Постройте множество точек координаты которых удовлетворяют уравнениям
Перейти к содержимому

Постройте множество точек координаты которых удовлетворяют уравнениям

  • автор:

Упр.58.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

58.16 Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

Похожие решебники

Мордкович, Семенов
Мордкович, Семенов, Александрова

Популярные решебники 11 класс Все решебники

Тетрадь-тренажёр
Котова, Лискова
Enjoy English
Биболетова, Бабушис
Мякишев, Буховцев
Погорелов 10-11 класс
Рымкевич 10-11 класс

Изображение учебника

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Постройте множество точек координаты которых удовлетворяют уравнениям

Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

1) |x — y| = |x — y + 1|

2) x^2 + y^2 = 0 и y 0 и x

Ответ эксперта

Ирина Каминкова
09.10.2020 19:26:00

Лучший ответ
Ответ эксперта
09.10.2020 20:02:36

Объясните пожалуйста, что за область знакопостоянства.
1) Откуда берём — 1 и 0 на прямой? Это что то вроде |x — y — 0| = |x — y — 1|?
2) И как считаем, где будет +, а где -? Мы заменяем в выражении x — y на значение из интервала и смотрим на знак, если прибавить 1?
3) Что обозначает зачеркнутый ноль в системе?

Ирина Каминкова
09.10.2020 20:29:34

1) 2) Есть уравнение |x-y| = |x-y+1|
Если сразу сложно, то делаем замену z = x-y
Получаем |z| — |z+1| = 0
Такие уравнения решаются выставлением на числовой прямой нулей каждого модуля и плюсиков/минусиков для каждого модуля. Из этого анализа получается совокупность, которая решается теперь уже однозначным раскрытием модулей.
При решении получается z = -1/2
Возвращаемся к исходной переменной x-y=-1/2 -> y=x+1/2

3) Зачеркнутый ноль — это пустое множество решений, то бишь «решений нет».
О множествах можно почитать здесь:
https://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/mnozhestvo-i-ego-elementy-podmnozhestva/
И дальше — рекомендую всю вторую главу для 8 класса.

Ответ эксперта

Все предметы

Математика

Рейтинг пользователей

  • за неделю
  • один месяц
  • три месяца

Постройте множество точек координаты которых удовлетворяют уравнениям

Линейное уравнение. Прямая и окружность

С линейным уравнением ах + b = 0 (а, b — заданные числа — коэффициенты уравнения, х — искомая переменная величина) мы встречаемся с первых шагов изучения курса алгебры. Если

то такое уравнение имеет единственное решение

Изучение геометрии начи нается с изучения свойств прямых и окружностей. Это не случайно. Ведь окружающий нас мир во многих своих проявлениях линеен, а окружность — одна из самых распространенных в нем линий.

Рекомендуем всем решить задачи 1—73 и варианты 1 и 2 проверочных работ (например, четные номера на занятиях с преподавателем, а нечетные — самостоятельно). Если вы решили поступить в вуз с высокими требованиями по математике, то обратите внимание на задачи 74—80 и вариант 3.

Решите уравнения 1—24. Это либо линейные, либо сводящиеся к линейным простыми преобразованиями уравнения.

Задание 1.

Ответ:

Задание 2.

Ответ:

Задание 3.

Ответ:

Задание 4.

Ответ:

Задание 5.

Ответ:

Задание 6.

Ответ:

Задание 7.

Ответ:

Задание 8.

Ответ:

Задание 9.

Ответ:

Задание 10.

Ответ:

Задание 11.

Ответ:

Задание 12.

Ответ:

Задание 13.

Ответ:

Задание 14.

Ответ:

Задание 15.

Ответ:

Задание 16.

Ответ:

Задание 17.

Ответ:

Задание 18.

Ответ:

Задание 19.

Ответ:

Задание 20.

Ответ:

Задание 21.

(Зх — 1) 2 — 5(2х + 1) 2 + (6x — 3)(2x +1) = (х- I) 2

Ответ:

Задание 22.

(x + 6) 2 (x + 1) — (x — 3) 2 (x + 10) = (3х + 4) 2

Ответ:

Задание 23.

(х + 2) 3 -х(х + 3) 2 =23

Ответ:

Задание 24.

(x + 2) 3 — (x — 2) 3 = 12(x — 2)(x + 3)

Ответ:

Следующие системы уравнений (25—30) решите, сведя их подстановками к линейным уравнениям. Текстовые задачи данной темы (31—37) также приводят к линейным уравнениям.

Задание 25.

Ответ:

Задание 26.

Ответ:

Задание 27.

Ответ:

Задание 28.

Ответ:

Задание 29.

Ответ:

Задание 30.

Ответ:

Задание 31.

Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если прибавить к нему 27, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это двузначное число.

Ответ:

Задание 32.

Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 3, то значение дроби будет равно 0,25 Найдите дробь.

Ответ:

Задание 33.

Моторная лодка прошла против течения реки 16 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 40 мин меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ:

Задание 34.

Производительность косилки в 5 раз выше, чем производительность бригады косарей. Сколько дней потребуется бригаде косарей, чтобы скосить луг, если известно, что самоходная косилка и бригада косарей, работая вместе, смогут закончить сенокос за 3 дня?

Ответ:

Задание 35.

Пенсионер в начале года положил 1200 р. в два банка. В первом банке начисляли 50% годовых, а во втором — 40% Сколько рублей положил пенсионер в каждый банк, если в конце года он получил 1760 р.?

Ответ:

Задание 36.

За некоторое время количество акций гражданина Иванова увеличилось на 20% . На сколько процентов увеличилась цена каждой акции гражданина Иванова, если общая стоимость всех его акций возросла на 38% ?

Ответ:

Задание 37.

От кусков массой 6 кг и 12 кг двух сплавов с различным процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком куска другого сплава, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Каковы массы каждого из отрезанных кусков?

Ответ:

Более полно системы уравнений и текстовые задачи рассматриваются в соответствующих темах. Перейдем к Заданием, связанным с построением прямых и окружностей на плоскости.

• Уравнение
ах + by + с = 0,
в котором хотя бы один из коэффициентов а или b отличен от нуля, называется уравнением прямой, а уравнение
(X — Х0) 2 + (у — У0) 2 = R 2
— уравнением окружности с центром в точке М00; у0) и радиусом R > 0.

Для построения прямой нужно найти какие-либо две различные точки М11; у1) и М22; у2), координаты которых удовлетворяют уравнению этой прямой. Для построения окружности требуется найти ее центр и радиус (см. рис. ниже, где рассмотрены прямая у + 2х = 4 и окружность (х — 1) 2 + (у — 2) 2 = 5, т. е.

Замечание. Обе линии ах + by + с = 0 и (х — х0) 2 + (у — у0) 2 = R 2 разбивают координатную плоскость на две части, для которых эти линии являются границей. Тогда одна из частей плоскости характеризуется тем, что координаты (х; у) всех ее точек М удовлетворяют неравенствам

а в другой части выполнены противоположные неравенства (см. рис. выше). Знак неравенства можно определить, найдя его в какой-либо одной точке соответствующей части плоскости.

Постройте графики следующих линейных функций и окружностей (38—61). На координатной плоскости отметьте штриховкой области, соответствующие указанным неравенствам (границы областей, отвечающих строгим неравенствам, условимся проводить пунктирной линией, а границы областей, отвечающих нестрогим неравенствам, — сплошной линией).

Задание 38.

Ответ:

Задание 39.

Ответ:

Задание 40.

Ответ:

Задание 41.

Что происходит с прямой при изменении коэффициента а? Через какую точку проходят все эти прямые?

Ответ:

При изменении а прямая

перемещается параллельно самой себе.

Задание 42.

Что происходит с прямой при изменении коэффициента а? Через какую точку проходят все эти прямые?

Ответ:

При всех а прямые у = ах — 1 проходят через точку А (0; -1). При изменении а прямая у = ах — 1 вращается вокруг точки А (0; -1).

Задание 43.

Ответ:

Задание 44.

Ответ:

Задание 45.

Ответ:

Задание 46.

Ответ:

Задание 47.

Ответ:

Задание 48.

Ответ:

Задание 49.

Ответ:

Задание 50.

(2х + у) 2 (х — 2у + 3) < 0

Ответ:

Задание 51.

Ответ:

Задание 52.

Ответ:

Задание 53.

Ответ:

Задание 54.

Решение:

Построим множество точек М(х; у), координаты которых удовлетворяют равенству у 2 — 2ху — Зх 2 = 0

Раскладывая левую часть на множители, получаем у 2 — 2ху — Зх 2 = (у + х) (у — Зх) = 0. Это пара пересекающихся прямых у = -х и у = Зх. Теперь заштриховываем область

Задание 55.

х 2 + ху — 2у 2 > 0

Ответ:

Задание 56.

Ответ:

Задание 57.

Ответ:

Задание 58.

Решение:

Имеем х 2 — 2х + у 2 + 4y = (х — 1) 2 + (у + 2) 2 — 5. Таким образом, равенство х 2 — 2х + у 2 + 4у = 0 определяет окружность

с центром в точке А(1; -2) и радиусом

Теперь заштриховываем область

Задание 59.

Ответ:

Круг с центром в точке

Задание 60.

Что происходит с заштрихованной областью при изменении коэффициента а?

Ответ:

Если а = 0, то одна точка А(2; 0). Если

то круг радиуса R = 2|а| с центром в точке А(2; 0). С увеличением |а| радиус круга увеличивается.

Задание 61.

Что происходит с заштрихованной областью при изменении коэффициента а?

Ответ:

— круг радиуса R — 2 с центром в точке (а; 0). При увеличении а круг, как целое, смещается вправо.

Задание 62.

Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) таких, что числа х, у и 6 — 2х являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру М и найдите ее площадь.

Решение:

Для того чтобы числа х, у и (6 — 2х) являлись длинами сторон некоторого треугольника, необходимо и достаточно, чтобы эти числа были положительными и сумма любых двух из них была больше третьего числа. Получаем неравенства х > 0, у > 0, 6 — 2х > 0, х + у > 6 — 2х, 6-х>у,6-2х + у>х. Равносильная система имеет вид

Заштриховываем соответствующую область.

Ее площадь S = 6 кв. ед.

Задание 63.

Пусть ./V — множество точек плоскости с координатами (х; у) таких, что числа Зх, 2у и 9 — у являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру ./V и найдите ее площадь.

Ответ:

Задание 64.

Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

Ответ:

Задание 65.

Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

Ответ:

Задание 66.

На координатной плоскости отметьте штриховкой фигуру, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств

Решение:

Раскладывая на множители, перепишем первое неравенство в виде

Второе неравенство принимает вид

Это круг радиуса R = 3 с центром в точке А(2; 0). Теперь заштриховываем нужную область

Задание 67.

На координатной плоскости отметьте штриховкой фигуру, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств

Ответ:

Задание 68.

При всех а укажите наименьший корень уравнения

х 3 — Зах 2 — (а — 1) 2 х + За(а — 1) 2 = 0

Решение:

Раскладываем левую часть на множители: х 3 — Зах 2 — (а — 1) 2 х + За(а — 1) 2 = х 2 (х — За) — (а — 1) 2 (х — За) = (х — За)(х — а + 1) (х + а — 1) = 0. Корнями данного уравнения являются х = За; х = а — 1; х= 1 -а.

В координатной системе Оах строим графики этих функций и функции х = min (За; а — 1; 1 — а)

Находим точки пересечения построенных прямых и записываем ответ.

Ответ:

2)

3)

Задание 69.

При всех а укажите наибольший корень ypавнения

х 3 — 2ах 2 — (а + 1) 2 х + 2а(а +1) 2 = 0.

Ответ:

1)

2)

3)

Задание 70.

Решите систему неравенств

Решение:

В координатной системе Оах отметим штриховкой область, заданную указанными неравенствами

Ответ:

1)

2)

Задание 71.

Ответ:

1)

2)

Задание 72.

Найдите все а, при которых неравенство

выполняется для всех

Решение:

В координатной системе Оах отметим штриховкой все точки М(а; х), координаты которых удовлетворяют указанным неравенствам (жирная штриховка выделяет те точки, у которых

Мы видим, что только при

целиком лежит в заштрихованной области.

Ответ:

Задание 73.

Найдите все а, при которых неравенство

выполняется для всех

Ответ:

Задание 74.

При каких значениях параметра а система неравенств

имеет хотя бы одно решение?

Решение:

Решениями данного неравенства являются все точки (х; у), лежащие внутри круга

радиуса R = = 2|а| с центром в точке A(2; 0) и в области, определяемой неравенством

Изобразим эти множества точек

Мы видим, что система неравенств имеет решения, если радиус круга больше или равен длине перпендикуляра АВ, опущенного из точки А(2; 0) на прямую х — 2у = 0. Так как

то OB = 2АВ,

Таким образом, система имеет решения при

Ответ:

Задание 75.

При каких значениях параметра а система неравенств

не имеет решений?

Ответ:

Задание 76.

Найдите все значения параметров а и b, при которых система уравнений

Решение:

Перепишем систему так:

а указанное условие преобразуем к виду х1 2 + y1 2 = х2 2 + у2 2 . Таким образом, точки пересечения двух окружностей

(х — 1) 2 + (у + 2) 2 = |b| 2 и (х-(а- 6)) 2 + (у — а) 2 = а 2 + 9

сами должны лежать на некоторой окружности с центром О(0; 0). Для этого необходимо, чтобы их центры А(1; -2), В(а — 6; а) и точка О(0; 0) лежали на одной прямой, а именно на прямой у = -2х. Отсюда получаем, что а = -2а + 12, т. е. а = 4.

Теперь выясним, при каких |b| окружности (х- 1) 2 + (y + 2) 2 = |b| 2 и (х + 2) 2 + (y — 4) 2 = 25 имеют две различные точки пересечения.

Расстояние |АВ| между центрами этих окружностей равно

Отсюда получаем, что окружности пересекаются только в том случае, если

Ответ:

Задание 77.

Найдите все значения параметров р и д, при которых система уравнений

имеет два решения (х1,y1) и (х2; у2), удовлетворяющих условию

.

Ответ:

Задание 78.

При каких а система уравнений

имеет единственное решение?

Ответ:

Задание 79.

При каких а система уравнений

Решение:

Найдем предельные положения окружностей (х — а) 2 + у 2 = (2) 2 , при которых они касаются прямой х + у = 2.

Радиус окружности равен 2, ее центр — точка (а; 0). Поэтому для предельных случаев получаем

(а 2 — 2) 2 = 2 2 + 2 2 ; (2 — а1) 2 = 2 2 + 2 2 .

Значит, а1 и а2 — корни уравнения

то прямая и окружность пересекаются, а, следовательно, система имеет решения.

Ответ:

Задание 80.

При каких значениях а окружность

(х — 2) 2 + (у-2) 2 = 1

лежит между двумя параллельными прямыми 2х + у = 2 и 2х + у =а?

Решение:

Прямая 2х + у = 2 и окружность (х — 2) 2 + (у — 2) 2 = 1 не пересекаются. Найдем те значения а, при которых прямая 2х + у = а является касательной к данной окружности.

Для этого уравнение

(х — 2) 2 + (а — 2 — 2х) 2 = 1

должно иметь единственное решение. После раскрытия скобок приходим к квадратному уравнению

5х 2 — 4(а — 1)х + а 2 — 4а + 7 = 0.

Так как дискриминант квадратного трехчлена должен быть равен нулю, то получаем уравнение для вычисления коэффициента а:

Из этих двух значений следует выбрать большее, т. е.

Ответ:

построить множество точек координаты которой удовлетворяют условия:. x2 + y2 < (меньше или равно) 2|y|

Строить последовательно:
1. Уравнение x^2+y^2-2y = x^2+(y-1)^2 = 1 — окружность, центр с координатами (0,1)
2. Отразить симметрично оси Х
3. Требуемое условие соблюдается внутри окружностей включая сами окружности.

Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *