Сколько существует перестановок букв слова фигура
Перейти к содержимому

Сколько существует перестановок букв слова фигура

  • автор:

1.3.6.Перестановки с повторениями

В перестановках с повторениями, как и в «обычных» перестановках, участвует сразу всё множество объектов, но есть одно но: в данном множестве один или бОльшее количество элементов (объектов) повторяются. Встречайте очередной стандарт:

Задача 10
Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

Решение: поскольку среди букв есть одинаковые, то формула не годится, так как учитывает «холостые» перестановки (например, двух карточек с буквами «к», при этом форма самих карточек и размеры букв не имеют значения). Поэтому здесь имеют место перестановки с повторениями, и осталось выполнить бесхитростные подсчёты – всего у нас 11 карточек, среди которых буква:

К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.

Контроль: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, что и требовалось проверить.

По формуле количества перестановок с повторениями:
различных слов (буквосочетаний) можно получить. Больше полумиллиона

На практике вполне допустимо не записывать общую формулу и, кроме того, опускать единичные факториалы, то есть в компактном виде решение оформляется так:

Но предварительные комментарии о повторяющихся буквах обязательны!

Ответ: 554400

Другой типовой пример для самостоятельного решения:

Задача 11
Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, 1 ферзь, 1 король) на первой линии (8 клеток) шахматной доски?

Коротенькое решение в конце книги.

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.

Теоретический материал по модулям «Теория вероятности и математическая статистика»

При подсчете числа элементарных исходов, составляющих события в классической схеме, часто используется комбинаторика. Сформулируем
основное правило комбинаторики (правило умножения).

Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие — n2 способами, третье действие n3 способами и так до k -го действия, которое можно выполнить nk способами, то всю последовательность из k действий вместе можно выполнить n1 ´ n2 ´ n3 ´ . ´ nk способами.

ПРИМЕР 1. Сколькими способами N можно собрать слово «мама», имея в азбуке пять букв «а» и три буквы «м»?

Решение. Первую букву слова можно выбрать тремя способами и на каждый вариант первой буквы имеется пять способов выбрать вторую букву. Значит способов собрать «ма»: 3× 5 =15. Для каждого из них третья буква может быть получена двумя способами (остается только две буквы «м»), а последняя буква — четырьмя способами:

N = 3 × 5 × 2 × 4 = 120.

Формула для числа перестановок. Она применяется в задачах о перестановках в различных комбинациях нескольких разных объектов, причем в каждой комбинации должны присутствовать все объекты строго по одному разу.

Число таких различных комбинаций (перестановок) определяется формулой

которая непосредственно следует из основного правила комбинаторики.

ПРИМЕР 2. Сколько существует способов расстановки на полке 6 разных книг?

Решение. На первое место можно поставить любую из 6 книг, для каждого варианта первой книги на второе место может быть поставлена любая из оставшихся 5 книг. Для любой пары первых книг (а всего таких пар 6×5 = 30) на третьем месте может быть одна из 4 книг. Значит, разных троек всего
6×5× 4 = 120 и так далее. Итак, число перестановок из 6 книг равно
6! = 6×5×4×3×2×1= 720.

Формула для числа размещений из n элементов по k.

Если из n разных объектов выбирается по k объектов, то полное число таких различных выборок может быть определено по формуле = n k , если выборки отличаются порядком следования объектов, и допускается повторение одного и того же объекта. Это число называют числом размещений с повторениями, оно получается из основного правила комбинаторики, так как на любом из k мест в выборке может быть любой из n объектов.

Если из n разных объектов выбирается по k разных объектов, то с учетом порядка следования полное число разных выборок будет определять формула

= n ( n — 1) . ( n — k + 1) (1.3.2)

— число размещений без повторений.

Из основного правила эта формула получается на основе следующих рассуждений. На первом месте может быть любой из n объектов, на втором — любой из ( n — 1) неиспользованных объектов (так как объекты не должны повторяться) и так далее, а на последнем, k -ом месте, — любой из неиспользованных ( n — k + 1) объектов. Заметим, что = Р n .

ПРИМЕР 3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? И сколько из них с неповторяющимися цифрами?

Решение. Если цифры могут повторяться, то на любом месте в числе могут быть любые из пяти цифр. Значит всего трехзначных чисел получается 5× 5× 5 = 5 3 = 125. Если же цифры не повторяются, то таких чисел

ПРИМЕР 4. В театре 10 актеров и 8 актрис. Сколькими способами можно распределить роли в спектакле, в котором 6 мужских и 3 женские роли?

Решение. Рассуждаем следующим образом: распределяем мужчин на мужские роли (первое действие). Тогда (важно не только выбрать актеров, но и распределить между ними роли). После этого производим второе действие – распределяем женские роли. Это можно осуществить n2 = способами. Поэтому по принципу произведения

Формула для числа сочетаний из n элементов по k:

Если в выборках из n объектов по k объектов порядок их следования по условию задачи не имеет значения, то размещения, отличающиеся лишь порядком следования, становятся одинаковыми. Число таких одинаковых выборок по k разных объектов, которые получаются друг из друга перестановкой, равно k !

Поэтому, число выборок из n по k без учета порядка следования определяется формулой

число сочетаний без повторений.

число сочетаний с повторениями, то есть число сочетаний меньше числа размещений в k ! раз.

ПРИМЕР 5. Сколько комбинаций из трех монет можно собрать, имея пять разных монет?

Решение. Если учитывать порядок монет в комбинации, то

Если же порядок монет в комбинации не имеет значения, то разных комбинаций:

ПРИМЕР 6. Найти число В всевозможных заполнений карточки спортлото «6» из «49».

Решение. Генеральная совокупность – числа карточки спортлото (n= 49). Выборка – зачеркнутые 6 чисел. Порядок, в котором вычеркиваются номера, не существенен. Повторов быть не может (в карточке любой номер есть только один раз).

Поэтому В = C = 13 983 816.

Сочетания используются, если важен только состав элементов в выборке.

сколько существует перестановок букв слова фигура в которых буквы у р а стоят рядом в указанном порядке

ATLAS

Фиксируем буквы, составляющие сочетание «УРА» как единый объект. Получаем перестановки четырёх объектов: «Ф», «И», «Г» и «УРА».

Ответ: 24 перестановки

Новые вопросы в Алгебра

4. Решите уравнение 12-(4-x)? =x (3-x). ​

354. 1) x² — 7x=0; 4) 4x² = 0,16x; 7) x²-3x = 0; 2) x2 +5x=0; 5) 9x² — x=0; 8) 0,1x² — x = 0; 3) 5x² = 3x; 6) 9x² +1=0; 9) 16x² +3=0. дАм 50 балов СР … ОЧНО!!​

CРОЧНО!! 40 БАЛЛОВ ДАЮ!

побудуйте в зошиті графік функції y=-2x-3 і прикріпіть файл з графіком до своєї відповіді користуючись графіком , визначте 1)значення функції, якщо зн … ачення аргументу дорівнює -2 ( у відповіді запишіть тільки число відповідь: 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює -1 (у відповідь запишіть тільки число ) відповідь: 3)чи проходить графік функції через точку M(0;-3) (запишіть так або ні) відповідь: СРОЧНО ДАМ 200 БАЛОВ​

Комбинаторика

Теория и подборка олимпиадных задач по комбинаторике.

Полезные материалы

  • Подсчет вариантов (Фоксфорд.Учебник)
  • Правила суммы и произведения (Фоксфорд.Учебник)
  • Число перестановок (Фоксфорд.Учебник)
  • Число размещений (Фоксфорд.Учебник)
  • Число сочетаний (Фоксфорд.Учебник)
  • Треугольник Паскаля (Фоксфорд.Учебник)
  • Бином Ньютона (Фоксфорд.Учебник)

Записи онлайн-занятий

Подборка задач

Комбинаторика

  1. Сколькими способами можно выбрать одну гласную и одну согласную буквы из слова ФОКСФОРД?
  2. На почте продаются восемь видов конвертов, 25 различных открыток и 30 видов марок. Сколькими способами можно купить конверт с открыткой и марку?
  3. Из города $A$ в город $B$ ведет одна дорога, в город $C$ — четыре, в $D$ — пять, из города $C$ в город $B$ — три дороги, а из $D$ в $B$ — шесть. Сколько существует способов доехать из города $A$ в город $B$, если считать, что по дорогам можно ехать лишь в одном направлении — слева направо?
  4. Монетку бросают десять раз. Сколько различных последовательностей из орлов и решек может при этом получиться?
  5. Сколько существует семизначных чисел, все цифры которых нечетны?
  6. Дана квадратная таблица $3\times 3$, каждую клетку которой можно окрасить в один из трех цветов. Сколько различных раскрасок таблицы можно получить?
  7. Сколькими способами можно прочитать слово ФОКСФОРД, двигаясь вправо или вниз?
Ф О К С Ф О Р Д
О К С Ф О Р Д
К С Ф О Р Д
С Ф О Р Д
Ф О Р Д
О Р Д
Р Д
Д

Комбинаторика

  • Квадрат $5\times 5$ разбит на единичные клеточки. Его покрывают 25 черных и 25 белых прямоугольных равнобедренных треугольников, так что каждую клетку закрывают два треугольника. «Шахматным» будем называть такие покрытия, что любые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует различных «шахматных» покрытий? (Одно из возможных «шахматных» покрытий изображено на рисрисунке)
  • В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать старосту класса и его помощника?
  • Сколько существует способов выбрать четыре карты из колоды (36 карт) так, чтобы они все были различных мастей и достоинств?
  • В русском алфавите 33 буквы. Сколько различных пятибуквенных «слов» можно составить, если не допускать «слов», где две одинаковые буквы идут подряд? «Слово» не обязательно должно быть осмысленным. Например, абвгд или ьъыйы — подходящие «слова» являются, а класс, ссора и пресс — не подходят, так как в них есть две одинаковые подряд идущие буквы.
  • Сколько существует различных вариантов раскраски граней кубика в данные шесть цветов, если считать раскраски, отличающиеся лишь поворотом кубика за один и тот же вариант?
  • Сколько существует десятизначных чисел с нечетной суммой цифр?
  • Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черную и белую ладьи так, чтобы они не били друг друга?
  • Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черного и белого слона так, чтобы они не били друг друга?
  • Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черного и белого ферзя так, чтобы они не били друг друга?
  • Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черного и белого короля так, чтобы полученная ситуация не противоречила правилам игры в шахматы (ведь, как известно, королей бить нельзя)?
  • Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черного и белого коня так, чтобы они не били друг друга?
  • На танцплощадке собрались 20 парней и 20 девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?
  • Чему равна сумма всех пятизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, 2, 3, 4, 5?
  • Десять девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?
  • Сколько всего десятизначных чисел, в которых хотя бы две какие-то цифры одинаковы?
  • Сколько существует различных возможностей рассадить 10 мальчиков и 10 девочек за круглый стол с двадцатью креслами так, чтобы они чередовались?
  • Сколькими способами 20 учеников могут выстроиться в очередь в столовую, если Маша хочет стоять рядом с подругой Катей?
  • Сколько различных слов можно получить перестановкой букв в слове «ШКОЛА»?
  • Сколько различных слов можно получить перестановкой букв в слове «АЛГЕБРА»?
  • Сколько различных слов можно получить перестановкой букв в слове «ПАРАБОЛА»?
  • Сколько различных слов можно получить перестановкой букв в слове «МАТЕМАТИКА»?
  • Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?
  • Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая цифра больше предыдущей?
  • Имеется $m$ белых и $n$ черных шаров, причем $m > n$. Сколькими способами можно все шары разложить в ряд так, чтобы никакие два черных шара не лежали рядом?
  • Сколькими способами можно выложить в ряд 5 красных, 5 синих и 5 зеленых шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?
  • На полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг, никакие две из которых не стоят рядом?
  • Имеется куб размером $10 \times 10 \times 10$, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре $O$ одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причем так, чтобы расстояние до точки $O$ увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?
  • Имеется 20 человек – 10 юношей и 10 девушек. Сколько существует способов составить компанию, в которой было бы одинаковое (хотя бы по одному) число юношей и девушек?
  • На собеседовании десяти человекам был предложен тест, состоящий из нескольких вопросов. Известно, что любые пять человек ответили вместе на все вопросы (т. е. на каждый вопрос хоть один из пяти дал правильный ответ), а любые четыре – нет. При каком минимальном количестве вопросов это могло быть?
  • Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно: представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде? (А. Голованов, Финал, 1995-1996, 9 класс, №1)
  • На шахматной доске стоят 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.) (Д. Кузнецов, Финал, 2001-2002, 9 класс, №5)
  • Назовем билет с номером от 000000 до 999999 отличным, если разность некоторых двух соседних цифр его номера равна 5. Найдите число отличных билетов. (А. Шаповалов, Региональный этап, 1995-1996, 8 класс, №2)
  • Назовем раскраску доски $8\times 8$ в три цвета хорошей, если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трех цветов. (Уголок из пяти клеток – это фигура, получающаяся из квадрата $3\times3$ вырезанием квадрата $2\times2$.) Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше, чем $6^8$. (О. Подлипский, Региональный этап, 2005-2006, 10 класс, №2)
  • Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на $n$ частей. Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков? (М. Антонов, Финал, 1998-1999, 9 класс, №5)
  • На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере? (С. Волченков, Региональный этап, 2014-2015, 11 класс, №2)
  • В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно $n$ побед, а каждая команда второй группы – ровно $m$ побед. Могло ли оказаться, что $m \ne n$? (Н. Агаханов, Региональный этап, 2011-2012, 11 класс, №6)
  • Расстоянием между числами $\overline$ и $\overline$ назовем максимальное $i$, для которого $a_i \ne b_i$. Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами? (Р. Карасев, Региональный этап, 2003-2004, 11 класс, №6)
  • 100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом? (С. Волченков, Региональный этап, 2010-2011, 8 класс, №3)
  • а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в два раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза. (А. Шаповалов, Региональный этап, 1996-1997, 8 класс, №2)
    б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в три раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза. (А. Шаповалов, Региональный этап, 1996-1997, 9 класс, №3)
  • На встречу выпускников пришло 45 человек. Оказалось, что любые двое из них, имеющие одинаковое число знакомых среди пришедших, не знакомы друг с другом. Какое наибольшее число пар знакомых могло быть среди участвовавших во встрече? (С. Берлов, Региональный этап, 2002-2003, 10 класс, №3)
  • Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости? (А. Шаповалов, Региональный этап, 2000-2001, 10 и 11 классы, №4)
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *