Укажите номер функции которая является монотонно убывающей
Перейти к содержимому

Укажите номер функции которая является монотонно убывающей

  • автор:

Укажите номер функции которая является монотонно убывающей

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

§ 204. Возрастание и убывание функций

Функция f (х) называется монотонно возрастающей (или просто возрастающей) в интервале а х b, если из условия x2 > x1 , вытекает, что

f (х2) > f (х1)

а х2 b, а х1 b.

Другими словами, функция называется монотонно возрастающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему соответствует большее значение функции.

Например, функция у = sin x ( рис. 268)

является возрастающей в интервалах

Функция у = 2 x ( рис. 267)

является возрастающей на всей числовой прямой.

Функция у = ( 1 /2 ) x нигде не возрастает (рис. 272).

Если функция у = f (х) монотонно возрастает в интервале а х b, то график ее в этом интервале с ростом х поднимается все выше и выше. Это, конечно, не означает, что график «уходит» вверх как угодно высоко. Например, график функции у = — 1 /x при положительных значениях х (см. рис. 273) поднимается с ростом аргумента все выше и выше. Тем не менее он никогда не перейдет и даже не дойдет до оси абсцисс.

Функция у = f (х) называется монотонно убывающей (или просто убывающей) в интервале а х b, если из условия x2 > x1 вытекает, что

а х2 b, а х1 b.

Другими словами, функция называется монотонно убывающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему соответствует меньшее значение функции.

Например функция у = sin x монотонно убывает в интервалах

π /2 х 3 /2 π , 5 /2 π х 7 /2 π, 9 /2 π х 11 /2 π

Функция у = ( 1 /2 ) x убывает на всей числовой прямой. Функция у = 2 x нигде не убывает.

Если функция f (х) монотонно убывает в интервале а х b, то график ее в этом интервале с ростом х опускается все ниже и ниже. Это также не означает, что график «уходит» как угодно далеко вниз. Учащимся предлагается самостоятельно построить соответствующий рисунок.

Функции, которые в интервале а х b только возрастают или только убывают, называются монотонными в этом интервале.

До сих пор мы говорили об интервале а х b. Такой интервал включает в себя крайние точки х = а и х = b и потому называется замкнутым интервалом. Но в некоторых случаях говорить о замкнутом интервале нехорошо. Неудобно, например, говорить о проведении функции у = tg x в интервале — π /2 х π /2 . Ведь при х = — π /2 и х = π /2 эта функция вообще не определена. Поэтому вместо интервала — π /2 х π /2 лучше говорить об интервале — π /2 < х < π /2 . Такой интервал не содержит крайних точек х = — π /2 и х = π /2 и поэтому называется открытым интервалом.

В дальнейшем нам придется говорить как об открытых, так и о замкнутых интервалах. Однако в каждом из этих случаев будет ясно, о каком интервале идет речь, и потому мы будем говорить просто об интервалах.

Отметим лишь, что замкнутый интервал а х b обычно записывается в виде [а, b], а открытый интервал а < х < b — в виде (а, b).

Упражнения

Определить участки возрастания и участки убывания данных функций; построить графики этих функций (№ 1570—1585):

1586. Определить участки возрастания и участки убывания функций:

а) у = 2 3 — 6 x ; б) у = ( 1 /2 ) 2 x — 5 .

1587. Доказать, что сумма двух функций, монотонно возрастающих в некотором интервале, есть функция, монотонно возрастающая в этом интервале.

1588. Будет ли разность двух монотонно возрастающих функций монотонно возрастающей функцией?

Даны функции. Укажите, какие из монотонно возрастающие, а какие монотонно убывающие:

Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция f, приращение которой при 0>0> не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное [1]. Если в дополнение приращение \Delta f не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Функция называется возраста́ющей, если большему значению аргумента соответствует не меньшее (по другой терминологии — большее) значение функции. Функция называется убыва́ющей, если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.

Свойства функций в задачах с параметрами

В восточных боевых искусствах спортсмены разбивают доски руками. А вот плотники для разрезания досок используют пилу, то есть вспомогательный инструмент. Так стоит ли нам справлять с параметрами голыми руками? Или проще взять специальный инструмент? Такая же дилемма может встать и в решении задач с параметром.

Монотонность функции

В математике пилу, разумеется, не используют. Зато мы можем использовать свойства функции, которые и будут нашей опорой при решении задач с параметром. Давайте попробуем собрать свой “ящик с инструментами”.

Возможно, до детального знакомства с темой, вам захочется вспомнить «Определение и график функции».

Многим из нас знакома монотонная и скучная работа. Например, удалять с телефона ненужные фотографии или стирать пометки из учебника, прежде чем вернуть его в школьную библиотеку. Приходится повторять одно и то же действие на протяжении всего цикла работы — это утомительно и однообразно.

Монотонная функция так же, как и работа, не меняет своих свойств на всем промежутке.

Монотонная функция — функция, строго возрастающая или строго убывающая на промежутке.

Разберемся со “строгостью” функций.

Строго возрастающая функция на промежутке — функция, большему значению аргумента которой из промежутка соответствует большее значение функции.

Иными словами: чем больше х, тем больше у.

Строго убывающая функция на промежутке — функция, большему значению аргумента которой соответствует меньшее значение функции.

Или чем больше х, тем меньше у.

Идеальная картина: чем больше мы работаем, тем лучше наш результат. С каждым днем мы все растем, становимся лучше и избегаем ошибок. То есть наш прогресс — это монотонная функция.

Что еще можно сказать про возрастание функции? Вспомним «Производную», а именно — ее знаки на промежутках возрастания и убывания функции:

  • если производная положительна на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке;
  • если производная отрицательна на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

Свойства монотонной функции

Монотонные функции обладают своими свойствами, которые могут пригодиться при решении задач.

Свойство 1. Монотонная функция принимает свое значение единственный раз.

Это можно проследить по графику: для каждого значения у будет единственное значение х.

Свойство 2. Если две функции f(x) и h(x) возрастают на промежутке, то функция y = f(x) + h(x) также будет возрастать.

Это же свойство будет работать и с убыванием функции.

Если две функции f(x) и h(x) убывают на промежутке, то функция

y = f(x) + h(x) также будет убывать.

Свойство 3. Если функции f(x) и h(x) возрастают на промежутке, то функция y = f(x) * h(x) тоже будет возрастать при

f(x)\geq0
h(x)\geq0

Аналогично и с убыванием.

Пример 1. При каких значениях параметра а любое решение уравнения 4x 7 + 2x + a = 0 принадлежит отрезку [−1;1].

Решение.

Шаг 1. Какой является эта функция: возрастающей или убывающей? Проверим это с помощью производной.

(4x^7)`+(2x)`+a`=28x^6+2

Заметим, что поскольку х стоит в четной степени, то какое бы число мы ни подставили в производную, оно будет положительно. Значит, эта функция строго возрастает.

Шаг 2. Как определить, что решение уравнения будет лежать в заданном отрезке? Решением уравнения будет пересечение функции и оси х. То есть точка этого пересечения должна лежать между −1 и 1 включительно.

На графике это будет выглядеть так:

А вот такие случаи нам уже не подходят, поскольку решение уравнения будет лежать за пределами заданного промежутка.

Шаг 3. При x = — 1 функция отрицательна, а при x = 1 функция будет положительна при любом положении в заданном промежутке. Следовательно, мы можем задать ее положение на графике с помощью значения функции при x = — 1 и x = 1.

Шаг 4. Получаем два условия, которые должны выполниться одновременно, то есть систему.

Шаг 5. Решаем первое неравенство системы:

4*(-1)+2*(-1)+a\leq0
a\leq6

Решаем второе неравенство системы:

4*1+2*1+a\geq0
a\geq-6

Следовательно, условия будут выполняться при

a\in[-6;6]

Ответ:

a\in[-6;6]

Итак, в наш ящик с инструментами отправляется монотонность функции, ее возрастание и убывание.

Четность функции

Четной функцией называется такая функция, график которой симметричен относительно оси Оу.

Для такой функции будет выполняться условие f(x) = f( — x).

Четность функции — это точно не универсальный инструмент, как, например, молоток. Скорее это редкий ключ, который будет большую часть времени просто лежать в ящике, но пригодится в самый ответственный момент.

Четность можно применить, когда в функции стоят модули, четные степени, четные корни и другие условия, с которыми минус “не дружит”.

Шаг 1. Перенести все слагаемые в одну сторону и ввести f(x).

Шаг 2. Проверить функцию на четность. Для этого нужно удостовериться, что условие f(x) = f( — x) выполняется.
Четная функция имеет четное количество корней, кроме случая
х = 0, когда корень всего один.

Шаг 3. Подставить х = 0.

Почему функция имеет четное количество корней, кроме случая х = 0? Возьмем зеркало и попробуем подвигать карандаш относительно него. При этом само зеркало будет осью у.

На какое бы расстояние мы не отодвинули карандаш, в зеркале всегда будет его отражение. Следовательно, мы получим два карандаша.

Но если мы приложим карандаш к самому зеркалу, то два карандаша объединятся в один. Условно мы можем сказать, что получили один карандаш.

Такая же логика и с корнями четной функции: пока они не будут лежать на зеркале, то есть на оси у, их всегда будет два.

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

\sqrt=a^2-a-14-cos5x

имеет единственное решение.

Решение.

Шаг 1. Введем две функции:

f(x)=\sqrt

g(x)=a2-a-14-cos5x

Будем действовать согласно алгоритму. Первый шаг мы уже сделали. Теперь убедимся, что полученные функции четные.

f(-x)=\sqrt=\sqrt

g(-x)=a^2-a-14-cos5(-x)=a^2-a-14-cos5x

Шаг 2. Поскольку функции четные, то при решении уравнения х будет появляться второе решение ( — x). Вспоминаем зеркало: уравнение будет иметь единственное решение только при x = 0.

Шаг 3. Подставим x = 0 в наше уравнение.

\sqrt =a^2-a-14-cos5*0
\sqrt=a^2-a-14-1
|a|=a^2-a-15

Подробнее про такое преобразование можно прочесть в статье «Модуль».

a^2-a-|a|-15=0

Шаг 4. Раскроем модуль двумя способами.

какая из функций является возрастающей (убывающей)?

а) y=5x-8
б) y=-3x+7
в) y=6:x
г) y=-10:x
и обьясните решение! пожалуйста! очень надо! ппц просто как.

Дополнен 13 лет назад
Илья Шебалин спасибо =) лучки плиз глянь, я написал для уточнения 😉
Дополнен 13 лет назад
жэээсть xD
Дополнен 13 лет назад
Илья Шебалин пасиба!
Лучший ответ

ищем производные, если больше 0, значит возрастающая, если меньше — убывающая
так, я запутался пятьсек, щас все понял, объясню )
а) y’=5 — возрастает
б) y’=-3 — убывает
в) y’=6*(x^-1)’=-6*х^2=-6/(x^2) < 0 при любом х не равном 0
г) y’=-10*(x^-1)’=10/(x^2) > 0 при любом х не равном 0
вот теперь верно всё

если с производными ты не знаком, тогда надо строить графики, либо считать так:
возьмем два значения х — х1 и х2 (например 1 и 2)
подставим в функцию, получим у1 и у2 (например, в примере а, у1=5-8=-3, у2=10-8=2)
сопоставляем значения, если при x1y2 (как получится в примере б — у1=4, у2=1) — функция убывает (т. е. увеличивая значение х у уменьшается)

как мог доступно объяснил, но лучше с этим вопросом к учителю математики, всё же )

Остальные ответы
1) рисуй графики и смотри
2) вместо х поставь (-х) , если что-то изменится, то убывающая

1. Зат есімді табыңыз. Найдите существительное.
А) әдемі
B) жылдам
С) ақылды
D) оқыды
E) мұғалім
2. «Полиглот» деген кім? Кто такой полиглот?
А) көп сөйлейтін
В) көп тіл білетін
С) палуанды
D) оқушыны
Е) аз сөйлейтін
3. Қазақ тіліне тән дыбыстарды атаңыз. Специфические буквы казахского языка.
А) ә, о, ө, в, к, с, һ
В) ү, ұ, ф, ц, ғ, ң
С) і, қ, г, ы, ғ, һ, н
D) ә, ө, ғ, ұ, ү, қ, ң, і
Е) ә, ө, ұ, қ, ң, д, в, м, ү
4. Атаулы сөйлемді табыңыз. Назывные предложения.
А) Ағам Астанадан келді.
В) Күз келеді. Күн суытты.
С) Мен инженер мамандығын қалаймын.
Д) Менің әпкем қалада тұрады.
Е) Түн. Айнала жым-жырт.
5. Қос сөзді табыңыз. Парные слова.
А) құда
В )ағайын
С) бала-шаға
D) құдағи
Е) оқушы
6. Неологизмді көрсетіңіз. Неологизм.
А) ұл
В) ана
С) жаһандану
D) Қарағанды
Е) бер
7. Антоним сөздерді табыңыз. Найти антонимы.
А) ақ-қара
В) үш-төрт
С) жуан-семіз
D) биік-жалпақ
Е) қызыл-қоңыр
8. Дұрыс тасымалданған сөзді көрсетіңіз. Правильный перенос.
А) Мер — еке
В) Қар — т
С) Рақ — мет
Д) Нүк – тен — і
Е) Бер — ік
9. Сын есімді табыңыз. Имя прилагательное.
А) Бес
В) ақылды
С) Қолөнер
Д) Қоғам
Е) Көрді
10. Сан есімді табыңыз. Имя числительное.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *