обр. Снач она выглядит как треуг. Затем на сторонах этого треуг рисуют треуг выступы. Получа 6конеч звезда. На сторонах этой звезды снова рис треуг выступы (см. синюю фигуру). Процесс наращив треуг выступов м продолж до беск и получ в пределе вп корректно опред множество точек на плти.В матем, в отл от прогр, доп такие беск рекурсивные определения.

Рис.1. Построение триадной кривой Коха.

На каждом шаге у нас получ нек обычная фигура (не фрактал), а в пределе (после беск числа шагов) получ фрактал. Если полож, что длина стороны исх треуг=1, то длина стороны 6уг звезды=1/3. Длина стороны след фигуры ещё в 3 раза меньше, т е1/9. М запис общую ф=лу: . Зам, что число сторон mn растёт от ном шага как , то есть . Периметр Pn фигуры, получ на шаге n, есть произв числа сторон на длину: . Таким обр, Площадь под кривой, если принять площадь первого образующ треуг за 1:

Задача. Пусть две вершины нач правильн треугольника лежат в точках (0;0) и (1;0). Какие ещё есть точки с рац координатами, принадлежащие снежинке Коха?

Множество Кантора

Классич мн-во Кантора или пыль Кантора, Это мн-во изв как прим мн-ва 0-меры Лебега, чья мощн=мощн континуума c.Постр классич пыли Кантора нач с выбрас средней трети (не вкл концы) ед отрезка. Т е исх мн-во есть отр [0,1], и 1 шаг состоит в удал откр инт=ла (1/3, 2/3). На след и всех ост шагах выкид сред треть (не вкл концы) всех отрезков тек уровня. Таким обр, получ посл-ть мн=в рис 1

.Рис.1

C0 = [0, 1] C1 = [0, 1/3] È [2/3, 1] C2 = [0, 1/9] È [2/9, 1/3] È [8/9, 1]

Предельное мн-во C, кот предст собой пересеч мн-в Cn, n = 0, 1, 2, …, наз классич мн-вом Кантора или пылью Кантора Выч фракталь размер этого мн-ва. Восп ф-лой (1). Оч, что на n-м шаге постр 2 n отрезк длины 1/3 n кажд. Поэтому в кач N(e ) на этом шаге м взять вел 2 n , а в кач e — вел 1/3 n . Предел e à 0 соотв пределу n à ¥ . Поэтому фрактальная размерн равна

Она оказ меньше Евклид размерн пр-ва, в кот распол это мн=во (т.е. его длина =0), но отлична от нуля, т.е. больше топологич размерн элементов (точек) этого множества.

Сущ функциональный аналог мн-ва Кантора — функция кантора. Распр равном на C ед массу (меру) с плотн m . Тогда функцопис распред меры на канторов носит. Она явл непрер возр функц, кот тем не м почти всюду имеет 0- произв (т.е. гориз). Её наз “чёртовой лестниц” (рис.2).

Салфетка Серпинского 1 фрактал созд чел мозаика на полу англ церкви 1104 г

Исх мн-вом, соотв 0- шагу, явл равностор треуг (рис. 63). Затем он разбив

на 4 обл путем соед сер сторон исх треуг отр прямых. Затем удал внутр центр обл исх треуг – малый

внутр «переверн треуг». Затем, на след шаге итерации, этот процесс повт для каждого из 3 оставш треуг. Продол опис проц до беск, обра мн-во, наз салфеткой Серпинского.

Оч, фрактальная размерн салфетки Серпинского:

Первые шаги алг постр салфетки Серпинского

Этот фрактал интер тем, что занима им площадь=0. Для обосн этого подсч сумм площ частей, искл при постр. На 1 шаге выбрас 4я часть площади исх треуг, на 2м шаге у каждого из 3 треуг удал 4я часть площади и т.д. Таким обр, полная удаленная площадь вычисляется как сумма ряда:

ковер Серпинского

Самоподобная кр Гилберта проходит всюдц плотно заполняет обл квадрата

Для постр кривой Леви на 0- шаге н взять отр АВ произв длины. 1й шаг вкл постр равнобедр прямоуг треуг с отр АВ в кач гипотенузы. При этом сама гипотенуза в дальн постр не участв и искл из кривой. Таким обр, 1е покол кривой предст ломан АСВ. На 2 шаге с каждым из отр АС и СВ продел ту же оп, что и с отр АВ на 1 шаг. Послед покол кривой строятся по такому же алг. В рез, получ кривую рис.2

фрактал «Пифагорово дерево».

состоит из подоб эл, кот представляют квадрат, на одной стороне кот нарис прямоуг треуг. На каждом катете треуг стр тот же эл фрактала и таким обр получ дерево Если задать глубину рекурсии 5, то Черепашка нарисует вот такое пифаг дерево. Здесь в каждом направл 5 исходных элементов.

Если взять треугольник не равнобедренный, а например, с углами 30 0 и 60 0 , то стороны находим как р*Cos 30 и p*Cos 60. Пифагорово дерево примет вид:

Губка Менгера

Размерность фракталов

С математической т зрения фракталы – множества с дробной рзмерностью

Фрактальная размерность D (метрическая мера введена Хаусдорфом) показыв, наск плотно и равном эл данного мн=ва заполняют евкл пр=во

Гетерогенная химия –химия на границе раздела фаз.

Химическася реакция определяется не только химическим и физическим составом но и геометрией

Наиб наглядный метод определения D основан нас прямом вычислении производящей функции. определение длины фрактальной линии -ее покрывают набором квадратов со стороной

и при разных считают число Затем строят зависимость и по углу наклона находят фрактальную размерность

N — кол уменьшенных в r раз копий, необходимых для заполнения исходного объекта (или будем измерять объект уменьшенной линейкой

или для Евклид объектов, выр целым (1,2,3), что совп с топологич размерн

Фрактальная размерность не зависит от масштаба рассмотрения

Другой геометрический метод –из соотношений между свойствами множеств разной геометрической размерности. Наспример если для фигуры ограниченной фрактальной границей измерить площадь и длину где R характерный размер то из следует

откуда фрактальная размерность границы D =танг угла наклона лог кв периметра от лог ограниченной площади. При этом длину периметра измеряют либо непосредственно (курвиметром) либо так же как в задаче о фрактальной линии

Недостаток –эмпирический подбор Более надежны методы прямого экспериментального определения По большому количеству одинаковых фрактальных класатеров нас фотоплаастинке

Пропуская световой поток толщины r и измеряя интенсивность I прошедшего света м исп ф-лу

1)Шмидт Ф.К. Фракталы в физической химии гетерогенных систем

2) В. К. Балханов Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления,

инст Физического мастериаловедения Сиб РАН, Улан-УДЭ, 2013

3) ФРАКТАЛЫ И ИХ ПРИКЛАДНОЙ АСПЕКТ КГТУ, 2006

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *