Что такое полное метрическое пространство
Перейти к содержимому

Что такое полное метрическое пространство

  • автор:

Полное метрическое пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) d\colon M\times M\to \mathbb<R>» width=»» height=»» /> (где <img decoding=(аксиома тождества).

  • d(x,y) = d(y,x) (аксиома симметрии).
  • d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)(аксиома треугольника или неравенство треугольника).
  • d(x,y)\geqslant 0

    Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x ) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .

    Обозначения

    Обычно расстояние между точками x и y в метрическом пространстве M обозначается

    Примеры

    • Дискретная метрика: d(x,y) = 0 , если x = y , и d(x,y) = 1 во всех остальных случаях.
    • Вещественные числа с функцией расстояния d(x,y) = | yx | и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
    • Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d(x,y)=\|y-x\|, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского [1] (не надо путать с другим пространством Минковского).
    • Так называемая Французская железнодорожная метрика является примером, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порожденной нормой.
    • Любое связное риманово многообразиеM можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
    • Множество вершин любого связного графаG можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.
    • Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

    D(x,y)=\inf\<r\mid\quad \forall x\in X~\exist y\in Y: d(x,y)&lt;r,\quad\forall y\in Y~\exists x\in X: d(x,y)&lt;r \>» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 2pocketpc -->
<script src=

    • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

    Связанные определения

    • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
    • Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x,y) .
    • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:

    B(x;r)=\<y\in M\mid d(x,y)&lt;r\>» width=»» height=»» />, где <i>x</i> есть точка в <i>M</i> и <i>r</i> — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество <i>O</i> является открытым, если для любой точки <img decoding=найдётся положительное число r , такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O .

    • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
    • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
    • Расстояниеd(x,S) от точкиxдо подмножестваS в M определяется по формуле:

    d(x,S)=\inf\<d(x,s)\mid s\in S\>» width=»» height=»» /> Тогда <i>d</i>(<i>x</i>,<i>S</i>) = 0 , только если <i>x</i> принадлежит замыканию<i>S</i> .</p><div class='code-block code-block-3' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 3pocketpc -->
<script src=

    Свойства

    • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
    • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
      • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
      • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

      Вариации и обобщения

      Для данного множества ~M, функция d\colon M\times M\to \mathbb<R>» width=»» height=»» /> называется <b>псевдометрикой</b> или <b>полуметрикой</b> на <img decoding=если для любых точек ~x,y,zиз ~Mона удовлетворяет следующим условиям:

      1. ~d(x,x)=0;
      2. ~d(x,y)=d(y,x)(симметрия);
      3. d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)(неравенство треугольника).

      То есть, в отличие от метрики, различные точки в ~Mмогут находится на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве M/\!\simгде x\sim y \Leftrightarrow d(x,\,y)=0.

      Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

      Для всех ~x, ~yи ~zв ~Md(x,z)\leqslant\max(d(x,y),d(y,z)).

      Иногда рассматривают метрики со значениями [0;\infty], соответствующие пространства называются \infty-метрическими пространствами. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику dили ~d. Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

      История

      Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства [2] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

      Примечания

      1. К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Определение 11.2
      2. M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74,

      Полное пространство

      Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

      В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

      Пополнение

      Всякое метрическое пространство X=(X,\rho)можно вложить в полное пространство Yтаким образом, что метрика Yпродолжает метрику X, а подпространство Xвсюду плотно в Y. Такое пространство Yназывается пополнением Xи обычно обозначается \bar X.

      Построение

      Для метрического пространства X=(X,\rho), на множестве фундаментальных последовательностей в Xможно ввести отношение эквивалентности

      (x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_<n></p>
<p>, y_n)=0.» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-8' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 8pocketpc -->
<script src=

    \bar X

    Множество классов эквивалентности с метрикой, определённой

    \bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_<n></p>
<p>, y_n),» width=»» height=»» /></p>
<p>является метрическим пространством. Само пространство <img decoding=изометрически вкладывается в него следующим образом: точке x\in Xсоответствует класс постоянной последовательности x_n=x. Получившееся пространство (\bar X,\bar \rho)и будет пополнением X.

    Свойства

    M

    Примеры

    Полные пространства

    1. В частности, полным является банахово пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой.

    Неполные пространства

    Вариации и обобщения

    X

    Литература

    Полное метрическое пространство метрическое пространство в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к

    Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства).

    В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

    Пополнение Править

    Всякое метрическое пространство можно вложить в полное пространство таким образом, что метрика продолжает метрику , а подпространство всюду плотно в . Такое пространство называется пополнением и обычно обозначается .

    Построение Править

    Для метрического пространства , на множестве фундаментальных последовательностей в можно ввести отношение эквивалентности

    Множество классов эквивалентности с метрикой, определённой

    является метрическим пространством. Само пространство изометрически вкладывается в него следующим образом: точке соответствует класс постоянной последовательности . Получившееся пространство и будет пополнением .

    Свойства Править

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *